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Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado
Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y x1 y x2 sus soluciones, se cumple: 1.
La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo
grado, x1 +
x2, es Demostración:
2.
El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, x1 × x2,
es
Demostración:
El
numerador es una suma por una diferencia. Su resultado es la diferencia de
cuadrados:
Ejercicio: 1.
Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del
producto de sus soluciones:
Resolución:
a)
2x2 + 7x - 15 = 0; a = 2; b = 7; c = -15
1.
Se pasa esta ecuación a la forma
ax2 + bx + c = 0: 20
= x(9 - x) o sea 20 = 9x - x2 o sea x2 - 9x + 20 = 0
de donde .
a = 1; b = -9; c = 20 Terminarlo recordando las relaciones vistas
c)
3x2 + 6x + 3 = 0; en esta ecuación a = 3; b = 6; c = 3.
Determinación de una ecuación de segundo grado a partir de la
suma y producto de sus soluciones
Conociendo la suma y el producto de las soluciones de una ecuación
de segundo grado, se puede determinar la ecuación correspondiente.
Sea S la suma de las dos raíces o
soluciones de la ecuación:
La ecuación de segundo grado se escribe como ax2 + bx + c = 0. Sustituyendo b y c por su valor: ax2 - aSx + aP = 0
Dividiendo toda la ecuación entre a: x2 - Sx + P = 0
Conociendo la suma S, y el producto, P, de las dos soluciones de una
ecuación de segundo grado, la ecuación se puede escribir como:
x2
- Sx + P = 0 Ejercicio: 1.
Determinar la ecuación de segundo grado cuya suma de soluciones vale 5 y
cuyo producto vale 6. Resolución: 1.
S = 5; P = 6 La
ecuación es x2 - Sx + P = 0. Sustituyendo S y P por sus valores, se obtiene:
x2 - 5x + 6 = 0 2.
Para comprobar que la suma y el producto de las soluciones de la ecuación
son 5 y 6 respectivamente, basta con resolver la ecuación.
S
= x1 + x2 = 3 + 2 = 5 P
= x1 × x2 = 3 × 2 = 6 Luego,
efectivamente la ecuación es
x2 - 5x + 6 = 0. 2. Determinar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones x1 = - 2, x2
= 3. Resolución: 1.
S = x1 + x2 = -2 + 3 = 1
P
= x1 × x2 = -2 × 3 = -6 2.
Sustituyendo los valores de
S y P en la ecuación x2 - Sx + P = 0 se obtiene la ecuación x2 - x - 6 = 0. 3. Para comprobarlo basta con
resolver la ecuación y observar que sus raíces son -2
y 3. 3.
Determinar una ecuación de segundo grado sabiendo que la suma de sus
raíces
Resolución:
1.
Multiplicando toda la ecuación por el m.c.m de los denominadores, se
obtiene la ecuación equivalente
6x2 - 8x + 15 = 0. 4.
Obtener dos números sabiendo que su suma es 5 y su producto es -14. Resolución: 1.
La búsqueda de los dos números puede hacerse considerándolos como las dos
soluciones de una ecuación de segundo grado. S
= 5; P = -14. 2.
Los dos números son las soluciones de la ecuación x2 - 5x - 14 = 0.
Los
dos números buscados son 7 y -2. 3.
Comprobación: 7 + (-2) = 5 =
S
7
× (-2) = -14 = P |
