TFT = Teorema Fundamental de los Triángulos = Xφ + Yφ = Zφ
UTF = Ultimo Teorema de Fermat = Xn + Yn = Zn
TFT = UTF
Esta expresión grafica la intima relación entre estos 2 teoremas
El TFT esta ligado al UTF por el propio Fermat al decir en un margen del libro de Diofanto : "He encontrado una maravillosa demostración de que la ecuación Xn + Yn = Zn no tiene soluciones enteras de X, Y, Z, n en n>2 y únicamente en n=2. Pero este margen es muy corto, para ponerlo aquí."
Esta prometida demostración no ha sido encontrada en los papeles y cartas de Fermat .
Pero si muchos teoremas relacionados .
Euler, extraordinario matemático, estuvo altamente interesado en este teorema y en una ocasión pidió que se revisara bien la casa de Fermat, que en algún rincón olvidado estaría esa solución.
Euler estaba persuadido de la verdad y solución de este teorema y de que Fermat lo había encontrado y seria una sutileza que a él se le escapaba .
En efecto el QUID de esta solución, no estaba escondido, sino a la vista de todos.
Los matemáticos la buscaron con lupa; pero era una montaña.
Era el TFT.
TFT Xφ + Yφ = Zφ
Si: Xn + Yn = Zn
entonces: (X+Y)n > Zn
entonces: (X+Y ) > Z
La ultima desigualdad, es la condición de triangularidad
Por tanto : Toda solución en reales de la ecuación Xn +Yn = Zn ; es un triángulo
Y aquí están todos los triángulos
De aquí se desprende que (φ) es la característica de todo triángulo .
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR SU CARACTERÍSTICA
Agudos n > 2
Rectángulos n = 2
Obtusos 1 < n < 2
De este modo el Teorema de Pitágoras ( TP )es el caso particular egregio .
TP = LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS ES IGUAL AL CUADRADO DE LA
HIPOTENUSA
Por analogía, llamaremos hipotenusa al lado mayor de un triángulo cualquiera, y catetos a los 2 lados menores .
TFT = LA SUMA DE LA POTENCIA (φ )DE LOS CATETOS ES IGUAL A LA POTENCIA (φ ) DE LA
HIPOTENUSA .
Xφ + Yφ = Zφ
Donde (φ) varia de ( 1 a ∞)
El TFT es la sutileza que buscaba Euler y que Fermat conoció.
El camino seguido por los matemáticos y finalizado por Wiles, es semejante al camino de Colón, quien quiso llegar a la India en sentido inverso, dando la vuelta al mundo .
Pero hizo sus cálculos siguiendo los cálculos de Tholomeo, que equivocadamente redujeron los de Eratóstenes, de modo que cuando creyó haber llegado a la India, solo había llegado a América.
La vuelta al mundo la efectuara Magallanes con S. Elcano.
El camino corto al UTF se realiza con la ayuda del TFT.
Hermanados terminan la empresa .:
Xn + Yn = Zn .
El TFT por ser teorema fundamental del triángulo, repercute en la : GEOMETRÍA; TRIGONOMETRÍA y MATEMÁTICAS en general .
¿Porque este teorema que estaba a la vista no fue encontrado antes ? .
Es una pregunta preocupante .
El TFT nos induce a prestar mas atención al subconsciente .
Será este el primer paso en la Luna, y la era del subconsciente queda abierta .
La demostración de Wiles no aleja la posibilidad de que Fermat haya resuelto su teorema; sino que lo acerca .
En efecto la demostración de Wiles, nos dice que en (n=2 ) se cortan las soluciones enteras, allí una RED impide el paso de las soluciones enteras, por tanto estuvo al alcance de las matemáticas de Fermat .
En efecto ayudado del TFT la solución no solo es posible, sino que está demostrado con los teoremas ya existentes a través de : Apolonio, Moivre, Fermat, Euler, Gauss, etc.
PROBLEMAS CON EL TFT
PROBLEMA.- Dado un triángulo por sus lados determinar su característica .
Este problema nos lleva a considerar que en un triángulo sus 3 lados y sus 3 ángulos están íntimamente ligados por:
Esto nos dice que el triángulo construido con los senos de los ángulos es semejante al original (construido con los lados ).
Además es necesario introducir el TFT, con su característica exponencial, donde las formulas de Moivre son necesarias. Pero antes preparemos el terreno .
Gráfico Nº 1
YELMO
Si situamos los triángulos con su hipotenusa sobre AB, fija.
AB diámetro de la circunferencia, trazamos los arcos de radio AB que se cortan hacia arriba, entonces :.
La circunferencia será el lugar geométrico del vértice de los triángulos rectángulos, y será el separador de los vértices de los triángulos agudos y obtusos.
Los triángulos obtusos quedan dentro del círculo.
Los triángulos agudos tienen su vértice fuera de la circunferencia.
Gráfico Nº
2
RELACIÓN DEL ÁNGULO DEL VÉRTICE CON LA
ALTURA
Si quitamos la restricción de que la base sea la hipotenusa, la altura de los triángulos se extiende ilimitadamente.
Este gráfico nos permite ver la relación entre el vértice y la altura del triángulo.
(La circunferencia sigue siendo la separación de los vértices de los triángulos agudos y obtusos).
Gráfico Nº
3
RELACIÓN DE n
CON EL ANGULO DEL
VÉRTICE
En este gráfico se puede apreciar que al aumentar la altura, el ángulo del vértice disminuye.
Cuando la altura es CERO el ángulo del vértice es 180°.
Cuando la altura crece, crece el valor de (n). Por esto este gráfico puede tomarse como hecho entre n y el ángulo del vértice
Gráfico Nº 4
LOS TRES TRIÁNGULOS ALREDEDOR DEL
ORTOCENTRO
En este gráfico hemos trazado las 3 alturas.
Para apreciar la relación que tienen, el vértice del triángulo agudo con su ortocentro como vértice de un triángulo obtuso.
Donde se aprecia que son inversos, respecto de la circunferencia n=2, para su valor de (n)
Gráfico Nº 5
ARMÓNICO
(El ortocentro y el circuncentro son isogonales) como lo son las alturas y los diámetros correspondientes de la circunferencia circunscrita .
PROBLEMA .-
Si los catetos son 3 y 4 y la característica 2 .
¿Cual es la
hipotenusa?
PROBLEMA .-
Si los catetos son 5 , 6 y
la característica 3 .
¿Cuanto mide la
hipotenusa?
ASCENSO - DESCENSO
MÁXIMO - MÍNIMO
TRIÁNGULO RADICAL
Dado un triángulo si llamamos HIPOTENUSA al lado mayor, y VÉRTICE el ángulo
formado por los 2 lados menores ocurre que:
Al ir aumentando la altura del triángulo, el ángulo del vértice
disminuye hasta reducirse a CERO, (en el infinito.)
Pero la disminución de la altura, tiene un
limite, al llegar a cero, y el ángulo del vértice llega a π (180 °), en este momento se ha llegado al
TRIÁNGULO RADICAL .
El TRIÁNGULO RADICAL es un triángulo llano, de lados
(a, b, a+b ).
Y ángulos (0,0, π).
Cuando se eleva a una potencia los lados de un triángulo
se transforma en otro triángulo mas obtuso y su nueva característica queda
disminuida, hasta reducirse a uno.
a1 + b1 = c1
CARACTERÍSTICA
La característica.- Es el exponente al que hay que elevar los
lados para alcanzar el triángulo RADICAL.
EJEMPLO.- En el triángulo rectángulo este
exponente es 2.
¿Si
se puede elevar a 2, porque no puede elevarse a 3?
Porque con 2 ya se alcanzó el triángulo
radical, y ya no soporta más, (se rompe).
Y
deja de ser un triángulo.
El triángulo RADICAL tiene característica
1.
El triángulo RADICAL es
: a1
+ b1 = c1
.
En el triángulo radical la relación de sus
lados menores,
es su característica mas importante.
FACTORIZACIÓN DE n.
Si n =
pq
donde, p y
q no son necesariamente
enteros, se cumplen las igualdades: :
.
apq
+ bpq
= cpq .
ap + bp
= cp .
a1 + b1 = c1.
Ejemplo.- un triángulo de característica
4, al elevar sus lados a la potencia 2; su nueva característica será: 4 x ½ =
2.
LA CIRCUNFERENCIA DE
APOLONIO.
Pappus, recoge esta proposición de la obra
LUGARES GEOMÉTRICOS PLANOS. (hoy perdida
):
SI
A y B SON 2 PUNTOS FIJOS y k
UNA CONSTANTE DADA; EL LUGAR
GEOMÉTRICO DE UN PUNTO P, TAL QUE ,
ES UNA CIRCUNFERENCIA (Si k ≠ 1) o BIEN UNA RECTA (Si k = 1).
Esto permite hacer :
FORMULAS TRIGONOMÉTRICAS.
Esta formula nos dice que el triángulo construido con los senos de los 3 ángulos del triángulo, es semejante al triángulo original.
Si (n) es la característica del triángulo,
entonces es el triángulo radical, y por tanto :.
Entonces : sennA +sennB
= sennC
Aquí :
sennC = senπ
OTROS
TEOREMAS DE LA RELACIÓN ARMÓNICA
PROPOSICIÓN._ Una
condición necesaria y suficiente para que (AB,CD) sea real es
que A, B, C, y D sean colineales
o concíclicas.
TEOREMA.- Si A, B, C, D forman un cuadrivértice armónico no degenerado, entonces D es el segundo punto común de la
circunferencia del triángulo
ABC y de la circunferencia de Apolonio del mismo triángulo que pasa por el vértice C.
PROPOSICIÓN .-Si A,
B, C son tres puntos finitos distintos
con afijos a, b, c, demostrar
que :.
PROPOSICIÓN
PROPOSICIÓN
ARTIFICIOS.
Un artificio utilizado por DIOFANTO para las soluciones enteras, era
encontrar una solución con números fraccionarios y de allí multiplicadas por un factor k
determinar las soluciones enteras.
1.
Este artificio traducido
en triángulos, equivale a: Dado un triángulo con números racionales, encontrar
triángulos semejantes con números enteros.
EJEMPLO
EJEMPLO
Estamos trabajando ...
Actualizado al 16 Junio del 2004
LA CASCADA CONGELADA
Un ejercito de hormigas viajan por túneles paralelos.
Los túneles tienen puertas de trecho en trecho en diversos niveles : 9, 8, 7,…3, 2.
El viaje se produce sin contratiempo, pues todas las puertas están abiertas. Pero al llegar al nivel (2), las puertas están cerradas.
¿Como sucede esto?
Para explicar esto, basta escoger uno solo de los túneles (pues basta saber lo que sucede en uno para saber los que sucede en todos).
Supongamos que existe un caso, donde n= 2pq siendo pq factores primos.
Entonces tenemos : a(2pq) + b(2pq) = c(2pq)
A(2p) + b(2p) = c(2p)
B(2) +b(2) = c(2)
Aquí estamos mostrando la cascada que es análoga a lo que sucede con los ángulos en un triangulo, de acuerdo a las ecuaciones :
a/senA = b/senB = c/senC = 2R
(a/senA)2 = (b/senB)2
(a/senA)n = (b/senB)n = (c/senC)n
Los lados sufren las mismas vicisitudes que los ángulos, pues :
Moivre con los ángulos tiene su reflejo en el TFT para los lados .
Ahora veremos el caso n=2
Solucion del caso n=2
Este caso es crucial porque no solo es el único existente; sino porque es el cierre de la puerta de los otros .
En efecto en caso n=2, con a, b, c primos entre si es la puerta de acceso a todos los casos n>2 y estos casos no tienen sucesores pues la triangularidad se rompe.
a2 + b2 = c2
(a + b)2 > c2
(a + b) > c
De aquí sale que :
a + b = c + f
donde f < que el menor
por tanto :
a = f + d
b = f + g
c = f + d + g
de aquí
a2 = (f + d)2 = f2+ 2f d + d2
b2 = (f + g)2 = f2 + 2f g + g2
-c2 = -(f +d +g)2 = -f2 - 2f(d+g) - (d+g)2
0 = f2 - 2dg
de donde
f = 2dg
donde d, g son primos entre si.
dando valores a (d y g) se obtienen todos valores de f, y por ende los valores de a y b y c
si utilizamos los mismos métodos para n = 3
tendremos :
f3 = 3dg (d + g + 2f)
para n>2 el polinomio tiene la característica de que el segundo coeficiente del polinomio es siempre cero para todos los n>2
Actualizado al 03 de Diciembre del 2004
Actualizado al 13 de Diciembre del 2004
UTF VISTO DESDE EL TFT
DEFINICIONES
TFT – En todo triangulo sus lados cumplen la ecuación, an + bn = cn
Donde n = (1 , ∞)
UTF – Se trata de 4 números naturales que cumplen la ecuación an + bn = cn
QUATERNA FERMÁTICA - Son 4 números naturales que realizan la ecuación:
an +bn = cn
BONETE FERMATICO – Es la figura geométrica que contiene un ejemplar de todos los
triángulos
TRIANGULO RADICAL – Es el triangulo en n =1, donde se cumple an +bn = cn
FAMILIA RADICAL - Son todos los triángulos cuyos lados son elevación a una misma
potencia de otro.
BONETE FERMÁTICO
Aquí están todos los triángulos: agudos, rectos, obtusos.
Todos están sobre una base fija = 2
Aquí están todos los triángulos desde el nivel 1 al nivel ∞
Aquí están todas las FAMILIAS RADICALES.
El LUGAR GEOMÉTRICO del vértice de una familia radical esta dada por la ELIPSOIDE de ecuación: d(VA)n + d(VB)n = d(AB)n .
Las FAMILIAS RADICALES son de 2 clases:
1°) a , b , c RACIONALES.
2°) a , b , c NO RACIONALES
UTF
Este problema tiene 2 partes:
1°) a ,b , c RACIONALES.
2°) n ENTERO.
Si a, b, c, RACIONALES se cumplen en n = 2, pues en n =1 han llegado al limite y ya no quedan triángulos en n >2.
SIMETRÍA – Los triángulos agudos tienen su simétrico en un obtuso (θ , Π - θ).
Según MOIVRE:
Π = nθ.
n = ENTERO.
θ > Π/3
Por tanto n = 2, únicamente
Actualizado al 07 de enero del 2005
El UTF
con
su prometida solución por su autor,
estaba basada
en una anguila, que escapaba de las manos de
los matemáticos,
y de la red mental del hombre,
desde miles de años atrás:
era
el TFT.
Ante el
fracaso de pescar esta anguila,
el problema fue
derivando a una solución LARGA,
que poco
a poco se fue implementando,
alcanzándose finalmente,
en 1993;
Pero el camino
CORTO,
prometido por FERMAT,
QUEDO EN PIE.
El UTF es un
problema análogo al mito del minotauro en su laberinto,
donde
el hilo de
Ariadna fue el conductor del camino.
En efecto el
TFT es ahora el hilo que nos guía y conduce
al camino CORTO,
encontrado por Fermat.
El UTF es un
problema de enteros,
pero para mantenerse en esta vecindad,
es necesario el hilo conductor del (TFT), que impida perderse en este laberinto
cretense.
Esta ecuación
se cumple en todo triangulo (TFT)
y es la misma
del UTF,
con el aditamento de que (a,
b,
c, n ) sean enteros (QUATERNA FERMATICA
), y que solo se cumple en la TERNA
PITAGÓRICA (a,
b,
c,
2)
TRANSFORMACIÓN
EXPONENCIAL DE LOS LADOS DE UN TRIANGULO.
Todo triangulo
se puede ir variando,
elevando su exponente.
Al subir o
bajar su exponente se produce otro triangulo.
Situado en otro
NIVEL
Los
NIVELES del triangulo varían de 1 al
infinito.
El NIVEL de un
triangulo es el exponente al que hay que
elevarlo para bajar al NIVEL 1,
donde se produce la ROTURA del triangulo,
pues se ha llegado al triangulo llano o
degenerado o radical
El exponente
al que se eleva un triangulo,
carga y descarga la
característica del triangulo.
Ejemplo
: el triangulo
rectángulo tiene nivel 2,
si se elevan sus lados al cuadrado baja su nivel a 1
Fig
De este modo
el triangulo puede ASCENDER y
DESCENDER.
Hacia abajo
tiene un limite en el NIVEL 1,
que es el
SUELO,
pero hacia
arriba su limite es el CIELO
..
El exponente
varia desde cero a infinito,
pudiendo ser :
Menor de 1
hasta cero.
Mayor de 1
hasta el infinito
Si el
exponente es mayor de 1,
baja el nivel .
Si el
exponente es menor de 1, sube el
nivel .
Es decir el
triangulo absorbe el exponente.
El exponente,
siempre positivo, puede ser mayor ó
menor que 1
Si mayor que 1,
se hace mas obtuso el
triangulo.
Si menor que 1,
se hace mas agudo el triangulo.
El TFT es la CARA OCULTA DEL TRIANGULO,
y
es l replica en los lados del triangulo,
de lo que MOIVRE es a los ángulos del
triangulo, en lo que se refiere a su
tratamiento exponencial.
En efecto el
TFT nos dice que en un triangulo : los lados menores
elevados a una potencia y sumados es igual al lado mayor elevado a esa misma potencia .
Esa potencia
varia de 1 al
∞, y es la
característica para cada tipo de
triangulo .
Ejemplo en el
triangulo rectángulo es 2
Por su
característica los triángulos se dividen en familias
HORIZONTALES
:
1°)
AGUDOS …………...n >2
2°)
RECTÁNGULOS
.: n = 2
3°)
OBTUSOS ….....…1 < n
< 2
Una
propiedad importante del triangulo, que surge del TFT es que :
Todo triangulo
al elevarse sus lados a una misma potencia produce otro triangulo..:
a x + bx = cx
Cuando un
triangulo se eleva a una potencia sus lados crecen exponencialmente,
y sus ángulos
multiplicativamente .
an +
bn = cn
sen
nx sen ny sen nz
Esta
transformación exponencial cambia el tamaño y la forma del triangulo
Esto permite
hacer una nueva clasificación de los triángulos en FAMILIAS EN VERTICAL
La elevación sucesiva del exponente de un triangulo produce
una serie de triángulos,
al infinito que constituyen una familia exponencial de
triángulos.
El exponente
varia de :/0 a
& , pudiendo ser :
1°) menor de 1, ilimitadamente
2°) mayor
de 1, limitado por la característica del triangulo, pues al llegar a la
característica del triangulo, el triangulo llega a su estado degenerado o
radical ( 0, 0, l80 ),mas allá el triangulo se rompe y deja de ser triangulo
………..fig ………….
LA
factorización del exponente queda evidenciada en la familia.
exponencial de los
triángulos
En efecto el
exponente puede ser factorizado continuamente,
pues
solo produce otro triangulo.
El exponente
puede ser entero ó racional
GRAFICO DE UNA
FAMILIA EXPONENCIAL
SOBRE UN
SEGMENTO AB,
dividido en un punto medio por C,
que
representa el triangulo degenerado A,B,C de ángulos (0,0,P),
levantamos desde C
un línea vertical,
que representa el LUGAR
GEOMÉTRICO de los vértices de una
FAMILIA EXPONENCIAL .
Es una línea
que atraviesa todos los NIVELES (1,infinito ).
Los
triángulos
sobre puestos nos indican los triángulos de la familia exponencial
transformados exponencialmente,
semejando una
PAGODA .
Otra forma de
simbolizar una FAMILIA EXPONENCIAL,
es en la forma de un TOBOGÁN,
que simboliza los
triángulos de la FAMILIA,
SUBIENDO y BAJANDO por efecto del exponente,
desde el
NIVEL 1 al infinito.
EL exponente
VARIA DESDE (0 al infinito)
Cuando es
menor de 1,
el triangulo sube,
al nivel infinito
Cuando es
mayor de 1,
el triangulo baja,
hasta el NIVEL 1.
Los
triángulos
se mueven desde el SUELO al CIELO.
Existen
infinitas familias,
que como PELOS tienen su
raíz en
el suelo
FIG—
Si tenemos una terna de enteros,
al elevarlos a un exponente entero,
la nueva terna
también será de
enteros, pues los factores primos se conservan,
solo varían sus
exponentes.
Ejemplo 5,
6,
7 pasa a
25,
36,
49 ó 52,
62,
72.
La TERNA INICIAL
y la TERNA FINAL,
pertenecen a una misma FE.
Esto significa
que solo debemos ocuparnos de una solo familia exponencial,
pues lo que se pueda hacer en una
familia se hará en cualquier otra.
ACCIÓN DEL EXPONENTE (n) SOBRE LA BASE (a, b, c )
1°) EL
EXPONENTE debe ser positivo.
……fig………….
si es mayor que 1 se hace mas obtuso,
el
triangulo
si es menor que 1 se hace mas agudo, el
triangulo
2°)el exponente puede ser:
entero ó racional
(a,b,c,) n (a’,b’,c’)
Si: entero entero entero
entero racional Irracional
3°) el
exponente puede ser : PAR, IMPAR
1
III PARTE
ULTIMO
TEOREMA DE FERMAT
Este teorema
podemos verlos como 2 ESTADOS
(a,b,c) ( an,bn,cn
) relacionados por el exponente
fig--
donde (a,b,c) son una TERNA de enteros que se traslada a otra TERNA de enteros .
Esta es una
condición BÁSICA,
sobre la cual se sobrepone el
UTF,
con su QUATERNA,
compuesta de una
terna de enteros especial .
Estas ternas
son raras,
y quizás no existan para n>2
En el supuesto de que se cumpla en un (n)= p*q
If
:
apq + bpq = cpq
Entonces
:
ap +bp = cp y
aq + bq
= cq
Aquí como en
la divisibilidad si uno de los factores fallase entonces no seria cierto lo
primero.
Tengamos
también en cuenta que :
Una base
entera elevada a entero ,conserva entera la base.
Una base
entera elevada a fraccionario ,hace irracional la base.
Ejemplo 32 = 9
31/2 =
irracional
en el caso de la
terna de 3 números primos entre si,
alguno es Irracional, al elevarse a un
exponente racional.
teniendo en cuenta lo dicho arriba veamos el
caso:
IMPAR,
Y PAR
si n = IMPAR
n =2x
entonces x = fraccionario.
ax + bx = cx falla ,por ser x = quebrado.
Luego :
a2x + b2x
=c2x es IMPOSIBLE
SI : n = PAR
n = 2y
a2y + b2y = c2y
pero
si y= impar, falla por el caso anterior
.
luego
y = par, y =2z,
pero z debe ser par
……….al infinito.
Por
tanto : n = Par
mayor de 2,
es IMPOSIBLE .
SOLO QUEDA n = 2
COMO ÚNICO POSIBLE .
n = 2
no
solo es posible,
sino cierto.
n = 2, esta demostrado de muchas maneras, pero aquí presentamos una salida siguiendo el mismo proceso, que para el TFT.
Actualizado al 12 de noviembre del 2005
Otra página del autor
http://es.geocities.com/utfytft/
http://www.millicomperu.com.pe/flaviomoreno
http://www.logicadiagramatica.com/
