PROBABILIDADES

 

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

Vai dar cara ou coroa?

 

Chamamos de experimento aleatório a todo processo cujo resultado é incerto ou não pode ser  previsto,mas que apresenta regularidade.

 

Assim por exemplo ,quando lançamos uma moeda sobre a mesa pode acorrer cara  ou coroa;no entanto se forem feitas várias experiências espera-se que cara ou coroa ocorra igual número de vezes.

 

A teoria das probabilidades estuda os experimentos aleatórios.

 

Espaço amostral  é o conjunto de todos os resultados possíveis  de um experimento aleatório.

 

Evento é qialquer subconjunto de um espaço amostral.

 

Exemplos:

 

1)Experimento- Lançar um dado e observar o número que está na face sorteada.

a)Determinar o espaço amostral

b)Achar o evento ocorrência  de um nº impar.

Solução:

Espaço Amostral S={1,2,3,4,5,6}

Evento = E={1,3,5}

2) Experimento- Lançar uma moeda e observar a face

a)Determinar o espaço amostral

b) Achar o evento  cara

Solução:

S = {cara, coroa}   S = {C,K}

 

E ={cara}     E = {C}

3) Um casal pretende ter 3 filhos .Que espaço amostral  indica todas as possibilidades  quanto ao sexo das crianças?

S = {mmm,hhh,mhh,mmh,hmm,hhm,hmh,mhm}

4)Experimento  Sortear um número inteiro entre 1 e 75 num jogo de bingo .

Evento- sair  um número maior que 70

S= {1,2,3,4,...................,75}

E= {71,72,73,74,75}

Probabilidade de ocorrer esse evento

P(E)= n( E )/n/(  S  )

= 5/75  = 0,07 ou  7 %

 

Outros exemplos:

 

1) Numa urna há 10 bolas brancas e 30 pretas .Qual a probabilidade de sortearmos uma bola preta?

Solução:

S= 10 +30 = 40( total de bolas)

E= 30 (bolas pretas)

P= 30/40  então p= 3/4  = 0,75= 75 %

Qual a probabilidade de no evento anterior sair uma bola branca?

Resolução:

P= 10/40  ,  1 / 4  que é igual a 0,25 , 25%

2) Qual a probabilidade de alguém acertar a quina da loto jogando 10 números?

Solução:

Espaço amostral –todas as quinas possíveis(cinco números sorteados entre os 100.

Evento- Todas as quinas possíveis entre os 10 números escolhidos.

N(S)= C100,5 = 100! / 5!95!= 100x99x98x97x96x95! /5.4.3.2.95! = 752 875 20

N(E)C10,5 = 10!/5!5! = 10.9.8.7.6.5! / 5!.5.4.3.2.

= 252  assim temos que p(E) = 252 / 752 87 5 20

= 0,00000335 = 0,0000335 %

 

3) Se jogarmos dois dados um verde e outro branco  qual será a probabilidade de obtermos  a soma 10?

Solução:

S = 6 x 6 = 36 6 faces em cada dados

Soma 10{ (4,6), (6,4),(5,5)} estas são as possibilidades da soma dar 10.

Então temos 3 possibilidades em 36 possíveis , logo :

P = 3/36 = 0,08 ou seja aproximadamente 8 %.

 

4) Um casal pretende ter 3 filhos .Qual a probabilidade de serem 2 homens e uma mulher?

S= 8  {(hhh,mmm,mhh,mmh,mhm,hhm,hmh,hmm)}

Outra forma para achar o espaço amostral

3 filhos , cada filho 2 possibilidades homem ou mulher, logo

S= 2.2.2 = 8

Possiblidades de nascerem 2 homens e uma mulher.

{ hhm,mhh, hmh} = 3 possibilidades.

Logo  p = 3 / 8 = 0,38 ou seja  38%

4)Qual a probabilidade de sair  cara 3 vezes seguida no lançamento de uma moeda?

Espaço amostral- (cara ou coroa)3  

= 2.2.2=8 possibilidades

evento(KKK) = 1 possibilidade

p = 1/8 = 0,13 = 13%

 

5)Num baralho de 52 cartas , há 13 cartas de cada naipe

Qual a possibilidade de retirarmos uma carta de paus?

Solução:

S= 52 cartas

E = 13 cartas de paus

P = 13/52 = 0,25 ou 25 %

 

6) Uma urna tem bolas numeradas de 1 a 50 .Vão ser sorteadas duas dessas bolas simultaneamente .Qual a probabilidade de saírem as bolas 17 e 37?

S= C50,2 = 50!/2!48! = 50.49.48/2.48! = 50.49/2 =1225

Ou seja temos 1225 pares diferentes que podem ser retirados entre as 50 bolas ,independente da ordem.

E= 1 possibilidade 17 e 37

Então temos 1/1225 = 0,0008 ou 0,08 %

 

7) Uma vacina contra meningite foi testada entre mil crianças ,imunizando cerca de 800 delas .Qual é o índice de eficácia da vacina?

S= 1000 crianças

E=800 imunizadas

P = 800/1000 = 0,8 = 80%

8) Silvia lança um dado seiscentas vezes e observa que a face 6 saiu 480 vezes , as demais 120 vezes .Qual a probabilidade estimada para sair a face 6 nesse dado?

P= 480/600 = 0,8 = 80%

 

9) Numa pesquisa, médicos sanitaristas  descobrem que das 1000 pessoas escolhidas ao acaso , numa região duzentas tem anemia.Qual a probabilidade de uma pessoa dessa região escolhida ao acaso ser anêmica?

S= 1000 pessoas

E = 200 pessoas

P= 200/1000  = 0,2  ou 20%

Exercícios

 

1) Uma urna contém bolas com números inteiros de 1 a 10.uma delas vai ser sorteada.

Qual o espaço amostral?

{1,2,3,4,5,6,7,8.9.10}

 

2)Escreva um subconjunto que representa um evento par no exercício anterior.

E={2,4,6,8,10}

 

3)Sonia lança uma moeda duas vezes.Qual o espaço amostral?

*) Dê  o evento uma cara  e uma coroa.

 

4) Uma urna contem 50 bolas  sendo 10 brancas e 40 azuis Qual a probabilidade de ser retirada ao acaso ,uma bola azul?, dê a resposta também em porcentagem (4/5)

5)Dois dados 1 amarelo e outro verde são lançados sobre uma mesa .Qual a probabilidade de as faces sorteadas somarem 5? (1/9)

 

6)Qual a probabilidade de alguém acertar os seis nºs da sena jogando(3,19,28,37,45,50) =1/ 15 890 750

C50,6 = 50!/ 44!6! = 50.49.48.47.46.45.44! / 44!. 6.5.4.3.2.

= 15890700

 

7)Um casal pretende ter 4 filhos .Qual é a probabilidade de serem dois meninos e duas meninas? (3/8)

S = 16 possibilidades

E = 6 possibilidades

 hhmm,mmhh,hmmh,hmhm,mhmh,mhhm

 Então  p = 6/16

 

8)Num baralho há 52 cartas de 4 naipes :ouro, copas, (vermelhas) e paus e espadas( pretas). Se tirarmos uma carta ao acaso descubra a possibilidade de um rei. (1/13)

uma carta de espadas (1/ 4)

7 de ouros  (1/52)

Uma figura (valete ,dama ou reis) ( 3/ 13)

Uma carta vermelha (50%)

 

9) Qual a probabilidade de você ganha na quina fazendo um jogo simples( 5 dezenas)?1/ 1059380

 

10) Um produto será relançado no mercado com duas novas embalagens.A pesquisa feita entre duas mil pessoas mostram que 1200 pessoas preferem a 1ª embalagem , 500 preferem a 2ª e 300 não gostaram de nenhuma delas.Escolhida uma pessoa ao acaso qual a possibilidade dela gostar da 1ª embalagem?( 0,6)

11) Numa cadeia de cada 40 presos examinados 10 apresentam o sintoma da Aids .Qual a probabilidade estimada de um prisioneiro dessa cadeia quando examinado apresentar o sintoma da Aids?(1 /4)

 

 

 

Professor Antonio Carlos

15 de maio de 2004

 

 

 



 

 

 

 

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