Generalización:

Lo hecho hasta ahora en R² sugiere el modo de generalizar las nociones de vector, equivalencia de vectores, paralelismo, norma, producto interno y ángulo entre dos vectores a Rⁿ para cualquier número natural n .

27- Definición:

Un vector de Rⁿ es un par ordenado de puntos de Rⁿ el primero de los cuales se llama origen y el segundo extremo. Si A, BÎ Rⁿ el vector con origen A y extremo B se indica .

28- Definición:

Dos vectores  y  de Rⁿ se dicen equivalentes si y solo si B-A = D-C .

29- Definición:

Dos  vectores  y  de Rⁿ son paralelos o tienen la misma dirección si y solo si existe un número real k ¹ 0 tal que B-A = k.(D-C).

En tal caso diremos que  y   tienen igual sentido si k > 0  y que tienen distinto sentido si k < 0 .

30- Ejemplos:

a)     Sean A = (1, 1 ,1) , B = (2, 3, 4) , C = (5, 0, 2) y D = (6, 2, 5) entonces los vectores  y  son equivalentes. En efecto: 

(B-A) = (2, 3,4)-(1, 1,1) = (1, 2,3)

(D-C) = (6, 2,5)-(5, 0,2) = (1, 2, 3)

 Luego (B-A) = (D-C) .                  

 Nótese que el vector     que  atentos  a   la  identificación

 Hecha en 14 podemos pensar como el punto (1,2,3) es el único vector equivalente a 

 ( y a ) con origen O = (0, 0, 0)

b)    Sean en R⁴   A = (1,0,0,1) , B = (0,1,0,0) , C = (1,2,1,2) y D = (3,4,5,0) entonces los vectores   y  no son equivalentes  y  tampoco  son   paralelos puesto que:

B-A = (-1,1,0,-1) ¹l .(2,2,4,-2) = l .(D-C)  para todo l Î R .

c)     Sean A = (1, 1, 1) , B = (2, 3, 4) , C = (5, 0, 2) , D = (4, -2, -1) entonces los vectores  y  tienen la misma dirección y distinto sentido pues:

(D-C) = (-1, -2, -3) = (-1) (1, 2, 3) = (-1) (B-A)                                                             

 31- Definición:

     Si     y   son vectores de Rⁿ      definimos la suma de y   por:   

+ =  (5)

Si k es un número real definimos el producto de  por k por   :

k. =  (6)

Si O = (0, 0, ..., 0)ÎRⁿ        las fórmulas (5) y (6) se reducen a :

+ = (7)

k. =  (8)

Las fórmulas (7) y (8) permiten identificar cada punto AÎRⁿ  con el vector          

32- Observaciones:

 a)Si es equivalente a  y  es equivalente a entonces  

es equivalente a +   y para todo número real k,  k. es equivalente

a k. .Gracias a este resultado que el lector podrá corroborar fácilmente que para realizar la suma   + basta sumar  los equivalentes por el origen   y    a los vectores dados y dar como resultado el vector equivalente a esta última suma con origen A.  Se  pueden  realizar consideraciones análogas para efectuar el producto k. .

b) Cada  vector    tiene  un   único  vector  equivalente  con  origen  O                   que  es  el  vector     al  cual  indicaremos  (B - A)   atentos  a  la identificación hecha anteriormente entre los vectores con origen O y   los puntos de Rⁿ. Del mismo modo el único vector  equivalente  a      con origen A es .

 c)Sea AÎRⁿ nos referiremos a el indistintamente como “el punto A”o el “vector A” teniendo en cuenta la identificación antes mencionada y pensaremos a A como punto o como vector según sea conveniente a nuestros propósitos . Cada vez que necesitemos referirnos a un vector con origen diferente de O especificaremos ese origen .

d)    Según vimos antes si AÎRⁿ y PÎRⁿ la suma P+A puede pensarse como la suma de los vectores  y .Otra forma de pensar esta suma es la siguiente P+A es el punto que se obtiene trasladando el punto A en la dirección y el sentido del vector  (ver figura).

e)     La función T_A : Rⁿ  Rⁿ definida por la  formula T_A( ) = +A para todo ÎRⁿ se denomina traslación según el vector A . Esta función corresponde a un tipo de funciones llamadas “movimientos rígidos” pues conserva ángulos y distancias con lo cual no altera la forma de las figuras. Por ejemplo si C es un rectángulo la traslación de  C según el vector A ; C’= T_A(C) =C+A    (C+A denota la figura que se obtiene sumando A a cada punto del rectángulo C ) es otro rectángulo de las mismas dimensiones que C y si L es una recta, la traslación según A de  la recta L ; L’ = T_A(L) = =L+A  es una recta paralela a L (ver figura)                                                                                   

33- Ejemplo:

Sean A = (1,1,1), B = (2,0,1) , C = (3,1,2)  y k = 5 entonces el único vector equivalente a  con origen O = (0, 0, 0) es (B – A) = (1, -1, 0) y el vector equivalente a con origen O es C-A = (2,0,1)  El vector P = (B-A)+(C-A) = = (3, -1, 1) es el equivalente con origen O a .

Luego  =  = .

El vector equivalente a 5.  con origen O es  Q = (5,-5,0)  en consecuencia :

5.  =  =