9- Vectores en R²:

En la geometría clásica, un vector es una flecha o segmento dirigido, es decir, un segmento en el cual distinguiremos un origen y un extremo, más precisamente, para definir un vector, basta dar un par ordenado de puntos del plano el primero de los cuales es el origen y el segundo el extremo. Por ejemplo, si A = (2, 3) y B = (4, 1), en la figura 1 representamos el vector y en la figura 2, el vector .

Decimos que dos vectores tienen la misma dirección si se encuentran sobre rectas paralelas. Como toda recta es paralela a sí misma, dos vectores que se encuentran sobre la misma recta, tienen la misma dirección.

En la figura 3 , , , tienen la misma dirección; en cambio, y tienen distinta dirección.

 Si dos vectores están sobre la misma recta, y fijamos una orientación sobre esa recta, es decir, decidimos cuál es la derecha y cuál es la izquierda en la recta, diremos que los vectores tienen distinto sentido si el extremo de uno de ellos está a la derecha de su origen y el extremo del segundo está a la  izquierda de su origen. En la figura 4,  y  tienen distinto sentido, mientras que  y  tienen el mismo sentido

Si los dos vectores se encuentran sobre rectas paralelas, pero distintas, decimos que tienen el mismo sentido si la recta que  une a los extremos deja a los orígenes contenidos en el mismo semiplano. En caso contrario tienen distinto sentido.

En la figura 5  y  tienen el mismo sentido y  y tienen distinto sentido. Solo se puede comparar el sentido de dos vectores si estos tienen la misma dirección.

Dos vectores se dicen equivalentes si tienen la misma dirección, longitud y sentido.

En la figura 6, los vectores  y son equivalentes.

10- Suma de vectores:

 Si dos vectores tienen el mismo origen A, se pueden sumar. El resultado de sumar dos vectores con origen A es siempre otro vector con origen A. Para hacer la suma en forma geométrica procedemos como sigue:

(i)                Si los vectores  y  tienen el mismo sentido y están sobre la misma recta y = + , entonces el vector  tiene el mismo sentido y esta sobre la misma recta que  y  y la longitud de  es la suma de las longitudes de  y .

(ii)              Si los vectores  y  tienen distinto sentido y están sobre la misma recta y = + , entonces el vector  esta sobre la misma recta que  y  y la longitud de  es la diferencia entre las longitudes del de mayor longitud y del menor. El sentido de es el del sumando de mayor longitud.

(iii)            Si los vectores tienen el mismo origen pero están sobre rectas distintas, se procede mediante la llamada “ley del paralelogramo” que consiste en trazar un paralelogramo tal que dos de sus lados sean  y , el vector suma = + , tiene su extremo D en el vértice opuesto a A en el paralelogramo.

11- Producto de un vector  por un número real k:

Si k Î R, el producto k. ( ) es un vector con origen en A, cuya longitud   se obtiene multiplicando la longitud de  por el valor absoluto de k. Además k.( ) está en la misma recta que y tiene igual sentido si k > 0 y sentido contrario si k < 0.

12- Expresión algebraica para la suma de dos vectores:

El método de Descartes que consiste en identificar los puntos del plano con pares ordenados de números reales, nos permite realizar la suma de dos vectores en forma algebraica.

Consideremos dos vectores con el mismo origen  y  dado que + es un vector con origen A, para hallar la suma, basta encontrar su extremo.

Como se puede apreciar en la figura, el extremo de esta suma es B + C – A.

 Luego + =  (1)

13- Expresión algebraica del producto de un vector por un escalar:

Consideremos un número real k. Sea = k. . Obtendremos las coordenadas del extremo D a partir de la siguiente figura:

Dado que los triángulos rectángulos  y  tienen un ángulo común, son semejantes y, por lo tanto, sus lados son proporcionales. Por la definición dada de la multiplicación entre un vector y un número real, la longitud de es k

veces la longitud de . Siendo los triángulos  y  semejantes se obtiene que:

d₁ – a₁ = longitud de = k.(longitud de ) = k.( b₁ – a₁)

de donde:                               d₁= k.( b₁ – a₁) + a₁

Análogamente:                      d₂= k.( b₂ – a₂) + a₂

En consecuencia:                  D = k.( B – A) + A

En resumen: k. =  (2)

14- Identificación de los puntos de R² con los vectores de origen O = (0, 0):

Las fórmulas (1) y (2) vistas en las secciones 12 y 13, cuando A = O = (0, 0), se escriben:

+ = (3)

k. =  (4)

Gracias a (3) y (4), vemos que la adición y la multiplicación por números de puntos de R² corresponden geométricamente a la adición y multiplicación por números de vectores con origen O = (0, 0) y permiten identificar cada punto AÎ R² con el vector . En virtud de esta identificación, en adelante, indicaremos al vector  como al punto A y también nos referiremos al punto A como al vector A. Es claro que la identificación hecha entre los puntos de R² y los vectores con origen O = (0, 0), no se puede hacer si los vectores tienen un origen A ¹ (0, 0).

15- Ejemplo: Sean A = (1, 1); B = (3, 2); C = (1, 3); k = 3.

     + = =

     3. = =

      Se deja a cargo del lector realizar las representaciones gráficas.

16- Condición necesaria y suficiente para que dos vectores sean equivalentes:

Sea O = (0, 0), es claro que cada vector  tiene un único vector equivalente con origen O al que llamaremos .

El cuadrilátero de extremos O, A, B y P, tiene dos lados congruentes y paralelos,  y , por lo tanto es un paralelogramo.

Luego, como se puede apreciar en la figura,  +  = .

Utilizando la identificación entre los puntos del plano, y los vectores con origen O, A + P = B, con lo cual, P = B - A.

Supongamos que  es otro vector equivalente a , entonces,  también es equivalente a , luego, P = D – C, en consecuencia:

Los vectores y de R² son equivalentes si y solo si B–A=D-C

17- Ejemplo:

Sean A = (1, 1); B = (4, 2); C = (1, 5) y D = (4, 6), entonces  es equivalente a , en efecto, B – A = D – C = (3, 1).

18- Paralelismo de vectores:

Sean y  dos vectores de R². Es claro que y  son paralelos si y solo si, sus equivalentes con origen O = (0, 0), B – A y D – C, están en la misma recta que pasa por el origen. Esto es, es paralelo a  si y solo si, existe un número real k ¹ 0, tal que D – C = k.(B – A).

Claramente, si k > 0, y  tienen el mismo sentido y, sentido opuesto si

k < 0.