Deoxy.-

Los hechos publicados en la entrega anterior nos han mostrado acontecimientos que no sólo se reservan o son exclusivos del conjunto de números N. Estos hechos además se pueden aplicar a sistemas S, que además de los números N, contuviera un sistema T de otros elementos arbitrarios t. Al cual se le puede extender  la transformación q(T) = T pero este sistema S sería diferente de la sucesión numérica N. Esto quiere decir que debemos limpiar nuestro sistema S de todos los elementos extraños t que perturban nuestro orden. Debemos entonces definir la transformación q por las siguientes cláusulas. Sea s un elemento de S, entonces.

1)     1) Si s es elemento de n, entonces q(s) = s’

2)     2) Si s es elemento de T, entonces q(s) = s.

Por lo que i es elemento de S, si n es elemento de S, entonces q(n) también lo es, si n <> m, entonces q(n)<> q(m), i <>q(n), para todo n en S.

Dedekind dice que es un circulo vicioso si n pertenece a N si y sólo si comenzando por el elemento i e iterando un número finito de veces la transformación q  se llega a n, porque estaríamos caracterizando la sucesión de números naturales N usando a N.

Para poder limpiar nuestro sistema S de los elementos t y diferenciarlo de los elementos n debemos tomar cualquier parte K de S que sea una cadena que contenga al i, una cadena K es un subconjunto de S, tal que q(k) es parte de K, por lo que si k esta en K, entonces q(k) también lo esta. Como K contiene al i, también contiene a q(i), o sea si K contiene a 4 también contiene 5 que es q(4), y así, K contiene a N. Por lo tanto cualquier cadena que contenga a i, contiene a N.

Deoxy.