A distinção entre sistemas modais pode ser feita a partir de matrizes, porém já se sabe que existem outras tecnicas para esse fim. Duas das mais importantes destas técnicas são, o método algébrico empregado por McKinsey e Tarski (1941 [8] e 1948 [9]) e o método semântico de Kripke (1959 [4] e 1963 [5]). Os artigos escritos por Lemmon na decada de 60 [6] têm por objetivo apresentar uma síntese destes dois métodos. Um interessante resultado mostrado nestes artigos é que a completude semântica pode ser deduzida de resultados algébricos por meio de um teorema central. No primeiro paper Lemmon [6] tem por objetivo mostrar que o método algébrico McKinsey-Tarski, que é bem sucedido quando aplicado ao sistema S4, pode ser estendido para um grupo de seis sistemas modais onde o mais forte destes sistemas é o T. O segundo paper trata de sistemas mais fortes e tinha-se como projeto um terceiro paper que trataria da lógica modal quantificada para todos os sistemas vistos. O método usado para trabalhar esses diferentes sistemas modais será o mesmo. Primeiro se estabelece uma correlação entre as matrizes regulares para cada sistema e um certo tipo de álgebra. Depois, usando as matrizes de Lindembaum prova-se que cada sistema tem a propriedade do modelo finito e portanto que são decidíveis. Uma conseqüência disto é que poderemos restringir a nossa atenção para álgebras finitas. Por último será estabelecido o teorema de representação para cada sistema em termos de uma álgebra baseada no conjunto de todos os subconjuntos de um dado conjunto. Essas representações resultam na conexão entre o ponto de vista algébrico e o ponto de vista da semântica dos mundos possíveis (ou semântica de Kripke). O objetivo inicial é estender o mesmo resultado para os sistemas da classe “G-infinito” proposta por Lemmon e Scott nas “Lemmon’s notes” [7].

Referências:

[1] GOLDBLATT. R.I.. Metamathematics of modal logic. Reports on Mathematical. Logic, 6:41–77, 1976.

[2] HALMOS. P.R. Algebraic logic. Compositio Mathematica, 12:217–249, 1955.

[3] KRIPKE. Saul A. Semantic analysis of modal logic (abstract). The Journal of Symbolic Logic, 24:323–324, 1959.

[4] KRIPKE. Saul A. A completeness theorem in modal logic. The Journal of Symbolic Logic, 24:1–14, 1959.

[5] KRIPKE. Saul A. Semantical analysis of modal logic I. Normal modal prepositional calculi. Zeitschrift f¨ur Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 9:67–96, 1963.

[6] LEMMON, E. J. Algebraic semantics for modal logics I and II. The Journal of symbolic logic. Vol. 31, Number 1, June 1965. & Volume 31, Number 2, June 1966.

[7] LEMMON. E. J. An Introduction to Modal Logic, volume 11 of American Philosophical Quarterly Monograph Series. Basil Blackwell, Oxford, 1977. Written in collaboration with Dana Scott. Edited by Krister Segerberg.

[8] MCKINSEY J. C. C. and TARSKI. Alfred. Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Heyting. The Journal of Symbolic Logic, 13:1–15, 1948.

[9] TARSKI. Alfred. On the calculus of relations. Journal of Symbolic Logic, 6:73–89, 1941.