| Ejercicios Resueltos Sobre Números Complejos | |
| 1Determine
analítica y gráficamente los complejos z = (x,y),
que verifican las siguientes relaciones:
a) Re(z) = -2. b) |
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| Ejercicios Resueltos Sobre Números Complejos | |
| 1Determine
analítica y gráficamente los complejos z = (x,y),
que verifican las siguientes relaciones:
a) Re(z) = -2. b) |
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| SOLUCIÓN | |
a)
Si z = (x,y), como x = Re(z) = -2,
se sigue, entonces, que z es un par ordenado que
tiene la forma z = (-2,y). Geométricamente, representa una
línea recta paralela al eje y, que pasa por el
punto de la abscisa -2 (Fig. 3.a).  b) Si z = (x,y),
como y = |
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2 Simplifique totalmente la expresión
:  |
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| SOLUCIÓN | |
 = 
= Como 30 = 4× 7 + 2 y 31
= 4× 7 + 3 ,entonces: Por lo tanto, |
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3. Encuentre
los valores de x e y para los cuales se
verifica la siguiente igualdad :
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| SOLUCIÓN | |
Sean  y  .
Recordando que dos complejos son iguales si y sólo si sus correspondientes partes reales e imaginarias son iguales, se tiene, entonces : x + y +1= 1 y x
- y + 3 = 7. Resolviendo simultáneamente el sistema
anterior, se obtiene : |
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| 4. Efectúe
las operaciones indicadas en cada uno de los siguientes
literales, expresando el resultado en la forma (a + bi).
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| SOLUCIÓN | |
| a)
(2m+5+i) + [2 + (3m - 2)i] = 2m
+ 5 +i +2 +3mi -2i = (2m +7 ) +(-1 +3m
).i b)
En primer lugar, Por tanto ,
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5.Demuestre
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| SOLUCIÓN | |
Sea
z = a + bi ; a = Re(z) , b =  ,
entonces, Ahora, como aÎ Â, a £ | a| (2). De (1) y (2), se concluye que a £ | z | ,es decir,
Procediendo en forma
similar, se demuestra que |
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6.Demuestre
 . |
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| SOLUCIÓN | |
 (Por
Propiedad)
= = Pero, la igualdad:
Por tanto , Ahora bien ,de acuerdo
con la propiedad ,
De (1) y (2), se tiene
:
0 equivalentemente
, De donde |
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| 7. Determine
analítica y gráficamente los complejos z que
verifican : a) 1 £ | z | £ 3. b) | z - 1 + i | = 1. |
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| SOLUCIÓN | |
| Sea
z = x + yi la forma binomial del número complejo
buscado . a) 1£ | z |£ 3 Û  o también ,  (1). La desigualdad (1) es equivalente
a la conjunción de las desigualdades :  (2) y  (3).
Geométricamente, (2)
representa todos los puntos (x,y) del plano
complejo que están por fuera del círculo unidad
(incluyendo la circunferencia (Fig. 4.a.)).  De la misma forma, (3) representa geométricamente todos los puntos (x,y) del plano complejo que están en el interior del círculo centrado en el origen y radio 3, incluyendo la circunferencia (Fig. 4.b). Como (2) y (3) se
cumplen de manera simultánea esto significa
geométricamente que, se debe considerar, como solución
de la desigualdad inicial, la región común o
intersección de las regiones de las figuras (4.a) y
(4.b), esta es la corona que aparece en la Fig. 4.c.
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8. Pruebe
que si  y  son dos números complejos ,entonces :
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| SOLUCIÓN | |
| Se
prueba la igualdad transformando el primer miembro en el
segundo. Esto es ,
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,entonces, los valores de z, que
verifican
, son todos aquellos números
complejos cuya ordenada y verifica : -2£y
< 3; o equivalentemente: y ³ -2
y y <3.La conjunción de estas desigualdades
representa gráficamente la franja del plano cartesiano
comprendida entre las rectas y = -2 e y =
3. (Fig. 3.b). Note que la recta y = 3 se ha
trazado en forma punteada para indicar, con esto, que los
puntos sobre la recta no pertenecen a la solución . 
.
; 
y 
. Es decir
, 
y, por tanto, 
(1). 
. 
(Por
Propiedad) 
(Distributiva ) 
(Por
Propiedad) 
indica que
los términos:
y 
son complejos conjugados uno del otro y por
propiedad, se sigue que: 
(1).
ó, también,
(2). 
(4)
La ecuación (4) representa
geométricamente todos los puntos del plano complejo que
están sobre la circunferencia de radio 1 , centrada en
el punto C(1,-1).(Fig. 5). 
(Por Propiedad) 
(Por Propiedad) 
(Efectuando los productos y
simplificando). 
(Por Propiedad)