La Sezione Aurea e i Numeri di Fibonacci


Umberto Cerruti - Universit� di Torino



1 - La Sezione Aurea

Nel capitolo VII del Timeo, Platone riferisce queste parole di Socrate:

Fra i legami il pi� bello � quello che faccia, per quanto � possibile, un'unica cosa di s� e dei termini legati insieme; ed � la proporzione che realizza ci� nel modo migliore. Perch� quando di tre numeri, o masse, o potenze che siano, il medio sta all'ultimo come il primo sta al medio, e d'altra parte il medio sta al primo come l'ultimo sta al medio, allora il medio, divenendo primo e ultimo, e l'ultimo e il primo divenendo medi, cos� accadr� che tutti diventino necessariamente la stessa cosa, e diventando la stessa cosa fra loro, saranno tutti un'unit�.

Il "legame" di cui qui si parla � evidentemente la proporzione geometrica:

P : Q = Q : R

Il rapporto tra P e Q � uguale a quello tra Q e R.
Q � detto termine medio della proporzione, o medio proporzionale.

Si noti che

Q2 = P·R
Pertanto un rettangolo di lati P ed R � equivalente (cio� ha la stessa area) ad un quadrato di lato Q.

Nella proposizione 11 del libro II degli Elementi, Euclide si chiedeva:

Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati
l' intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore.

Per quanto detto il problema � equivalente a questo:

Dividere un segmento dato in due parti tali che la parte maggiore sia media proporzionale tra la parte minore e l'intero segmento.

Una soluzione classica � la seguente:

Euclide, libro II
Figura 1

Dato il segmento AB costruiamo un cerchio di uguale diametro e ad esso tangente in B. Tracciamo la secante AD. E' noto che la tangente AB � il termine medio della proporzione tra AD e AC. Ovvero:

(1) AD : AB = AB : AC

Dalla (1) e dalla costruzione di Figura 1 si ricava: 

(AD-AB) : AB = (AB-AC) : AC
AC : AB = EB : AC
AE : AB = EB : AE
e infine:

(2) EB : AE = AE : AB

La (2) prova che effettivamente la costruzione di Figura 1 permette di dividere un qualsiasi segmento AB in due parti AE e EB tali che il rettangolo di lati AB, EB � equivalente al quadrato di lato AE.

Il rapporto AE:EB (o, ci� che � lo stesso, il rapporto AB:AE) viene detto sezione aurea. Si noti che questo rapporto � indipendente dalla lunghezza AB del segmento di partenza.

2 - Il Rettangolo Aureo

Un rettangolo tale che il rapporto tra il lato maggiore e quello minore sia la sezione aurea viene detto rettangolo aureo.

Rettangolo Aureo
Figura 2

Nella Figura si vede un rettamgolo di lati ab e bc, dove bc � uguale a ae e, come nella Figura 1, si ha:

ab:ae = ae:eb = sezione aurea
Poich� bc � uguale a ae il rapporto tra il lato maggiore e quello minore � la sezione aurea e pertanto il rettangolo abcd � un rettanglo aureo. Levando da abcd il quadrato di lato ae rimane il rattangolo ebcf. Poich�
bc:eb = ae:eb = sezione aurea
anche ebcf � un rettangolo aureo. Possiamo concludere che:

Se da un rettangolo aureo si sottrae il quadrato costruito sul lato minore, rimane un rettangolo aureo.

Chiaramente questa costruzione si pu� ripetere quante volte si vuole.

Nove Rettangoli Aurei
Figura 3

Si determina cos� una sequenza infinita di rettangoli aurei, dove ognuno si ottiene dal precedente levando il massimo quadrato in esso contenuto.

Guardando attentamente, in Figura 3 si osservano nove rettangoli aurei.
In questa direzione si precipita vertiginosamente verso l'infinitamente piccolo. Ma si pu� anche seguire il cammino opposto:

Se, dato un rettangolo aureo, si costruisce un quadrato sul suo lato maggiore, il rettangolo risultante � aureo.

Cinque Rettangoli Aurei
Figura 4

Nella Figura 4 si parte dal rettangolo aureo iniziale R e si aggiungono in sequenza quattro quadrati, ottenendo quattro nuovi rettangoli aurei R1, R2, R3 e R4, dove:

R1 = R + q1
R2 = R1 + q2
R3 = R2 + q3
R4 = R 3+ q4

Osserviamo che, in entrambe le costruzioni, i rettangoli che si ottengono hanno la stessa forma (infatti la forma di un rettangolo � determinata completamente dal rapporto dei lati), Essi crescono o rimpiccioliscono mantenendo inalterata la forma.
Le medesime costruzioni si possono applicare a partire da un qualunque rettangolo nel piano, ma - se esso non � aureo - daranno luogo a rettangoli di forme diverse.

Se si parte da un rettangolo R nel piano si noter� che, ad ogni passo, sia verso l'interno che verso l'esterno, ci sono due possibilit� di sviluppo della figura, perch� il quadrato si pu� togliere (o aggiungere) da un lato o dall'altro. Ad ogni passo il rettangolo ruota di 90 gradi. Se si fissa un verso di rotazione e si toglie (o si aggiuge) il quadrato sempre dalla stessa parte (ruotando come osservatori solidali con esso) si ottiene una figura frattale. Supponiamo di procedere all'infinito, di riempire R con la costruzione verso l'interno e la parte rimanente del piano con quella verso l'esterno. Se ora ci solleviamo e guardiamo la tassellazione ottenuta (il disegno delle piastrelle) essa apparir� uguale a quasiasi distanza! Se ci avviciniamo al centro, dove i rettangoli diventano piccolissimi, e facciamo uno zoom (guardiamo con una lente di ingrandimento) vediamo sempre la stessa figura!

3 - Il numero d'oro

Fino ad ora abbiamo trattato della sezione aurea come di un rapporto tra lunghezze, il cosiddetto rapporto aureo. A questo rapporto corrisponde un numero, (il numero d'oro) che ora calcoleremo.

Ricordiamo la

(2) EB : AE = AE : AB

Poniamo

x = AE
y = EB
Poich� AB � la lunghezza del segmento intero si ha:
AB = x + y
e dalla (2) si ottiene l'equazione:

(3) x2 = y (x + y)
Dividendo entrambi i lati per y2 e riordinando si ha:
(4) (x/y)2 - x/y -1 = 0
Si noti che x/y � il valore di AE:EB, cio� il valore numerico della sezione aurea. La (4) ha due soluzioni, che sono:
x/y = (1 + Ö5)/2
x/y = (1 - Ö5)/2
Soltanto la prima � accettabile, in quanto la seconda � negativa.

Solitamente la sezione aurea viene denotata con la lettera greca Φ (phi maiuscolo)

Abbiamo allora dimostrato che:

(5) Φ = (1 + Ö5)/2


Approssimativamente (con 50 decimali dopo la virgola) Φ vale:

(6) Φ = 1.61803398874989484820458683436563811772030917980576...


Dalla (4) si ottiene subito la relazione fondamentale:

(7) Φ2 = 1 + Φ


Moltiplicando entrambi i lati della (7) per Φn - 2 si ottiene la relazione di ricorrenza per Φ:

(7') Φn = Φn-2 + Φn-1


E' facile ora calcolare il reciproco di Φ.
Dividendo entrambi i lati della (3) per x2 e riordinando si ha:

(8) (y/x)2 + y/x -1 = 0
Anche la (8) ha due soluzioni, che sono:
y/x = (-1 + Ö5)/2
y/x = (-1 - Ö5)/2
Ancora una volta soltanto la prima � accettabile, perch� la seconda � negativa.

Di solito il reciproco della sezione aurea viene denotato con la lettera greca φ (phi minuscolo).

Pertanto:

(9) φ = (-1 + Ö5)/2


La parte decimale di φ � identica a quella di Φ perch�:

(10) Φ = 1 + φ


Ne segue che φ vale:

(11) φ = 0.61803398874989484820458683436563811772030917980576...


Dalla (8) si ottiene subito la relazione fondamentale:

(12) φ2 = 1 - φ


Moltiplicando entrambi i lati della (12) per φn - 2 si ottiene la relazione di ricorrenza per φ:

(12') φn = φn-2 - φn-1


Ci sono altre relazioni utili. Dalla definizione stessa di φ abbiamo:

(13) Φ = 1/φ


La (13) con la (10) d�:

(14) Φ = 1 + 1/Φ


Giocando con i rettangoli aurei, come nel paragrafo 2, mi sono posto alcuni problemi. Uno di essi � il seguente:

C'� una relazione semplice tra le lunghezze dei lati del rettangolo iniziale e quelle dell'n-esimo rettangolo costuito?

Consideriamo la fuga verso l'interno. Supponiamo che il lato minore del rettangolo iniziale (rettangolo 0) sia lungo 1 (questo significa semplicemente che si misurer� tutto usando la lunghezza del lato minore come unit� di misura). Allora, per definizione di rettangolo aureo, il lato maggiore sar� lungo Φ.
Il secondo rettangolo (rettangolo 1) ha lato maggiore uguale al lato minore del primo, quindi affinch� si mantenga il rapporto aureo, i suoi lati avranno lunghezze:

lato maggiore = 1
lato minore = 1/Φ
Il terzo rettangolo (rettangolo numero 2 della costruzione) ha lato maggiore uguale al minore del precedente. Quindi affinch� si mantenga il rapporto aureo, i suoi lati avranno lunghezze:
lato maggiore = 1/Φ
lato minore = 1/Φ2
E' ora immediato provare, per induzione, che
(15) I lati del rettangolo n-esimo (nella costruzione verso l'interno) hanno lunghezze:
lato maggiore = 1/Φn-1
lato minore = 1/Φn
Dalla (13) si ottiene subito la
(15') I lati del rettangolo n-esimo (nella costruzione verso l'interno) hanno lunghezze:
lato maggiore = φn-1
lato minore = φn
E' un risultato interessante. Consideriamo la successione dei rettangoli Ro (quello iniziale), R1, R2, ..., Rn,... Da quanto visto le lunghezze dei lati minori di questi rettangoli formano la successione:
φ0 = 1, φ, φ2, ...., φn, ...
Si tratta di una progressione geometrica di ragione φ.

Sommando i termini della successione si ha la serie geometrica:

Serie Aurea: 1 + φ + φ2 + .... + φn + ...
E' ben noto che la somma di una serie geometrica di ragione r minore di 1 � finita e vale:
(16) 1/(1 - r)
Dunque, utilizzando la (12) si ha:
(17) La somma della Serie Aurea vale 1/φ2
Equivalentemente:
(17') La somma della Serie Aurea vale Φ2
O ancora, dalla (7):
(17'') La somma della Serie Aurea vale 1 + Φ
Da questa si ricava immediatamente:
(18) Φ = φ + φ2 + .... + φn + ...
Possiamo arrivare da soli a questi risultati, anche senza conoscere la (16), partendo dal solo fatto che la somma della nostra serie esiste ed � finita: 
Denotiamo con α la somma della Serie Aurea,
α = 1 + φ + φ2 + .... + φn + ...
raccogliendo φ si ha:
α = 1 + φ (1 + φ + φ2 + .... + φn + ...)
ovvero
α = 1 + φ α
e infine
α = 1/(1 - φ)
La somma dei primi 10 termini della Serie Aurea d�
2.604878371253470009248...
e solo il primo decimale � corretto. La somma dei primi 100 termini d�
2.618033988749894848202...
con 20 cifre corrette dopo la virgola.

Con la Serie Aurea ci si pu� divertire, si possono ottenere senza fatica risultati sorprendenti. Facciamo un esempio:

1 + Φ = 1 + φ + φ2 + .... + φn + ... =
1 + (φ + φ2) + (φ3 + φ4) + ... =
1 + (1 + φ) φ + (1 + φ) φ3 + ... = 
1 + (1 + φ) (φ + φ3 + φ5 + ...) =
1 + Φ (Somma delle potenze dispari di φ)
Pertanto la somma delle potenze dispari di φ vale 1.
Conseguentemente:
La somma delle potenze pari di φ vale Φ.
Esaminiamo ora la costruzione dei rettangoli aurei verso l'esterno. Partiamo dallo stesso R0 di prima, di lati 1 e Φ. Poniamo S0 uguale a R0e denotiamo con S1, S2, S3... la sequenza dei rettangoli via via generati.

La regola � la seguente:

Sn+1 si ottiene da Sn costruendo un quadrato
sul lato maggiore di Sn
Ne segue immediatamente che:

  • Il lato minore di Sn+1 � uguale a quello maggiore di Sn
  • Il lato maggiore di Sn+1 � la somma dei due lati di Sn

    Il rettangolo S0 ha lati (minore e maggiore), come si � detto, 1 e Φ. 
S1 ha lati Φ e (1 + Φ) = Φ2.
S2 ha lati Φ2 e (Φ + Φ2) = Φ3.
etc.
In questo calcolo abbiamo usato la relazione di ricorrenza (7').
    Concludendo, abbiamo dimostrato che
    (19) I lati del rettangolo n-esimo (nella costruzione verso l'esterno) hanno lunghezze:
    lato maggiore = Φn+1
    lato minore = Φn
    Naturalmente per ottenere questo risultato sarebbe stato sufficiente usare la regola di costruzione e il fatto che il rapporto tra i lati rimane sempre Φ. E' per� molto interessante, e utile, avere una dimostrazione diversa che usa la ricorrenza.

    4 - L'apparizione dei Fibonacci

    Supponiamo di fissare un segmento AB come unit� di misura. Siamo allora in grado di costruire, con riga e compasso, segmenti di lunghezza φ e Φ. Per esempio la costruzione della Figura 1 ci fa subito trovare φ, che � AE. Possiamo immediatamente costruire Φ prolungando AB (che vale 1) di un segmento uguale a AE. Per la (10) il segmento risultante ha lunghezza Φ.

    E' possibile - dato un intero n positivo - costruire, con riga e compasso, i rettangoli Rn e Sn?

    Visti i risultati (15') e (19) la domanda � equivalente a:

    E' possibile - dato un intero n positivo - costruire, con riga e compasso, segmenti di lunghezza Φn e φn?

    Tentiamo di scrivere ogni Φn nella forma a + b Φ, con a e b interi.

    Se n � 0, Φ0 � 1. Dunque a, b valgono, rispettivamente, 1 e 0.
    Se n � 1, Φ1 � Φ. Dunque a, b valgono, rispettivamente, 0 e 1.
    Se n � 2, Φ2 � 1 + Φ, per la (7). Pertanto a e b valgono 1 entrambi.
    Se n � 3, Φ3 � Φ + Φ2 per la (7'). Dunque, per il risulato precedente, Φ3 vale 1 + 2 Φ. In questo caso a e b sono, rispettivamente, 1 e 2.
    E' chiaro come si pu� proseguire. Nella tavola sottostante si riportano i valori di a e b per n che va da 0 a 10:

    
(20)


n	a	b
0	1	0
1	0	1
2	1	1
3	1	2
4	2	3
5	3	5
6	5	8
7	8	13
8	13	21
9	21	34
10	34	55
    Chi ha visto almeno una volta la successione dei numeri di Fibonacci, la riconoscer� immediatamente nelle due colonne sottostanti ad a e b.

    Leonardo Pisano, detto Fibonacci, fu un grande matematico e visse tra il 1170 e il 1250. Nel 1202 scrisse il Liber Abaci, uno dei capolavori della letteratura matematica. Nel terzo capitolo di questo libro Fibonacci poneva un problema riguardante una popolazione ideale di conigli:

    Ipotesi:
  • Una coppia di conigli matura produce ogni mese una coppia immatura.
  • Dopo un mese dalla nascita una coppia immatura diventa matura.
  • Nessun coniglio muore.
  • All'inizio c'� una coppia immatura.
    Domanda:
  • Quante coppie ci sono dopo un anno?
    • Diciamo Fn il numero delle coppie di conigli al mese n, e calcoliamo:
    
A gennaio c'� una coppia immatura A: F1 = 1
A febbraio c'� una coppia matura A: F2 = 1
A marzo A produce una coppia immatura B: F3 = 2
Ad aprile A produce una coppia immatura C, e B matura: F4 = 3
A maggio ci sono certamente A, B e C. C matura.
A e B producono due coppie immature: F5 = 5
Etc. etc.
    La legge � ora evidente:
    (21) Fn = Fn-1 + Fn-2
    La legge � formalmente identica alla (7'), ed � esattamente questo il motivo per cui i numeri di Fibonacci appaiono nella tavola (20).

    Abbiamo pertanto trovato i numeri interi (a e b) che cercavamo. Ora sappiamo che:

    (22) Φn = Fn-1 + Fn Φ

    Quindi i rettangoli aurei esterni si possono effettivamente costruire con riga e compasso, a partire da un segmento U di lunghezza 1 e da un segmento V di lunghezza Φ. Per esempio per disegnare S9 dobbiamo tracciare i due lati, che hanno lunghezze Φ9 e Φ10. Dalla 22 Φ9 si ottiene riportando di seguito su una retta 21 copie di U e 34 copie di V. Per il lato maggiore occorrono 34 copie di U e 55 copie di V.

    Passiamo alla sequenza dei rettangoli interni, cio� alla costruzione con riga e compasso delle quantit� φn. Seguiamo la stessa tattica che abbiamo usato prima.

    Tentiamo di scrivere ogni φn nella forma c + d φ, con c e d interi.

    Se n � 0, φ0 � 1. Dunque c, d valgono, rispettivamente, 1 e 0.
    Se n � 1, φ1 � φ. Dunque c, d valgono, rispettivamente, 0 e 1.
    Se n � 2, φ2 � 1 - φ, per la (12). Pertanto c � 1 mentre d � -1.
    Se n � 3, Φ3 � φ - φ2 per la (12'). Dunque, per il risulato precedente, φ3 vale -1 + 2 φ. In questo caso c e d sono, rispettivamente, -1 e 2.
    La (23) � l'analogo della tavola (20):

    
(23)


n	c	d
0	1	0
1	0	1
2	1	-1
3	-1	2
4	2	-3
5	-3	5
6	5	-8
7	-8	13
8	13	-21
9	-21	34
10	34	-55
    E' facile ora concludere che:
    (24) φn = (-1)n (Fn-1 - Fn φ)

    Per disegnare R9 dobbiamo disporre delle lunghezze φ8 (il lato maggiore) e φ9 (il lato minore). Supponiamo di avere i segmenti U e W di rispettive lunghezze 1 e φ. Otteniamo φ8 in questo modo: partiamo da un punto su una retta e riportiamo 13 volte U procedendo verso destra, quindi invertiamo la direzione e riportiamo 21 volte φ. Si procede allo stesso modo per φ9.

    E' istruttivo vedere insieme la (22) e la (24):

    (22) Φn = Fn-1 + Fn Φ
    (24) φn = (-1)n (Fn-1 - Fn φ)

    Poich�

    (-φ)n = (-1)n φn

    moltiplicando entrambi i lati della (24) per (-1)n otteniamo:

    (22) Φn = Fn-1 + Fn Φ
    (24') (-φ)n = Fn-1 - Fn φ
    Sottraendo la (24') dalla (22) si hanno le:
    (25) Φn - (-φ)n = Fn (Φ + φ)

    cio�:


    (25')

    Ricordiamo ora la (5) e la (9);

    (5) Φ = (1 + Ö5)/2
    (9) φ = (-1 + Ö5)/2
    Da queste e dalla (25') si ottiene per Fn la seguente espressione:


    (26)

    La (26) � veramente un risultato straordinario! Ricordiamo che i numeri di Fibonacci sono definiti da una relazione ricorsiva: si ottiene l'elemento n-esimo sommando i due precedenti. Apparentemente quindi per calcolare F100 � necessario conoscere F99 e F98. Invece la (26) d� F100, o Fn, in un colpo solo, senza richiedere la conoscenza degli elementi precedenti.

    Inoltre la formula (26) contiene potenze di numeri irrazionali, mentre Fn � un numero intero!

    5 - Il pi� nobile di tuti i numeri!

    Il questo paragrafo parleremo di uno strumento matematico poco noto ma estremamente utile e potente: le frazioni continue.

    L'espressione in frazione continua (abbreviato FC) di un numero α � la seguente:

    Frazione continua
    (27)

    I coefficienti che appaiono nella (27) sono chiamati quozienti parziali.

    Se α � irrazionale la FC che lo esprime � infinita. Questo � il caso che ci interessa. Se la FC si taglia ad un certo punto si ottiene una frazione, un numero razionale, che viene detto convergente di α.

    Diciamo Pk/Qk il k-esimo convergente.

    Con semplici calcoli troviamo:

    P0/Q0 = a0 = a0/1
    P1/Q1 = a0 + 1/a1 = (1 + a0a1)/a1
    P2/Q2 = a0 + 1/(a1 + 1/a2)) = (a0 + a2 + a0a1a2) /(1 + a1a2)

    I convergenti si possono calcolare ricorsivamente:

    (28)
    Dati:
    P0 = a0, Q0 = 1
    P1 = 1 + a0a1, Q1 = a1
     Per ogni k > 1 si ha:
    Pk = akPk-1 + Pk-2
    Qk = akQk-1 + Qk-2

    Vediamo ora come si determinano i quozienti parziali ak. Ricordiamo che con [z] si intende la parte intera di z, ovvero il pi� grande intero minore o uguale a z.

    (29) - Procedimento per la generazione dei quozienti parziali di α
    Poniamo α0 = α e a0 = [α0].
    Per ogni k > 1 definiamo αk e ak cos�:
    αk = 1/(αk-1 - ak-1)
    ak = [αk]

    E' facile calcolare lo sviluppo in FC di una irrazionalit� quadratica Ön. Proviamo con Ö3:

    (30) Sviluppo in frazione continua di Ö3
    α0 = Ö3, a0 = [Ö3] = 1.
    α1 = 1/(α0 - a0) = 1/(Ö3 - 1)
    e, moltiplicando sopra e sotto per Ö3 + 1:
    α1 = (Ö3 + 1)/2.
    a1 = [α1] = 1.
    α2 = 1/(α1 - a1) = 1/((Ö3 + 1)/2 - 1) = 2/(Ö3 - 1)
    e, moltiplicando sopra e sotto per Ö3 + 1:
    α2 = Ö3 + 1.
    a2 = [α2] = 2.
    α3 = 1/(α2 - a2) = 1/((Ö3 + 1) - 2) = 1/(Ö3 - 1) = α1:
    da questo punto in poi gli ak si ripetono, pertanto:
    Ö3 = [1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ... ].
    Sussiste il notevole teorema (che in parte era gi� noto a Euclide):
    (31)
    Un numero α ha FC periodica se e solo se α = (a + Ön)/b
    dove a, b sono interi qualsiasi (ovviamente b ¹ 0) ed n � un intero positivo non quadrato.
    Inoltre:
    (32)
    Se α = Ön, con n positivo non quadrato allora:
    1) Il periodo comincia subito dopo a0.
    2) L'ultimo termine amdel periodo � sempre uguale a 2a0.
    3) La parte di periodo a1, a2, ..., am-1 � una palindrome.
    Ovvero:
    Ön = [a0, a1, a2, a3, ...., am-1, 2a0, a1, a2, a3, ..., am-1,2a0, ... ]
    dove [a1, a2, a3, ..., am-1] = [am-1, am-2, am-3, ..., a1]
    Come esempio di quanto asserito nella (32) esaminiamo la FC di Ö2005:
    Ö2005 = [44, 1, 3, 2, 21, 1, 16, 1, 21, 2, 3, 1, 88, 1, 3, 2, ... ]
    Il periodo termina con 88 e [1, 3, 2, 21, 1, 16, 1, 21, 2, 3, 1] � una palindrome.

    La FC di α serve a creare una successione di approssimazioni sempre migliori di α. Queste approssimazioni sono i convergenti Pk/Qk.
    Per semplificare le notazioni poniamo

    Ck = Pk/Qk
    Si dimostra che:
    (33)
    1) La successione dei convergenti Ck ha come limite α
    2) Per ogni k C2k < α < C2k+1
    3) |α - Ck| < 1/(QkQk+1)

    La (33.1) non � particolarmente interessante, a prima vista. Ci sono infinite sequenze di numeri razionali che convergono ad α. La pi� ovvia, � pi� usata, � quella data dalla espressione decimale infinita di α. Prendiamo come esempio un personaggio unico, potente e famoso: π.

    π = 3,1415926535897932384626433832795028841971...
    La sequenza dei razionali:
    (34)
    3/1, 31/10, 314/100, 3141/1000, 31415/10000, ....
    coverge a π.

    Se sviluppiamo π in FC troviamo:

    (35)
    π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1 ...]
    e la sequenza dei convergenti � (da C0 a C12):
    3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, 208341/66317, 312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913, 4272943/1360120, 5419351/1725033, 80143857/25510582, ...
    I razionali della (34) approssimano tutti π per difetto, mentre la (33.2) dice che i convergenti della (35) "colpiscono" una volta a sinistra e una volta a destra del bersaglio. Tutti i pari sono a sinistra e tutti i dispari a destra. Ma la cosa pi� importante � la precisione dei "colpi"!

    Dalle (28) e (33.3) si ricava che un convergente Ck � una approssimazione particolarmente efficace quando ak+1 fa un salto di grandezza rispetto ai precedenti quozienti parziali. Nel tratto iniziale di π questo avviene per k uguale a 1 e a 3.

    (36)
    Nelle (35) leggiamo che
    C1 = 22/7
    ora 22/7 = 3,142... approssima π con due decimali esatti e
    C3 = 355/113 = 3.1415929... approssima π con sei decimali esatti!
    Quanto detto nella (36) non � un caso, infatti vale questo formidabile risultato:
    (37)
    I convergenti Ck = Pk/Qk di α sono le migliori approssimazioni possibili ad α.
    Lo sono in questo senso molto preciso:
    Tra tutte le frazioni i cui denominatori sono minori di una data quantit�, quella che � pi� vicino ad α � sempre uno dei convergenti di α.
    Questo � il motivo per cui certe frazioni, come 22/7 (Archimede, 287-212 AC) e 355/113 (Zu Chongzhi, 429-500) sono note fin dall'antichit�.

    Veniamo ora alla nostra amata sezione aurea Φ. Determiniamo la sua FC con il procedimento (29)

    (38)
    Φ0 = Φ, a0 = [Φ] =1.
    Φ1 = 1/(Φ -1) = Φ per la relazione fondamentale (7).
    Dunque a1 = [Φ1] = 1. Da questo punto tutto si ripete e infine:
    Φ = [1, 1, 1, 1, 1, .... ]
    Calcolando i convergenti a Φ con le (28) otteniamo la sequenza:
    1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, 233/144, 377/233 ...
    Ovviamente li riconosciamo, sono loro, i Fibonacci! Pertanto, abbiamo scoperto che:
    (39)
    La sequenza dei convergenti a Φ � cos� fatta:
    per ogni k > 1
    Ck-2 = Fk/Fk-1
    Immediatamente cosegue che:
    (40)
    Sia Fk il k-esimo numero di Fibonacci, con k > 1:
    1) La successione Fk/Fk-1 converge alla sezione aurea Φ
    2) Le frazioni Fk/Fk-1 sono le migliori approssimazioni possibili a Φ
    Poich� i quozienti parziali della FC di Φ sono tutti 1, da quanto detto sopra risulta immediatamente che tra tutti i numeri irrazionali Φ � quello che viene approssimato pi� lentamente dai suoi convergenti!

    Per questo motivo alcuni chiamano Φ il pi� irrazionale dei numeri. Altri, poich� Φ si lascia avvicinare meno facilmente di qualsiasi altro, lo chiamano il pi� nobile degli irrazionali.

    6 - I numeri di Fibonacci e i numeri primi

    I numeri di Fibonacci appaiono nelle soluzioni di moltissimi problemi combinatoriali e generano infinite e meravigliose identit� aritmetiche.

    Ecco alcune delle loro propriet�:

    (41)
    1) F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn+2 - 1
    2) F12 + F22 + F32 + ... + Fn2 = FnFn+1
    3) F1 + F3 + F5 + ... + F2n-1 = F2n
    4) Fn-1 Fm+1 - Fn2 = (-1)n
    5) Se m divide n, allora Fm divide Fn
    Dalla (41.4) si deduce immediatamente che due Fibonacci consecutivi sono sempre coprimi, cio� non hanno divisori diversi da 1 in comune.

    La (41.5) � molto interessante: evidenzia un legame tra la divisivilit� degli indici e quella dei relativi Fibonacci. Da essa si ottiene:

    (42)
    Se Fn � primo, allora n = 4, oppure n � primo.
    Purtroppo il viceversa della (42) non vale, per esempio
    F19 = 1921 = 13 · 113
    Attualmente � noto che Fn � primo per i seguenti valori di n:
    n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 81839
    Rimane aperta la seguente
    (43) Congettura:
    Fn � primo per infiniti indici n
    Una delle caratteristiche pi� interessanti dei Fibonacci � che
    (44)
    Dato un qualsiasi primo p, esiste un n tale che p divide Fn
    Dalla (44) e dalla (41.5) segue subito che
    (45)
    Dato un qualsiasi primo p, p divide infiniti Fn
    E' spontaneo chiedersi: dato il primo p, come trovare esplicitamente un n tale che p divide Fn? A questa domanda sappiamo rispondere!
    Ricordiamo che
    Con a mod n si denota il resto della divisione di a per n
    Esempi: 10 mod 3 = 1, 10 mod 5 = 0, 15 mod 6 = 3, ...
    (46) Teorema
     Supponiamo p primo.
    p divide Fp-1 se p mod 5 =1 o p mod 5 = 4, altrimenti p divide Fp+1
    Per esempio:
    ....
    17 divide F18 = 23·17·19, perch� 17 mod 5 = 2
    19 divide F18, perch� 19 mod 5 = 4
    23 divide F24 = 25·32·7·23, perch� 23 mod 5 = 3
    ....

    Esiste una importante generalizzazione dei numeri di Fibonacci:

    (47)
    Diciamo successione lineare ricorsiva di grado 2 (abbreviato con SLR), una sequenza di numeri an cos� definita:
    a0 = A,
    a1 = B,
    an+2 = P an+1 + Q an
    dove A, B, P, Q sono numeri assegnati.
    La successione dei Fibonacci � una SLR con parametri
    A = 0, B = 1, P = 1, Q = 1
    Una delle pi� notevoli SLR � la seguente, che denotiamo con L, dovuta a Lucas:
    (48) Definizione della successione L
    L � la SLR di parametri A = 2, B = 4, P = 4, Q = -1
    I primi 20 termini di L sono:
    2, 4, 14, 52, 194, 724, 2702, 10084, 37634, 140452, 524174, 1956244, 7300802, 27246964, 101687054, 379501252, 1416317954,5285770564, 19726764302, 73621286644, 274758382274
    La sequenza L � intimamente legata ai numeri perfetti attraverso i numeri primi di Mersenne.
    I numeri perfetti appassionavano i matematici di 2500 anni fa, e sono anche oggi oggetto di attive ricerche.
    (49) Definizione di numero perfetto
    Un numero n si dice perfetto
    se la somma dei suoi divisori     (compreso se stesso) � uguale a 2n.

    Per esempio :
    12 = 1 + 2 + 3 + 6,
    56 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28,
    992 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 496.
    I primi quattro numeri perfetti sono 6, 28, 496 e 8128.

    Sono noti 41 numeri perfetti, tutti pari. Malgrado recenti tentativi di dimostrazione, rimane aperta la:
    (50) Congettura
    Non esistono numeri perfetti dispari
    Per elencare i 41 numeri perfetti noti ci vorrebbe un volume di centinaia di pagine, perch� i pi� grandi di essi hanno milioni di cifre! E' possibile per� identificarli esattamente, mediante i numeri primi di Mersenne.
    (51) Definizione di numero di Mersenne
    diciamo n-esimo numero di Mersenne l'intero
    Mn = 2n - 1
    (52)
    diciamo primo di Meresenne un numero di Mersenne primo.
    Si vede facilmente che:
    (53)
    Mn � primo solo se n � primo
    Purtroppo non vale il "se e solo se". Per esempio:
    M11 = 23·89.
    Tra l'insieme dei numeri perfetti pari e l'insieme dei primi di Mersenne esiste una corrispondenza biunivoca, espressa dal:
    (54) Teorema
    N � un numero perfetto pari se e solo se:
    N = Mp 2p-1 con Mp � primo
    Dunque, come si fa a trovare i numeri perfetti pari? Si cercano i primi di Mesenne Mp.
    Ma, come si fa a vedere se, dato il primo p, Mp � effettivamente primo?
    La risposta a questa domanda segna anche la fine di questa nostra breve avventura matematica. E' uno splendido teorema che lega in modo indissolubile la sequenza L di Lucas ai primi di Mersenne, e quindi ai numeri perfetti:
    (55) Teorema
    Mp � primo se e solo se
    Mp divide Ln
    con n = 2p-2
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