Hace ya bastante tiempo me compre un librito en 500 pesos, este libro se llama ¿qué son los números? De Rolando Chuaqui, y realmente me gustó mucho, Ahora tratare de transcribir muy reducidamente lo que en él se dice.

Los trabajos de Dedekin y Peano están basados en la teoría más antigua de la matemática antigua: la teoría de los números naturales 1, 2, 3... estos trabajos están en la frontera de la matemática y la filosofía, el método axiomático es un método matemático con algunos matices de filosofía.

EL METODO AXIOMATICO

Los números naturales son los objetos mas usados en la vida cotidiana pero si nos hacemos la pregunta ¿qué son los números?, nosotros podemos decir los números son el 1, el 2, el 3, etc pero, ¿por que el 1 es 1, y el 2 el 2?.

Para poder responder a esta pregunta debemos abstraer algunas propiedades esenciales de los números y a partir de estas propiedades obtener mas propiedades. El método axiomático considera a los números como ya existentes y las propiedades se estipulan mediante axiomas (proposiciones),  a partir de estos axiomas se pueden deducir las otras propiedades a través de la lógica habitual.

Bien, dicho esto, entremos en materia. El método axiomático propone como existente el conjunto N de los números naturales. Consideramos las operaciones habituales entre números, suma +, sustracción -,  multiplicación *, también símbolos para algunos números 1, 2, 3, a partir de estos podemos construir otros términos, como: 2 + 4, 4 * 1,   3 * (7 + 2) etc. Relacionamos dos términos por igualdad =, <, >, <= etc. Para construir proposiciones como 5 + 3 = 7 * 5 (cinco mas tres es igual a siete por cinco) que pueden resultar falsas o verdaderas. Para poder realizar proposiciones generales podemos denotar estos números por letras x, y, z etc. Que hacen referencia a números cualquiera, o sea podemos construir proposiciones como x + y = y + z. Con estas proposiciones mas los operadores lógicos “no”, “o”, “y”, “si, entonces”, etc. formamos proposiciones numéricas compuestas.

1)     La sucesión numérica N es un sistema de individuos llamados números. Esto conduce al estudio general de sistemas como tales.

2)     Los elementos del sistema N están en una cierta relación entre ellos, están en un cierto orden determinado, en primer lugar, por el echo de que cada numero determinado n, le pertenece uno nuevo determinado n’, que es el número que sucede o esta próximo después de n. Esto conduce a la consideración del concepto general de una transformación q de un sistema N en si mismo. Y luego esto debe estudiarse en su totalidad general.

3)     Dados números distintos a, b, sus sucesores a’, b’ son también distintos; la transformación q tiene, por lo tanto, el carácter de distinción o semejanza.

4)     No todo numero es un sucesor n’, esto es q(N) es una parte propia de N; esto es lo que hace a la sucesión de números infinita.

5)     Y, en particular, i es el único numero que no esta  en b(N). Así hemos dado una lista de los hechos considerados como la caracterización completa de un sistema simplemente infinito ordena N.

Todo esto constituye el estudio de la teoría de conjuntos (sistemas) en general, funciones (transformaciones) en general, funciones biunívocas, funciones con dominio y recorrido en el mismo conjunto, y la caracterización de los números infinitos.

Los primeros cuatro axiomas para N son:

1)     1)  i es elemento de N.

2)     2)  Si n es elemento de N, entonces n’ <> m’ (esto es, q(n)) también lo es.

3)     3)  i n <>m, entonces n’ <> m’ (esto es, q(n) <> q(m)).

4)     4)  i <> n’ (esto es i<>q(n), para todo n en N.

Estos axiomas no son suficientes para demostrar por completo la naturaleza de la sucesión de números N. Pero seguiremos tratando este temas en las próximas entregas.

Deoxy.