f(x) = sin2(x)	Þ	df	= 2sin(x)cos(x)=sin(2x)
		dx
g(x) = -cos2(x)	Þ	dg	= -2cos(x)(-sin(x))=sin(2x)
		dx

ó	sin(2x)-sin(2x) dx =	ó	sin(2x) dx -	ó	sin(2x) dx
õ		õ		õ

ó	0 dx = f(x) + c - (g(x) + c)
õ

0 = sin²(x) + c - (-cos²(x)) - c
0 = sin²(x) + cos²(x)
0 = 1

ln(1+1) = ln(1+1)

oo k=1

(-1)k+11k k

= ln 2

1^-1 - 2^-1 + 3^-1 - 4^-1 + 5^-1 - 6^-1 + ... = ln(2)
1^-1 - (1^-1 - 2^-1) + 3^-1 - (2^-1 - 4^-1) + 55^-1 - (3^-1 - 6^-1) + ... = ln(2)
1^-1 - 1^-1 + 2^-1 + 3^-1 - 2^-1 + 4^-1 + 5-1 - 3^-1 + 6^-1 + ... = ln(2)
1^-1 + 2^-1 + 3^-1 + 4^-1 + 5^-1 + 6^-1 + ... - 1^-1 - 2^-1 - 3^-1 - ... = ln(2)
(1^-1 + 2^-1 + 3^-1 + 4^-1 + ...) - (1^-1 + 2^-1 + 3^-1 + 4^-1 + ...) = ln(2)
0 = ln(2)
ln(1) = ln(2)
1 = 2

x³ = x³
(x-mal)   x² + x² + ... + x² = x³

(x-mal)

dx2 dx

+

dx2 dx

+ ... +

dx2 dx

=

dx3 dx

(x-mal)   2x + 2x + ... + 2x = 3x²
2xx = 3x²
2 = 3

O.B.d.A. sei c = a + b.
c = a + b
c + 3a = 4a + b
c + 3a + 3b = 4a + 4b
-3c + 3a + 3b = 4a + 4b - 4c
3(-c + a + b) = 4(a + b - c)
3 = 4

-20 = - 20
16 - 36 = 25 - 45
16 - 36 + ¼·81 = 25 - 45 + ¼·81
(4 - ½·9)² = (5 - ½·9)²
4 - ½·9 = 5 - ½·9
4 = 5

AB habe die Länge 5 und CA habe die Länge 6. H sei der Mittelpunkt von BC und D sei der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf BC und der Winkelhalbierenden des Winkels CAB. Dann gilt:
ÐDAB = ÐDAC (wegen Winkelhalbierender)
DA = DA (gleiche Seite)
BD = DC (Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks BCD)
Damit sind nach ssw Dreieck ABD und Dreieck ACD zueinander kongruent, d. h. AB = CA. Da aber AB = 5 und CA = 6 sind, folgt
5 = 6.

Sei i die imaginäre Einheit, so gilt

exp(i) = 1
i = 0
-1 = 0
6 = 7

Seien A, A', B und B' Punkte mit AB = A'B' = c, Ð A'AB = 70° und Ð AA'B' = 80°. Weiterhin sei C = C' der Schnittpunkte der Mittelsenkrechten zu AA' und BB' . Dann gilt:
CA = C'A' = b (weil C auf der Mittelsenkrechten zu AA' liegt)
CB = C'B' = a (weil C auf der Mittelsenkrechten zu BB' liegt)
und AB = A'B' = c nach Voraussetzung. Daraus folgt, dass Dreieck ABC kongruent zu Dreieck A'B'C ist. Also gilt:
Ð CAB = Ð C'A'B'
Im Dreieck AA'C gilt:
Ð A'AC = Ð AA'C' (Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck)
Damit gilt: Ð CAB + Ð A'AC = 70° und Ð C'A'B' + Ð AA'C' = 80°, d.h. 70° = 80°
7 = 8

Es gilt 8 =

72 17 - 8

=

72 17 -  72 17 - 8

=

72 17 -  72 17 -  72 ...

und 9 =

72 17 - 9

=

72 17 -  72 17 - 9

=

72 17 -  72 17 -  72 ...

.

Also folgt 8 = 9.

Hilfssatz: Falls für eine natürliche Zahl m gilt max(a,b) = m, dann folgt a = b (a, b ÎN⁺).
Induktionsanfang: max(a,b) = 1 Þ a = b = 1
Induktionsschritt (m Þ m + 1 ): Für m sei die Behauptung bewiesen.
max(a,b) = m + 1 Þ max(a - 1,b - 1) = m. Nach Induktionsannahme ist gilt dann a - 1 = b - 1 Þ a = b. QED
Mit m = 10 gilt max(9,10) = m. Also folgt dann nach dem Hilfssatz
9 = 10