34- Definición:

Si A = (a₁, a₂, ... ,a_n)ÎRⁿ definimos la norma de A (indicada  )  por :

   =  =

35- Interpretación geométrica de la norma:

Vimos en 19 que la norma de un vector AÎ R² es la distancia entre A y (0, 0) o la longitud del vector A. Mostraremos ahora que en R³ puede darse exactamente la misma interpretación. Consideremos el punto  A = (a₁,a₂,a₃) Î R³ y llamemos p al plano que contiene al eje x y al eje y.

Sea A₀ = (a₁,a₂,0) la proyección perpendicular de A sobre el plano p y sea  d  la distancia entre A  y  O. Como se  ve en  la  figura  de  la  izquierda d es  la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de vértices O, A  y A₀.      En virtud del teorema de Pitágoras:

d² = (longitud de )²+(longitud de )²           (*)

Es claro que la longitud de es a₃. Para calcular (longitud de )²  podemos observar en la figura de la derecha la representación hecha sobre el plano p .En ella vemos que  es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices O,  A₀ = (a₁, a₂, 0)  y  (a₁, 0, 0) y por ende se tiene que:

(longitud de )²  = a₁² + a₂²   (**)

Juntando las formulas (*) y (**) obtenemos que d² = a₁² + a₂² + a₃²  de donde:

d =  =

36- Definición:

Si A, BÎRⁿ  la distancia entre A y B o la longitud del vector  es el número real no negativo d(A, B) =  

37- Ejemplo:

Si A = (1, 2, 3) y B = (4, 2, -1) la distancia entre A y B o la longitud del vector   es:  d(A, B) =  =  =   =  = 5

38- Definición:

Si A = (a₁,..., a_n)ÎRⁿ  y B = (b₁,..., b_n)ÎRⁿ  se llama producto interno o

producto escalar de A y B al número real

A.B = a₁.b₁+a₂.b₂+... +a_n.b_n  = 

39- Ejemplo:

Si A = (1, 2, 3, 4) y B = (-1, -3, 0, -1/2), entonces:   

A.B = 1. (-1)+2. (-3)+3.0+4. (-1/2) = -9

40- Algunas propiedades de la norma y el producto interno:

Sean A, B, C Î Rⁿ y sea lÎR entonces:

a)       ² = A.A

b)    A.B = B.A

c)     A.(B+C) = A.B+A.C

d)    l.(A.B) = (l.A).B = A.(l. B)

e)     = +2.A.B  y además = - 2.A.B

f)      =   Û A.B = 0   (Teorema de Pitágoras)

g)     =    Û A.B = 0   (Teorema de Pitágoras)

h)     0

i)        = 0  Û A = O

j)        =

k)     d (A, B) = d (B, A)  0

l)       d (A, B) = 0  Û  A = B

Las demostraciones de estas propiedades son sencillas y quedan como ejerci-cio para el lector.  El siguiente resultado acerca del producto interno no tiene una demostración tan sencilla,  la que presentaremos aquí reviste un carácter meramente formal y la lectura  de la misma puede ser omitida si el lector así

lo desea.  Sin embargo el resultado en sí es importante ya que  nos  permitirá definir  la noción de  ángulo entre dos  vectores y  demostrar la  desigualdad triangular de la norma.

41-Teorema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz ):

Si A, B ÎRⁿ entonces . Más aún  Û A = l . B para algún lÎR

Demostración:

Consideremos la función f: R R definida por la fórmula f(x) =  para todo  x Î R. Es claro que f(x) 0 para todo x Î R. Por otro lado en virtud de las propiedades 40 j) y 40 e) se tiene que f(x) = = - 2.A.B.x  para todo  x Î R. Luego f es una función cuadrática que tiene a lo sumo un cero y por lo tanto su discriminante D es menor o igual que cero. Pero:

D = (-2.A.B)² – 4. 0 Û 4. (A.B)²  4. Û (A.B)²   Û   Û .

Además Û f tiene una única raíz real l Û existe un número real l tal que f(l) = = 0 Û A- l.B = O  para algún número real l Û A=l.B,  para algún número real l .

42- Corolario:

Si A, B ÎRⁿ entonces A.B  y además A.B =  Û A = l . B para algún l 0

La demostración de este corolario queda como ejercicio para el lector.

43- Corolario (Desigualdad triangular):

Si A, B ÎRⁿ entonces . Además  Û A = l . B para algún l 0.

Demostración:

Por la propiedad 40 e) se tiene que = +2.A.B  aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a esta última igualdad                              = +2.A.B £ +2.  = .

Así

La segunda parte de la demostración se deja como ejercicio para el lector.

44- Angulo entre dos vectores:

Si A yB pertenecen a Rⁿ -{0}, se define el ángulo entre A y B, como el único q tal que 0 £ q £ p  y cos(q) = . El ángulo entre A y B se indicará Ð(A, B). 

En general, se define el ángulo entre los vectores y  como el ángulo entre sus equivalentes por el origen (B – A) y (C – A).

45- Observación:

En virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz,  -1 £  £ 1. Dado que la función cos: [0, p] ® [-1, 1] es biyectiva, para cada x Î [-1, 1], existe un único q Î [0, p] tal que cos(q) = x. Esto muestra que la definición 44 que generaliza la definición dada anteriormente en R² es correcta.