49- Rectas:
Sustentaremos nuestra definición de recta en las ideas de la geometría elemental y nuestro trabajo previo.
Sean A ÎRn , D ÎRn - {0}. Consideremos la función TA: Rn® Rn definida por:
TA(x) = x + A para todo x ÎRn (TA es la traslación según el vector A).
Los puntos de la forma l.D (lÎR) son los puntos extremos de los vectores 
(lÎR) , y estos conforman (como se ve en el siguiente gráfico) una recta
L0 que pasa por los puntos O y D . Por lo tanto la recta L0
que pasa por O y es paralela al vector D será el conjunto de los puntos de
Rn de la forma l.D (lÎR) . Esto es:
L0 = {x Î Rn / x = l.D para algún lÎR}
Sea LA la recta paralela a L0 que pasa por A. La recta LA puede ser obtenida a partir de la recta L0 mediante la traslación según el vector A. En efecto TA(L0) = L0 + A es en virtud de la observación 32 e) una recta paralela a L0 y pasa por A ya que O Î L0 y por ende A = O + A Î L0 + A , dado que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a la recta dada se tiene que LA = L0 + A (ver la próxima figura). Luego :
LA = {xÎRn / x = l.D + A para algún lÎR}
Del vector D mediante el cual obtuvimos los puntos de la recta L0 a través de multiplicaciones por números reales se dice que es un “vector de dirección de la recta” LA ( o de cualquiera de sus paralelas incluyendo a L0 ). Más generalmente cualquier vector w¹O paralelo a la recta LA puede reemplazar a D en el razonamiento hecho anteriormente y puede ser tomado también como vector director de la recta LA. Así si w¹O y w // D (esto es si existe aÎR tal que w = a.D) es claro que también:
LA = {xÎRn/ x = l.w + A para algún lÎR}
Revisando nuevamente el razonamiento anterior pronto se descubre que para obtener LA a partir de L0 se puede trasladar L0 según cualquier punto PÎLA y no necesariamente según A. Luego si PÎLA:
LA = {xÎRn/ x = l.w + P para algún lÎR}
Ahora estamos en condiciones de presentar formalmente estas ideas.
50-Definición:
Sean A ÎRn , D ÎRn - {0}. Llamaremos recta de dirección D que pasa por A al conjunto indicado L(D, A) y definido por:
L(D, A) = {xÎRn/ x = l.D + A para algún lÎR}
Si L = L(D, A) a la ecuación: x = l.D + A (lÎR) se la suele llamar ecuación paramétrica de la recta L y se acostumbra escribir:
L: x = l.D + A ( lÎR)
(léase: L es la recta de ecuación paramétrica x = l.D + A con lÎR)
El vector D suele ser mencionado como “un vector de dirección de la recta L”.También se dice que la recta L es paralela al vector D.
51-Observaciones:
Sean A ÎRn , D ÎRn - {0}.
a) AÎL(D, A) . En efecto A = 0.D +A
b) Si a, bÎR , P = a.D + A y Q = b.D + A entonces P = Q Û a = b (esto si se toman distintos valores del parámetro l en la ecuación paramétrica de la recta L(D, A) estos realizan distintos puntos de la recta).En efecto: P = Q Û a.D + A = b.D + A Û a.D = b.D Û (a-b).D = O Û Û (a-b) = 0 Û a = b
Ahora demostraremos que según anticipamos en nuestra presentación intuitiva el vector D que proporciona la dirección de la recta puede ser reemplazado por cualquier otro vector paralelo a D.
52- Proposición:
Sean A ÎRn , D ÎRn - {0} , D’ ÎRn - {0}. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.
a) L(D, A) = L(D’,A)
b) D//D’
Demostración:
a) Þ b) Sea PÎL(D, A) = L(D’,A) (P¹A) .Como PÎL(D, A) existe aÎR tal que P = a.D + A y como PÎL(D’,A) existe bÎR tal que P = b.D’+ A. Siendo P¹A es claro que a¹0 y b¹0. Luego:
a.D + A = b.D’+ A Û a.D = b.D’Û D’ = 
.D
\ D’//D
b) Þ a) Si D = D’ son vectores paralelos existe aÎR tal que D´ = a.D y siendo D´¹ O, debe ser a ¹ 0 \ D = 
.
Sea PÎL(D, A).
Existe gÎR tal que P = g.D+A = g. 
+A
= 
D´+
A Î L(D´, A). Así:
L(D, A) Ì L(D´, A) (*)
Sea P Î L(D´, A).
Existe m ¹ 0 tal que P= m. D´ + A = m (a.D) + A = (m .a).D + A Î L(D, A).
Así:
L(D´, A) Ì L(D, A) (**)
De (*) y (**) se deduce que:
L(D, A) = L(D´, A).
A continuación probaremos que el punto A que aparece en la definición de L(D, A) puede reemplazarse por cualquier punto P situado en la misma recta.
53- Proposición:
Sean D Î Rn – {0}; A, P Î Rn, P¹A.
Son equivalentes:
a) L(D, A) = L(D, P)
b) P ÎL(D, A)
Demostración:
a) Þ b)
Como PÎL(D, P) y L(D, P) = L(D, A), entonces P ÎL(D, A).
b) Þ a)
Como P ÎL(D, A), existe a Î R tal que P = a.D + A. Claramente por ser A ¹ P es a ¹ 0 y, por ende, A = (- a).D + P.
Si Q Î L(D, A), entonces Q = m.D + A con m ÎR, por lo tanto, se tiene que Q = m.D + (- a).D + P = (m- a). D + P ÎL(D, P).
Luego
L(D, A) Ì L(D, P) (*)
Si Q Î L(D, P) entonces existe g ÎR tal que Q = g. D + P, en consecuencia, Q = g. D + a. D + A = (g+ a).D + A Î L(D, A).
Luego
L(D, P)Ì L(D, A) (**)
De (*) y (**) se tiene que
L(D, P) = L(D, A)
54- Corolario:
Sean D, D´ Î Rn – {0}, A, P ÎRn, Son equivalentes:
a) L(D, A) = L(D´, P)
b) D//D´ y P Î L(D, A)
55-Ejemplos
a)Una ecuación paramétrica para la recta L de dirección D = (1, 3) que pasa por P = (0, 1) es :
L:(x, y) = t.(1, 3) + (0, 1) (tÎR)
El punto Q = (2, 7)ÎL pues Q = 2.(1, 3) + (0, 1) , siendo D’ = (-2, -6) // D
entonces en virtud del corolario 54 otra ecuación paramétrica para la recta L es :
L:(x, y) = t.(-2,-6) + (2, 7) (tÎR)
b)Sea L la recta de ecuación paramétrica L: (x,y,z) = t.(1,3,2) + (1,5,1). Sean A = (-2,-4,-5) y B = (3, 11, 2).Decidir si AÎL. Hacer lo mismo con B.
Resolución: AÎL Û existe aÎR tal que A = a.(1,3,2)+(1,5,1) esto a su vez ocurre si y solo si 
(las
tres ecuaciones deben verificarse en forma simultanea ). De la primera igualdad
resulta a = (-3) y reemplazando (-3)
por a en las otras
dos ecuaciones se tiene que 3.(-3)+5 = (-4) y además 2.(-3)+1=(-5)
.Luego AÎL.
BÎL Û existe bÎR tal que B = b.(1,3,2)+(1,5,1) si y solo si existe solución para el sistema de ecuaciones:
.
De la primera ecuación obtenemos que b
= 2 pero reemplazando el valor de b hallado en la segunda y
en la tercera ecuación vemos que si bien la segunda igualdad se cumple no
es así con la tercera de modo que el sistema no tiene solución y por lo tanto
BÏL.
c) Sean en R3 las rectas:
L1: (x,y,z) = t.(1,2,3)+(1,0,1) (tÎR)
L2: (x,y,z) = t.(3,1,2)+(0,3,5) (tÎR)
L3: (x,y,z) = t.(0,1,2)+(1,1,3) (tÎR)
L4: (x,y,z) = t.(2,4,6)+(3,4,7) (tÎR)
Hallar (L1Ç L2) ; (L1Ç L3 ) y (L1Ç L4)
Resolución:
Supongamos que existe XÎ (L1ÇL2).Entonces XÎL1 y XÎ L2.Como XÎL1, existe aÎR tal que X = a.(1,2,3)+(1,0,1) y siendo también XÎL2 existe bÎR tal que X = b.(3,1,2)+(0,3,5).Por lo tanto:
a.(1,2,3)+(1,0,1) = b.(3,1,2)+(0,3,5)
De donde:
(a+1, 2.a, 3.a+1) = (3.b, b+3, 2.b+5)
Lo cual significa que el sistema de ecuaciones:
(*) 
tiene solución.
De la primera ecuación se desprende que a =3.b-1 y reemplazando esta última igualdad en la segunda ecuación obtenemos que 2.(3.b-1) = b+3 con lo cual 6.b-2 = b+3 y entonces b = 1 . Reemplazando b por 1 en la igualdad a =3.b-1 se tiene que a = 2. Por último debemos verificar que al reemplazar los valores a = 2 y b = 1 en la tercer ecuación, la igualdad se cumpla, y esto en efecto sucede ya que 3.2+1 = 2.1+5 = 7. Luego el sistema (*) tiene solución y por ende (L1Ç L2) ¹ Æ . Para hallar X basta reemplazar a por 2 en (a+1, 2.a, 3.a+1) , o bien en (3.b, b+3, 2.b+5) reemplazar b por 1.Así X = (3,4,7) y (L1Ç L2) = {(3,4,7)}.
Supongamos que existe XÎ (L1ÇL3).Entonces XÎL1 y XÎ L3.Como XÎL1, existe aÎR tal que X = a.(1,2,3)+(1,0,1) y siendo también XÎL3 existe bÎR tal que X = b.(0,1,2)+(1,1,3).Por lo tanto:
a.(1,2,3)+(1,0,1) = b.(0,1,2)+(1,1,3)
De donde:
(a+1, 2.a, 3.a+1) = (1, b+1, 2.b+3)
Lo cual significa que el sistema de ecuaciones:
(**) 
tiene solución.
De la primera ecuación se desprende que a = 0 y reemplazando esta última igualdad en la segunda ecuación obtenemos que b =-1. Por último debemos verificar que al reemplazar los valores a = 0 y b = -1 en la tercer ecuación la igualdad se cumpla, y esto no sucede ya que 3.0+1 ¹ 2.(-1)+3. Luego el sistema (**) no tiene solución y por ende (L1Ç L3) = Æ .
Supongamos que existe XÎ (L1ÇL4).Entonces XÎL1 y XÎ L4.Como XÎL1, existe aÎR tal que X = a.(1,2,3)+(1,0,1) y siendo también XÎL4 existe bÎR tal que X = b.(2,4,6)+(3,4,7).Por lo tanto:
a.(1,2,3)+(1,0,1) = b.(2,4,6)+(3,4,7)
De donde:
(a+1, 2.a, 3.a+1) = (2.b+3,4.b+4, 6.b+7)
Lo cual significa que el sistema de ecuaciones:
(***) 
tiene solución.
De la primera ecuación se desprende que a =2.b+2 y reemplazando esta última igualdad en la segunda ecuación obtenemos que 2.(2.b+2) = 4.b+4 con lo cual 4.b+4 = 4.b+4 de modo que cualquiera sea el número real b la segunda igualdad se cumple si tomamos a = 2.b+2. Reemplazando a por 2.b+2 en la tercer ecuación se tiene que 3.(2.b+2)+1 = 6.b+7 es decir que 6.b+7 = 6.b+7 con lo cual cualquiera sea el número real b la tercer igualdad del sistema se verifica tomando a =2.b+2. Luego el sistema (***) tiene solución y por ende (L1Ç L4) ¹ Æ . Como la igualdad:
(a+1, 2.a, 3.a+1) = (2.b+3,4.b+4, 6.b+7)
se verifica para todo valor de b con tal de tomar a =2.b+2 es obvio que todos los puntos de la recta L4 están en
(L1Ç L4) y por ende
(L1Ç
L4) = L4. Del mismo modo tomando b = ( 
.a-1) cualquiera sea aÎR se cumple la igualdad:
(a+1, 2.a, 3.a+1) = (2.b+3,4.b+4, 6.b+7)
de donde todos los puntos de L1 pertenecen a (L1Ç L4) y (L1Ç L4) = L1.
En consecuencia L1 = (L1Ç L4) = L4 . Dado que las direcciones de ambas rectas son paralelas, en lugar de hacer todo este razonamiento podríamos haber verificado apelando al corolario 54 simplemente que un punto cualquiera de la recta L1 pertenezca a la recta L4 para llegar a la misma conclusión pero ahorrando cuentas.
56-Definiciones:
Sean A, PÎRn ; D, D’ ÎRn - {0}; L y L’ las rectas cuyas respectivas ecuaciones paramétricas son:
L : X = l.D + A
L’: X = l.D’+ P
a) Diremos que L es paralela a L’ (situación que escribiremos L // L’) si y solo si D // D’.
b) Diremos que L es ortogonal o perpendicular a L’ (situación que escribiremos L ^ L’) si y solo si D ^ D’.
c) L y L’se dicen alabeadas si y solo si L no es paralela a L’ y (L ÇL’) es el conjunto vacío (o sea L y L’ no se cortan).
57-Observaciones:
a) Es posible demostrar que en R2 no existen rectas alabeadas, esto es que dos rectas no paralelas en R2 necesariamente se cortan. La situación cambia en R3 ya que por ejemplo las rectas L1: (x,y,z) = t.(1,2,3)+(1,0,1) (tÎR) y L2: (x,y,z) = t.(3,1,2)+(0,3,5) (tÎR) no son paralelas y como vimos en el ejemplo 55 c) no se cortan. Otro aspecto que cambia al pasar de la geometría del plano a la geometría del espacio es el siguiente: en R2 dada una recta L y un punto P existe una única recta perpendicular a L que pasa por P mientras que en R3 dada una recta L y un punto P existen infinitas rectas perpendiculares a L que pasan por P. Para ver esto basta citar el siguiente ejemplo: si Les la recta de ecuación paramétrica L: X = t.(1,0.0) (tÎR) (es decir L es el eje x) y P = (0,0,0) todas las rectas que pasan por P y que están contenidas en el plano que contiene al eje z y al eje y son perpendiculares a L.
b)Si L y L’ son rectas tales que L // L’ entonces también L’// L (es decir la relación de paralelismo entre rectas es simétrica). Toda recta L es paralela a si misma con lo cual la relación de paralelismo entre rectas es reflexiva. S La relación de paralelismo entre rectas es transitiva, esto es si L, L’ y L’’ son rectas que verifican L // L’ y L’ // L’’ entonces L // L’’.
Como dijimos antes el quinto postulado de Euclides es lógicamente equivalente al “Postulado de las paralelas”. Deduciremos esta última propiedad a partir del corolario 54.
58- Teorema:
Sean A, QÎRn tales que A ¹ Q; DÎRn - {0} y L la recta de ecuación paramétrica L: X = t.D + A (tÎR) . Entonces existe una única recta L’ que contiene a Q y es paralela a L.
Demostración:
Existencia: La recta L’ de ecuación paramétrica L’: X = t.D + Q (tÎR) pasa por Q y es paralela a L.
Unicidad: Supongamos que L’’ es una recta paralela a L que pasa por Q, digamos que la ecuación paramétrica de L’’ es L’’: X = t.D’ + Q (tÎR) con D’ÎRn - {0} . Como L//L’’ debe ser D//D’ .Luego por el corolario 54 se tiene que L’ = L’’.
También se deduce la siguiente propiedad que Euclides estableció como su primer axioma.
59-Teorema:
Si P, Q ÎRn son tales que P ¹ Q existe una única recta L que contiene a P y a Q (o sea dos puntos distintos determinan una recta )
Demostración:
Existencia: Como P ¹ Q entonces (P-Q)¹O. Sea L la recta de ecuación paramétrica L: X = t.(Q-P)+P. Es claro que PÎL y tomando t = 1 se ve que QÎL.
Unicidad: Sea L’ una recta que contiene a
los puntos P y Q. Sea DÎRn - {0} un vector de dirección para la recta L’. Luego L’:
X = t.D + P (tÎR) y como QÎL’ existe aÎR tal que Q = a.D + P . Como P ¹ Q entonces (Q-P)¹O con lo cual a¹0 y por lo tanto D = 
.(Q-P),
es decir D//(Q-P). Por el corolario 54 se tiene que L = L’.