TFT = Teorema Fundamental de los Triángulos = Xφ + Yφ  = Zφ

UTF = Ultimo Teorema de Fermat  = Xn + Yn = Zn

 

TFT  =  UTF

 

 

Esta expresión grafica la intima relación entre estos 2 teoremas

 

El  TFT esta ligado al UTF por el propio Fermat al decir en un margen del libro de Diofanto : "He encontrado una maravillosa demostración de que la ecuación Xn + Yn = Zn  no tiene soluciones enteras de X, Y, Z, n  en n>2 y únicamente en  n=2. Pero este margen es muy corto, para ponerlo aquí."

 

Esta prometida demostración no ha sido encontrada en los papeles y cartas de Fermat .

 

Pero si muchos teoremas relacionados .

 

Euler, extraordinario matemático, estuvo altamente interesado en este teorema y en una ocasión pidió que se revisara bien la casa de Fermat, que en algún rincón olvidado estaría esa solución.

 

Euler estaba persuadido de la verdad y solución de este teorema y de que Fermat lo había encontrado y seria una sutileza que a él se le escapaba .

 

En efecto el QUID de esta solución, no estaba escondido, sino a la vista de todos.

 

Los matemáticos la buscaron con lupa; pero era una montaña.

Era el TFT.

 

TFT  Xφ + Yφ = Zφ

 

            Si:                Xn + Yn = Zn

 

entonces:            (X+Y)n > Zn

 

entonces:            (X+Y ) > Z

 

La ultima desigualdad, es la condición de triangularidad

Por tanto :     Toda solución en reales de la ecuación  Xn +Yn = Zn  ;  es un triángulo

                          Y aquí están todos los triángulos

 

De aquí se desprende que  (φ) es la característica de todo triángulo .

 

 

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR SU CARACTERÍSTICA

 

Agudos                    n > 2

Rectángulos           n = 2

Obtusos                   1 < n < 2

 

De este modo el  Teorema de Pitágoras ( TP )es el caso particular egregio .

 

TP   =  LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS ES IGUAL AL CUADRADO DE LA    

                HIPOTENUSA

 

Por analogía, llamaremos hipotenusa al lado mayor de un triángulo cualquiera, y catetos a los 2 lados menores .

 

TFT =   LA SUMA DE LA POTENCIA (φ )DE LOS CATETOS ES IGUAL A LA POTENCIA (φ ) DE LA

                    HIPOTENUSA .

Xφ + Yφ = Zφ

Donde (φ) varia de ( 1  a  )  

 


 

El TFT es la sutileza que buscaba Euler y que Fermat conoció.

El camino seguido por los matemáticos y finalizado por Wiles, es semejante al camino de Colón, quien quiso llegar a la India en sentido inverso, dando la vuelta al mundo .

Pero hizo sus cálculos siguiendo los cálculos de Tholomeo, que equivocadamente redujeron los de Eratóstenes, de modo que cuando creyó haber llegado a la India, solo había llegado a América.

La vuelta al mundo la efectuara Magallanes con S. Elcano.

 

 

El camino corto al UTF se realiza con la ayuda del TFT.

Hermanados terminan la empresa .:

Xn + Yn = Zn .

El TFT por ser teorema fundamental del triángulo, repercute en la : GEOMETRÍA; TRIGONOMETRÍA  y MATEMÁTICAS  en general .

 

¿Porque este teorema que estaba a la vista no fue encontrado antes ? .

Es una pregunta preocupante .

 

El  TFT  nos induce a prestar mas atención al subconsciente .

Será este el primer paso en la Luna, y la era del subconsciente queda abierta .

 

La demostración de Wiles no aleja la posibilidad de que Fermat haya resuelto su teorema; sino que lo acerca .

 

En efecto la demostración de Wiles, nos dice que en (n=2 ) se cortan las soluciones enteras, allí una RED impide el paso de las soluciones enteras, por tanto estuvo al alcance de las matemáticas de Fermat .

 

En efecto ayudado del TFT  la solución no solo es posible, sino que está demostrado con los teoremas ya existentes a través de : Apolonio, Moivre, Fermat, Euler, Gauss, etc.

 

 

 

PROBLEMAS CON EL  TFT

 

 

PROBLEMA.- Dado un triángulo por sus lados determinar su característica .

 

Este problema nos lleva a considerar que en un triángulo  sus 3 lados y sus 3 ángulos están íntimamente ligados por:

                                                                    

Esto nos dice que el triángulo construido con los senos de los ángulos es semejante al original (construido con los lados ).

Además es necesario introducir el TFT, con su característica exponencial, donde las formulas de Moivre son necesarias. Pero antes preparemos el terreno .

 


GRÁFICOS

 

Gráfico Nº 1

YELMO

 

Si situamos los triángulos con su hipotenusa sobre  AB, fija.

AB  diámetro de la circunferencia, trazamos los arcos de radio  AB  que se cortan hacia arriba, entonces :.

 

La circunferencia será el lugar geométrico del vértice de los triángulos rectángulos, y será el separador de los vértices de los triángulos agudos y obtusos.

 

Los triángulos obtusos quedan dentro del círculo.

 

Los triángulos agudos tienen su vértice fuera de la circunferencia.

 

Gráfico Nº 2

RELACIÓN DEL ÁNGULO DEL VÉRTICE CON LA ALTURA

 

Si quitamos la restricción de que la base sea la hipotenusa, la altura de los triángulos se extiende ilimitadamente.

 

Este gráfico nos permite ver la relación entre el vértice y la altura del triángulo.

(La circunferencia sigue siendo la separación de los vértices de los triángulos agudos y obtusos).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gráfico Nº 3

RELACIÓN DE  n  CON EL ANGULO DEL VÉRTICE

 

En este gráfico se puede apreciar que al aumentar la altura, el ángulo del vértice disminuye.

 

Cuando la altura es CERO  el ángulo del vértice es 180°.

 

Cuando la  altura crece, crece el valor de (n). Por esto este gráfico puede tomarse como hecho entre  n  y el ángulo del vértice

 

 

 

 

Gráfico Nº 4

LOS TRES TRIÁNGULOS ALREDEDOR DEL ORTOCENTRO

 

En este gráfico hemos trazado las 3 alturas.

 

Para apreciar la relación que tienen, el vértice del triángulo agudo con su  ortocentro como vértice de un triángulo obtuso.

 

Donde se aprecia que son inversos, respecto de la circunferencia n=2, para su valor de (n)

 

 

Gráfico Nº 5

ARMÓNICO

 

(El ortocentro y el circuncentro son isogonales) como lo son las alturas y los diámetros correspondientes de la circunferencia circunscrita .  

 

 

 


PROBLEMA .-           Si los catetos son 3 y 4 y la característica 2 .

¿Cual es la hipotenusa?

 

PROBLEMA .-           Si los catetos son 5 , 6  y la característica 3 .

¿Cuanto mide la hipotenusa?

 

 

ASCENSO - DESCENSO

MÁXIMO - MÍNIMO

TRIÁNGULO  RADICAL

 

Dado un triángulo si llamamos  HIPOTENUSA  al lado mayor, y VÉRTICE el ángulo formado por los 2 lados menores ocurre que:

 

Al ir aumentando la altura  del triángulo, el ángulo del vértice disminuye hasta reducirse a CERO, (en el infinito.)

 

Pero la disminución de la altura, tiene un limite, al llegar a cero, y el ángulo del vértice llega a π (180 °), en este momento se ha llegado al TRIÁNGULO RADICAL .

 

El TRIÁNGULO RADICAL  es un triángulo llano, de lados (a, b, a+b ).

Y ángulos  (0,0, π).

 

Cuando se eleva  a una potencia los lados de un triángulo se transforma en otro triángulo mas obtuso  y su nueva característica queda disminuida, hasta reducirse a uno.

 

a1  +  b1 = c1

 

CARACTERÍSTICA

 

La característica.- Es el exponente al que hay que elevar los lados para alcanzar el triángulo RADICAL.

 

EJEMPLO.- En el triángulo rectángulo este exponente es 2.

 

¿Si  se puede elevar a 2, porque no puede elevarse a 3?

Porque con 2 ya se alcanzó el triángulo radical, y ya no soporta más, (se rompe).

Y  deja de ser un triángulo.

 

El triángulo RADICAL  tiene característica 1.

El triángulo RADICAL es :  a1  +   b1   =   c1  .

En el triángulo radical la relación de sus lados menores, es su característica mas importante.

 

FACTORIZACIÓN DE n.

 

Si   n =  pq  donde,   p  y  q  no son necesariamente enteros, se cumplen las igualdades: : .

 

apq  +  bpq  =   cpq .

 

ap   +  bp   =    cp  .

 

a1   +  b1   =   c1.

 

Ejemplo.- un triángulo de característica 4, al elevar sus lados a la potencia 2; su nueva característica será: 4 x ½ = 2.

 

 

LA CIRCUNFERENCIA  DE  APOLONIO.

 

Pappus, recoge esta proposición de la obra LUGARES GEOMÉTRICOS PLANOS. (hoy perdida ):

 

SI  A  y  B SON 2 PUNTOS FIJOS y  k  UNA CONSTANTE  DADA; EL LUGAR GEOMÉTRICO DE UN PUNTO P, TAL QUE   , ES UNA CIRCUNFERENCIA  (Si  k ≠ 1) o  BIEN UNA RECTA  (Si k = 1).

 

Esto permite  hacer    :           

                                                           

                                                       

                                                       

   

FORMULAS  TRIGONOMÉTRICAS.

 

Esta formula nos dice que el triángulo construido con los senos de los 3 ángulos del triángulo, es semejante al triángulo original.

 

 

 

Si  (n) es la característica del triángulo, entonces es el triángulo radical, y por tanto :.

 Puesto que  a n + bn  =  cn .

 

Entonces :   sennA +sennB = sennC     

 

Aquí :            sennC = senπ

 

 

OTROS TEOREMAS DE LA RELACIÓN ARMÓNICA

 

PROPOSICIÓN._ Una condición necesaria y suficiente para que (AB,CD) sea real es que  A, B, C,  y D  sean colineales  o  concíclicas.

 

TEOREMA.- Si  A, B, C, D   forman un cuadrivértice armónico no degenerado, entonces  D  es el segundo punto común de la circunferencia del triángulo  ABC  y de la circunferencia de Apolonio del mismo triángulo que pasa por el vértice  C.

 

PROPOSICIÓN .-Si  A,  B,  C   son tres puntos finitos distintos con afijos a, b, c, demostrar que :.

 

 

PROPOSICIÓN

 

 

PROPOSICIÓN

 

 

ARTIFICIOS.

 

Un artificio utilizado por DIOFANTO  para las soluciones enteras, era encontrar una solución con números fraccionarios y de allí  multiplicadas por un factor  k  determinar las soluciones enteras.

 

1.  Este artificio traducido en triángulos, equivale a: Dado un triángulo con números racionales, encontrar triángulos semejantes con números enteros.

 

EJEMPLO 

  2.  Pero no hay soluciones enteras si algún lado es irracional; pues el irracional pasa a  los otros lados.

 

EJEMPLO 


Estamos trabajando ...

Actualizado al 16 Junio del 2004


 

LA CASCADA CONGELADA

 

Un ejercito de hormigas viajan por túneles paralelos.

Los túneles tienen puertas de trecho en trecho en diversos niveles : 9, 8, 7,…3, 2.      

El viaje se produce sin contratiempo, pues todas las puertas están abiertas. Pero al llegar al nivel (2), las puertas están cerradas.

¿Como sucede esto?

Para explicar esto, basta escoger uno solo de los túneles  (pues basta saber lo que sucede en uno para saber los que sucede en todos).

 

Supongamos que existe un caso, donde n= 2pq siendo pq factores primos.

 

Entonces tenemos :     a(2pq) + b(2pq) = c(2pq)

                                       A(2p)  + b(2p)  = c(2p)

                                       B(2)    +b(2)     = c(2)

 

Aquí estamos mostrando la cascada que es análoga a lo que sucede con los ángulos en un triangulo, de acuerdo a las ecuaciones :

 

                    a/senA   =   b/senB     =  c/senC    = 2R

 

                    (a/senA)2 =  (b/senB)2

 

                    (a/senA)n = (b/senB)n  = (c/senC)n

 

 

Los lados sufren las mismas vicisitudes que los ángulos, pues :

Moivre con los ángulos tiene su reflejo en el TFT para los lados .

Ahora veremos el caso  n=2

  

Solucion del caso n=2

 

Este caso es crucial porque no solo es el único existente; sino porque es el cierre de la puerta  de los otros .

 

En efecto en caso n=2, con a, b, c primos entre si  es la puerta de acceso a todos los casos  n>2 y estos casos no tienen sucesores pues la triangularidad se rompe.

 

                                a2 + b2    =   c2

                                (a + b)2   >   c2

                                (a + b)     >   c

 

De aquí sale que :

        a  +  b  =  c  +  f

 

donde f < que el menor

 

por tanto  :

        a  =  f + d

        b  =  f + g

        c  =  f + d + g

 

de aquí

       a2   =   (f + d)2      =      f2+ 2f d  + d2

       b2   =   (f + g)2      =    f2  + 2f g  + g2

      -c2   =  -(f +d +g)2 =  -f2 - 2f(d+g)  -  (d+g)2

        0    =    f2   -   2dg

 

de donde

        f   = 2dg

 

donde d, g son primos entre si.

dando valores a (d y g) se obtienen todos valores de f, y por ende los valores de a y b y c

 

si utilizamos los mismos métodos para  n = 3

tendremos :

 

f3  =  3dg (d + g + 2f)

 

para  n>2 el polinomio tiene la característica de que el segundo coeficiente del polinomio es siempre cero para todos los  n>2  

 


Actualizado al 03 de Diciembre del 2004


 


Actualizado al 13 de Diciembre del 2004


UTF VISTO DESDE EL TFT

 

 

DEFINICIONES

 

TFTEn todo triangulo sus lados cumplen la ecuación, an + bn = cn

          Donde  n  =  (1 , ∞)

 

UTF – Se trata  de 4 números naturales que cumplen la ecuación  an + bn = cn

 

QUATERNA FERMÁTICA  - Son 4 números naturales que realizan la ecuación:

                                                an +bn = cn

 

BONETE FERMATICO  – Es la figura geométrica que contiene un ejemplar de todos los      

                                          triángulos

 

TRIANGULO RADICAL Es el triangulo en n =1, donde se cumple  an +bn  = cn

 

FAMILIA RADICAL  - Son todos los triángulos cuyos lados son elevación a una misma

                                      potencia de otro.

                                    

 

BONETE FERMÁTICO

 

Aquí están todos los triángulos: agudos, rectos, obtusos.

Todos están sobre una base fija = 2

Aquí están todos los triángulos desde el nivel 1 al nivel ∞

Aquí están  todas las FAMILIAS RADICALES.

 

 

El LUGAR GEOMÉTRICO del vértice de una familia radical esta dada por la ELIPSOIDE de ecuación: d(VA)n + d(VB)n = d(AB)n .

 

Las FAMILIAS RADICALES son de 2 clases:

1°)   a ,  b ,  c       RACIONALES.

2°)   a ,  b ,  c      NO RACIONALES

 

UTF

 

Este problema tiene 2 partes:

 

1°)   a ,b , c  RACIONALES.

2°)   n  ENTERO.

 

Si a, b, c, RACIONALES se cumplen en n = 2, pues en  n =1 han llegado al limite y ya no quedan triángulos en n >2.

 

SIMETRÍA – Los triángulos agudos tienen su simétrico en un obtuso (θ , Π - θ).

 

 

Según MOIVRE:

Π = nθ.

n  = ENTERO.

θ > Π/3

Por tanto n = 2, únicamente


Actualizado al 07 de enero del 2005


ULTIMO TEOREMA DE  FERMAT

 

I  PARTE

 

El UTF con su  prometida solución por su autor, estaba  basada  en una anguila, que escapaba de las manos de los matemáticos, y de la red mental del hombre, desde miles de años atrás: era el TFT.

Ante el fracaso de pescar esta anguila, el problema fue derivando a una solución LARGA, que poco a poco se fue implementando, alcanzándose finalmente, en 1993;

 

Pero el camino CORTO, prometido por FERMAT, QUEDO EN PIE.

El UTF es un problema análogo al mito del minotauro en su laberinto, donde el hilo de Ariadna fue el conductor del camino.

En efecto el TFT es ahora el hilo que nos guía y conduce  al camino CORTO, encontrado por Fermat.

El UTF es un problema  de enteros, pero para mantenerse en esta vecindad, es necesario el  hilo conductor del  (TFT), que impida perderse en este laberinto cretense.

 

                    an + bn  = cn  .

 

Esta ecuación se cumple en todo triangulo (TFT)

y es la misma del UTF, con el aditamento de que (a, b, c, n ) sean enteros (QUATERNA FERMATICA ), y que solo se cumple en la  TERNA PITAGÓRICA (a, b, c, 2)

 

  

 

 

TRANSFORMACIÓN EXPONENCIAL DE LOS LADOS DE UN TRIANGULO.

Todo triangulo se puede ir variando, elevando su exponente.

Al subir o bajar su exponente se produce otro triangulo.

Situado en otro NIVEL 

Los NIVELES  del triangulo varían de 1 al infinito.

El NIVEL de un triangulo es el exponente al que hay  que elevarlo para bajar al NIVEL 1, donde se produce la ROTURA del triangulo, pues se ha llegado al triangulo llano o degenerado o radical

El exponente al que se eleva un  triangulo, carga y descarga la característica del triangulo.

Ejemplo : el triangulo rectángulo tiene nivel 2, si se elevan sus lados al cuadrado baja su nivel a 1

 

 

Fig

 

De este modo el triangulo puede ASCENDER y DESCENDER.

Hacia abajo tiene un limite en el NIVEL 1, que es el SUELO, pero hacia arriba su limite es el CIELO ..

 

 

El exponente varia desde cero a infinito, pudiendo ser :

Menor de 1 hasta cero.

Mayor de 1 hasta el infinito

Si el exponente es mayor de 1, baja el nivel .

Si el exponente es menor de 1, sube el nivel .

Es decir el triangulo absorbe el exponente.

El exponente, siempre positivo, puede ser mayor  ó  menor que 1  

Si mayor que 1, se hace mas obtuso el  triangulo.

Si menor que 1, se hace mas agudo el triangulo.

 

 

 

El TFT es la CARA OCULTA DEL TRIANGULO, y es l replica en los lados del triangulo, de lo que MOIVRE es a los ángulos del triangulo, en lo que  se refiere a su tratamiento exponencial.

En efecto el TFT nos dice que en un triangulo : los lados menores elevados a una potencia y sumados es igual al lado mayor  elevado a esa misma potencia .

Esa potencia varia de 1 al , y es la característica para cada tipo de triangulo .

Ejemplo en el triangulo rectángulo es 2

Por su característica los triángulos se dividen en familias HORIZONTALES :

 

)   AGUDOS …………...n >2

2°)   RECTÁNGULOS .: n = 2

3°)   OBTUSOS  .....…1 < n < 2

 

Una propiedad  importante del triangulo, que surge del TFT es que :

Todo triangulo al elevarse sus lados a una misma potencia produce otro triangulo..:

 a x + bx  = cx

 

Cuando un triangulo se eleva a una potencia sus lados crecen exponencialmente, y sus ángulos multiplicativamente .

                                  an    +    bn      =     cn

                             sen nx     sen ny       sen nz

 

Esta transformación exponencial cambia el tamaño y la forma del triangulo

Esto permite hacer una nueva clasificación de los triángulos en FAMILIAS EN VERTICAL

 

FAMILIA EXPONENCIAL DE TRIÁNGULOS

La elevación sucesiva del exponente de un triangulo produce una serie de triángulos, al infinito que constituyen una familia exponencial de triángulos.

El exponente varia de :/0  a & , pudiendo ser :

1°) menor de 1, ilimitadamente

2°) mayor de 1, limitado por la característica del triangulo, pues al llegar a la característica del triangulo, el triangulo llega a su estado degenerado o radical ( 0, 0, l80 ),mas allá el triangulo se rompe  y deja de ser triangulo

 

………..fig  ……….

 

 

 FACTORIZACIÓN DEL EXPONENTE

LA factorización del exponente queda evidenciada en la familia.

 exponencial de los triángulos 

En efecto el exponente puede ser factorizado continuamente, pues solo produce otro triangulo.

El exponente puede ser entero ó racional

 

TOBOGÁN

GRAFICO DE UNA FAMILIA EXPONENCIAL

SOBRE UN SEGMENTO AB, dividido en un punto medio por C, que representa el triangulo degenerado A,B,C de ángulos (0,0,P), levantamos desde C un línea vertical, que representa el LUGAR GEOMÉTRICO de los vértices de una FAMILIA EXPONENCIAL .

Es una línea que atraviesa todos los  NIVELES (1,infinito ).

Los triángulos sobre puestos nos indican los triángulos de la familia exponencial transformados exponencialmente, semejando una PAGODA .

 

Otra forma de simbolizar una  FAMILIA EXPONENCIAL, es en la forma de un TOBOGÁN, que simboliza  los triángulos de la FAMILIA, SUBIENDO y BAJANDO por efecto del exponente, desde el NIVEL 1 al infinito.

EL exponente VARIA DESDE (0 al infinito)

Cuando es menor de 1, el triangulo sube, al nivel infinito

Cuando es mayor de 1, el triangulo baja, hasta el NIVEL 1.

Los triángulos se mueven  desde el SUELO al CIELO.

Existen infinitas familias, que como PELOS tienen su raíz en el suelo

 

FIG—

 

 

 II  PARTE

 

Si tenemos una terna de enteros, al elevarlos a un exponente entero, la nueva terna también será de enteros, pues los factores primos se conservan, solo varían sus exponentes.

Ejemplo  5, 6, 7 pasa a   25, 36, 49  ó  52, 62, 72. 

 

La TERNA INICIAL y la TERNA FINAL, pertenecen a una misma FE.

Esto significa que solo debemos ocuparnos de una solo familia exponencial, pues  lo que se pueda hacer en una familia se hará en cualquier otra.

 

ACCIÓN DEL EXPONENTE (n) SOBRE LA BASE (a, b, c )

1°) EL EXPONENTE debe ser positivo.

 

……fig………….

 

si es mayor que 1 se hace mas obtuso, el triangulo

si es menor que 1 se hace mas agudo, el triangulo

 

)el exponente puede ser: entero ó racional

          (a,b,c,)                n                    (a’,b’,c’)

Si:     entero              entero                  entero

         entero              racional                Irracional

 

3°) el exponente puede ser : PAR, IMPAR

                

1

 

III  PARTE

 

ULTIMO TEOREMA DE FERMAT

Este teorema podemos verlos como 2 ESTADOS

   (a,b,c)            ( an,bn,cn )      relacionados por el exponente 

 

fig--

 

 

donde (a,b,c) son una TERNA de enteros que se traslada a otra TERNA de enteros .

Esta es una condición BÁSICA, sobre la cual se sobrepone el UTF, con su QUATERNA, compuesta de una  terna de enteros especial .  

Estas ternas son raras, y quizás no existan para n>2  

 

FACTORIZACIÓN DEL EXPONENTE

En el supuesto de que se cumpla en un  (n)= p*q

 

If :  apq + bpq  =  cpq

 

Entonces :  ap +bp  =  cp      y        aq + bq  =  cq

 

Aquí como en la divisibilidad si uno de los factores fallase entonces no seria cierto lo primero.

Tengamos también en cuenta que :

Una base entera elevada a entero ,conserva entera la base.

Una base entera elevada a fraccionario ,hace irracional la base.

Ejemplo 32  =  9

 

31/2  =  irracional

en el caso de la terna de 3 números primos entre si, alguno es Irracional, al elevarse a un exponente racional.

teniendo en cuenta lo dicho arriba veamos el caso: IMPAR, Y PAR 

 

 CASOS  IMPAR  y  PAR

 

           si  n = IMPAR

  n =2x  entonces  x = fraccionario.

 

  ax + bx  =  cx   falla ,por ser x  = quebrado.

 Luego  :  a2x + b2x  =c2x es IMPOSIBLE

 

      SI :  n = PAR

             n = 2y

 a2y + b2y  =  c2y  

pero si  y= impar, falla por el caso anterior .

luego  y = par, y =2z, pero z  debe ser par ……….al infinito.

Por tanto :  n = Par mayor de 2, es IMPOSIBLE .

 

SOLO QUEDA  n = 2  COMO ÚNICO POSIBLE .

 n = 2

no solo es posible, sino cierto.

n = 2, esta demostrado de muchas maneras, pero aquí presentamos una salida siguiendo el mismo proceso, que para el TFT.


Actualizado al 12 de noviembre del 2005


Otra página del autor

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