46- El producto vectorial en R³:

Sea A = (a₁, a₂, a₃) y B = (b₁, b₂, b₃) dos vectores de R³ se define el producto vectorial de A y B como el vector A´B Î R³ definido por :

A´B = (a₂.b₃-a₃.b₂, a₃.b₁-a₁.b₃, a₁.b₂-a₂.b₁)

47- Ejemplo:

Sean A = (1,5,7) y B = (2,3,4)  entonces en virtud de la definición 45 se tiene :

(1,5,7) ´(2,3,4) = (5.4-7.3, 7.2-1.4, 1.3-5.2) = ( -1, 10, -7 )

(A´B) . A = (-1, 10, -7) . (1,5,7) = 0

 (A´B) . B = (-1, 10, -7) . (2,3,4) = 0

En consecuencia:  (A ´ B )^ A   y  (A ´ B) ^ B

48- Algunas propiedades del producto vectorial:

Sean A, B ,C vectores de R³ y sea k un número real entonces:

a)     (A ´ B) = -(B ´ A)

b)    A ´ (B + C) = (A ´ B )+(A ´ C)

c)     (A + B) ´ C = (A ´ C) + (B ´ C)

d)    (k .A) ´ B = k.(A ´ B) = A ´ (k .B)

e)     (A ´ B )^ A   y  (A ´ B) ^ B.

f)      .

g)     (A ´ B) = 0 Û existe un número real t tal que A = t. B (es decir si A y B se encuentran en la misma recta).

h)     Si q = Ð (A, B) entonces .

 i) es igual al área del paralelogramo de vértices O, A, B y (A + B)

Demostraciones:

 Las propiedades a), b), c) , d) y e) son simples verificaciones  y se dejan como ejercicio para el lector. También se deja como ejercicio la propiedad f) pero  en este caso dejamos como  sugerencia  desarrollar los dos  miembros de  la igualdad por separado y comprobar que la igualdad se cumple.

Veamos la demostración de g) .

En virtud de la propiedad f) :  . Luego (A ´ B) = 0   Û

Û  Û  . Luego por el teorema 41 existe  t Î R tal que A = t. B .

Veamos la demostración de h)

Nuevamente aplicamos la propiedad f) y la definición de ángulo entre dos vectores y obtenemos :  =    así = .

En consecuencia teniendo en cuenta que siendo  0 £ q £ p es sen(q) ³ 0 y por lo tanto   êsen( q )ï= sen(q) se tiene que

Por último damos la idea de la demostración de  h). Dividiremos la demostración en dos casos según sea q Î [0, p/2]  ó  q Î [p/2, p].

Caso 1: Si q Î [0, p/2] como se ve en la figura de la  longitud de la base del paralelogramo es  y su altura es h = sen(q). con lo cual su área es .

Caso 2: Si q Î [p/2 , p] , entonces, el ángulo b de la figura, es igual  p - q.

Con lo cual, sen(b) = sen(q) entonces, la altura h = sen(b). = sen(q). , luego, el área del paralelogramo es  , y,  por la propiedad h), el  área resulta ser .

Comentario 

El estudio de la geometría como sistema deductivo, fue iniciado por Euclides hacia el año 300 A.C. con su obra “Elementos”. Poco se sabe de este matemático griego. Se dice que fue llamado por Ptolomeo I a Alejandría como profesor del instituto conocido como “Museo” y se le atribuye la autoría de tratados, algunos perdidos, sobre aritmética, geometría, astronomía y armónica (música). Su obra fundamental “Elementos”, a diferencia de los documentos egipcios y babilónicos de épocas anteriores, no es un manual de reglas prácticas para calcular y medir, sino que es una estructura lógica, la primera obra de fundamentación geométrica y el modelo al que se ajustaron todas las obras posteriores de matemática.

Para ilustrar la idea del método axiomático, digamos antes, que se entiende por proposición, una expresión de la cual tenga sentido inequívoco, decir si es verdadera o falsa.

El método utilizado por Euclides consiste en la utilización de  cadenas deductivas que obtienen nuevas proposiciones a partir de otras cuya verdad ha sido establecida con anterioridad. Las proposiciones deducidas a partir de otras anteriores, se llaman teoremas. Puesto que no se puede retroceder infinitamente en la búsqueda de elementos anteriores, necesariamente, debemos partir de ciertas proposiciones a las que debe aceptarse sin demostración.

En “Elementos” encontramos estas “proposiciones primeras” subclasificadas en dos tipos, a saber:

a)Postulados: son principios propios de la geometría obtenidos de la observación de la naturaleza, citamos aquí alguno de ellos:

1-     Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.

2-     El prolongar continuamente una recta finita en línea recta.

3-     Y describir un círculo con cualquier centro y distancia.

4-     Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.

5-     Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en que están los ángulos menores que dos rectos.

b)Nociones comunes o axiomas: constituyen principios comunes a todas las ciencias considerados, no solo verdaderos y palmarios sino indemostrables. Citemos algunos axiomas.

1-     Las cosas iguales a alguna cosa son iguales entre sí.

2-     Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales los totales son iguales.

3-     Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales; los totales son iguales.

7-     Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.

8-     Y el todo es mayor que la parte.

Aclaremos que hoy en día, las palabras postulado y axioma, se consideran sinónimos.

Asimismo, las proposiciones enuncian propiedades de ciertos objetos o entes ideales que se han de definir refiriéndolos a entes anteriores, por lo cual, en definitiva, habrán de introducirse también unos conceptos primitivos no susceptibles de definición. Euclides no parece percibir este hecho y en su afán de definirlo todo, comete el error de hacerlo con ciertos entes que deben ser considerados conceptos primitivos y no pueden definirse en términos más simples, por ejemplo, el libro comienza con la definición “punto es lo que no tiene partes”.

Aunque a la luz de la crítica moderna, a “Elementos” se le pueden señalar varias fallas lógicas, como la omisión de algunos axiomas necesarios o el mencionado anteriormente acerca de las definiciones, todos estos defectos resultan insignificantes comparados con el mérito extraordinario de haber construido una ciencia deductiva a partir de un cúmulo de conocimientos dispersos, en su mayoría empíricos, que constituían la matemática anterior a la contribución de Euclides.

Los siglos XIX y XX fueron épocas de continua revisión de los fundamentos de la matemática . En el año 1899 el matemático alemán David Hilbert en su obra “Fundamentos de la Geometría”(Grudlagen der Geometry) presentó una nueva lista de axiomas para la Geometría Euclidiana .En el trabajo de Hilbert las nociones de punto, recta y plano son conceptos primitivos como asimismo lo son las relaciones de congruencia, “en” y “entre”. Es interesante señalar que Hilbert reemplaza en su lista de axiomas el quinto postulado de Euclides por una proposición equivalente que se conoce bajo el nombre de “Postulado de las paralelas” (Por un punto exterior a una recta pasa una, y solo una paralela a dicha recta) que se atribuye al matemático inglés John Playfair y es la que se usa habitualmente en los textos modernos de Geometría .

El éxito que tuvo la formulación axiomática de la geometría condujo a la axiomatización toda la matemática  y de otras teorías científicas. Esto hace necesario que hagamos aquí algunas aclaraciones.

a.      En una disciplina científica pueden darse distintos sistemas de axiomas equivalentes; una misma proposición puede ser axioma en uno de los sistemas y teorema en el otro. Por ejemplo el quinto postulado de Euclides es equivalente al Postulado de las paralelas y por lo tanto, mientras que en el sistema de axiomas que usa Euclides el Postulado de las paralelas es un teorema , en el sistema axiomático de Hilbert pasa a ser un teorema el quinto Postulado de Euclides. Por eso no tiene sentido preguntarse si una proposición puede demostrarse o no sin especificar el sistema axiomático de referencia.

b.     Es fundamental e ineludible que un sistema axiomático no encierre contradicción. En ese caso se dice que el sistema es compatible.

c.     Otra propiedad deseable aunque no ineludible de un sistema de axiomas es que ningún axioma pueda ser deducido de los demás. En tal caso se dice que el sistema es independiente. Uno de los problemas mas importantes de la historia de la Matemática consistió en decidir si el quinto Postulado de Euclides era o no independiente de los otros axiomas de la teoría (esto es si era o no posible deducirlo a partir de los otros axiomas). Ciertos indicios indican que el mismo Euclides no estaba del todo seguro de la independencia de este axioma. Durante siglos los matemáticos emprendieron infructuosos intentos para demostrarlo hasta que a mediados del siglo XIX los matemáticos Gauss, Bolyai y Lobachevsky  descubrieron que dicho axioma es independiente de los demás dando lugar así a las Geometrías no Euclidianas.

d.     La formulación de la Geometría Euclidiana que estudiamos en la primera parte de este curso se hace desde el punto de vista de la Geometría Analítica y su fundamentación es diferente a la presentada por Hilbert . Aquí utilizamos las propiedades de los números reales para definir conceptos como punto recta y plano. Los números reales a su vez pueden ser presentados a partir del sistema axiomático de la teoría de conjuntos

No haremos aquí una presentación rigurosa de la formulación analítica de la geometría Euclidiana sino que nos limitaremos a presentar algunas definiciones y resultados sencillos.