Deoxy.-

¿Que son los numeros? Capitulo 3

05-08-2005 12:30:23

Después de varios días sin escribir nada sobre nuestro estudio de los números naturales N. Volvemos a retomar el tema. 

Luego de la inducción aplicada a las cadenas K del capítulo anterior seguimos ahora con los trabajos de Dedekind. 

Una vez propuesto el método de las cadenas, Dedekind se preguntó ¿existirá un conjunto en nuestro reino de las ideas que posea las características de N?, pues sino existiera un conjunto tal, podría ocurrir que los axiomas sean contradictorios. La contradictoriedad en un sistema de axiomas es grave pues se podrían deducir proposiciones erradas. 

Las demostraciones hechas por Dedekind, sin embargo, no son matemáticas sino que son de naturaleza filosófica que pueden ser discutibles. 

Las demostraciones por inducción son las más importantes en la teoría de números. Este tipo de pruebas son de la siguiente manera:

 

  1.    1)                Probamos que i posee la propiedad P.
  2.    2)                Suponemos que un número cualquiera n posee la propiedad P y usando esta hipótesis demostramos que n’ tambien posee P.

 

Si probamos 1) y 2) habremos demostrado que todo numero natural n posee la propiedad P.

 

En las entregas hechas hasta ahora tenemos la como única operación la transformación q, que trasforma cada numero en su sucesor, pero ¿como podemos definir otras operaciones como la suma o la resta?. 

Por Ej. La suma seria:

           

                        m + i = m’

                        m + n’ = (m + n)’

 

O sea m+i es igual al sucesor de m y m+n’ es el sucesor de (m + n). Definimos sumas mas m para i, y suponiéndola definida para n, la definimos para n’. 

Hasta aquí dejaremos este tercer capitulo bastante reducido por lo demás, a partir del próximo capítulo el tema ¡¡¡se pone más lindo que el sol!!, y hay axiomas realmente interesantes. ¡Además que ya me dio sueño porque es tarde!. Y no olviden dejas sus comentarios.

 

Deoxy.

Comments