Interpolation - Anhang

Ableitungsberechnung:

Hinweis:

(

n
k

)

(

n
k+1

)

(

n+1
k+1

)

, denn

n(n-1)...(n-k+1)

n(n-1)...(n-k-1+1)

(k+1)!

n(n-1)...(n+1-(k+1)+1)(k+1+n-k)

k!(k+1)

Vereinbarungen und Beziehungen zwischen HORNER-Schema und k-ter Ableitung:

a_n	a_n-1	a_n-2	...	a₂	a₁	a₀
b_0,n	b_0,n-1	b_0,n-2	...	b_0,2	b_0,1	b_0,0
b_1,n	b_1,n-1	b_1,n-2	...	b_1,2	b_1,1
...	...	...	...	...
b_n-1,n	b_n-1,n-1
b_n,n

x⁰ := 1 für alle x
b_i,n-k = x×b_i,n-k+1 + b_i-1,n-k für k > 0 und i > -1
b_i,n-k = b_i-1,n-k=a_n-k für k = 0 und i > -1
b_i,n-k = x×b_i,n-k+1 + a_n-k für k > -1 und i = 0
Behauptung: b_i,n-k = (3.1)
Induktionsanfang: Gleichung (3.1) gilt für k = 0 denn b_i,n-0 = a_n und = a_n.
Gleichung (3.1) gilt für i = 0 denn b_0,n-k = und = .
Induktionsvoraussetzungen: Gleichung (3.1) gilt für k < s + 1 oder i < t + 1.
Induktionsbehauptungen: Gleichung (3.1) gilt für

Induktionsbeweis:

a)	b_t,n-(s+1) = x×b_t,n-(s+1)+1 + b_t-1,n-(s+1) b_t,n-(s+1) = b_t,n-(s+1) b_t,n-(s+1) b_t,n-(s+1) b_t,n-(s+1) b_t,n-(s+1)
b)	b_t+1,n-s = x×b_t+1,n-s+1 + b_t,n-s b_t+1,n-s = b_t+1,n-s b_t+1,n-s b_t+1,n-s b_t+1,n-s b_t+1,n-s