19-Norma de un vector:

Sea A = (a₁, a₂)ÎR² la distancia entre el punto A y O = (0,0) o la longitud del vector A esta dada según el teorema de Pitágoras por el número    (ver figura) .Dicho número se llama la norma de A y se denota  .

Mas generalmente la distancia entre el punto A y el punto B es igual a la longitud del vector B-A equivalente a  luego la distancia entre A y B es el número real no negativo d(A, B) =  

20- Propiedades de la norma:

Sean A, B  Î R²  y    R entonces :    

N1) 0

N2)  = 0  A = 0

N3)   =

N4) d(A, B) =  =  = d(B, A)

Las propiedades anteriores son de inmediata verificación y quedan como ejercicio a cargo del lector.

La ultima propiedad que presentaremos en esta sección se conoce por el nombre de desigualdad triangular .Geométricamente esta última propiedad nos dice que en un triángulo la suma de las longitudes de dos de sus lados no puede ser inferior a la longitud del tercer lado ( ver figura ) y su demostración se hará mas adelante.

N5)  +

Además,  = +  Û existe l > 0 tal que A = l.B

21-Ejemplos:

a)     Sea A = (3, 4) entonces  =  = = 5

b)    Sean A = (1, 2) y B = (2, 3) entonces d(A, B) =  =  =

22-Producto interno-Perpendicularidad:

Sean A = (a₁, a₂) y B = (b₁, b₂) dos vectores de R² . Decimos que A y B son perpendiculares u ortogonales si entre ellos forman un ángulo recto. Esto ultimo es equivalente a su vez a decir que el triángulo  es rectángulo en O = (0, 0) . Observando que las longitudes respectivas de los catetos del triángulo son  y  mientras que la longitud de la hipotenusa del mismo es  por el teorema de Pitágoras se tiene que  ² = ² + ² de donde:

    (b₁-a₁)²+(b₂-a₂)² = a₁²+a₂²+b₁²+b₂²

    b₁²-2.a₁b₁+a₁²+b₂²-2.a₂b₂+a₂²  = a₁²+a₂²+b₁²+b₂²            

    b₁²-2.a₁b₁+a₁²+b₂²-2.a₂b₂+a₂²  = a₁²+a₂²+b₁²+b₂² a₁b₁+a₂b₂ = 0

El número real   a₁b₁+a₂b₂   se denomina el producto escalar de A y B o bien el producto interno de A y B y se denota A.B .Según lo visto anteriormente A y B son perpendiculares si y solo si A.B = 0

23- Ejemplos:

a)     Si A = (3, 4) y B = (2, 1) entonces A.B = 3.2+4.1 = 10

b)    Si A = (1, 2) y B = (2, -1) entonces A.B = 1.2+2.(-1) = 0 y por ende A y B son perpendiculares (ver figura).

24- Propiedades del producto interno:

Sean A, B, C Î R² y t Î R entonces:

a)     A.A = ²

b)    A.(B+C) = A.B+A.C

c)     A.B = B.A

d)    A.(t.B) = t.(A.B) = (t.A).B

Las demostraciones de estas propiedades quedan a cargo del lector.

25- Angulo entre dos vectores:

Dados dos vectores A = (a₁, a₂) y B = (b₁, b₂) ambos distintos del vector nulo O = (0, 0) quedan determinados por ellos dos ángulos, uno de ellos que llamaremos  de amplitud menor o igual que el ángulo llano y el otro, digamos , de amplitud mayor o igual que el ángulo llano. Llamaremos ángulo entre A y B al de menor amplitud, es decir, a . Al ángulo entre A y B y lo indicaremos (A, B) (ver figura) .De modo que 0 (A, B)

Consideremos ahora la proyección perpendicular de B sobre A como se ve en la siguiente figura que por ser un múltiplo de A la podemos indicar como t.A (tÎR). Sea C un vector perpendicular a A tal que B = C+(t.A)

Como A y  C son perpendiculares A.C = 0, con lo cual :

A.B = A.(C+t.A) = A.C+t.A.A = 0+t. ² = t. ²      t =        

Por otro lado :  cos( ) =   =    = t.    de donde obtenemos que

                                                    cos( ) =

  y  cos( ) = .

26- Ejemplo:

Sean A = (1, 1) y B = (1, 0). Si q = (A, B), entonces, q es el único ángulo tal que 0 £ q £ p y  cos( ) = = = , por ende, .