Teoria dos Erros - Introdução

Grandeza	Algarismos Significativos	Arredondamento	Operações com AS
Classificação dos erros	Média	Desvio	Desvio médio
Erro relativo	Exercícios

1. Algarismos Significativos

1.1. Grandeza

Chamamos de grandeza o ente para o qual vale a operação de medir. São exemplos de grandezas: comprimento, tempo, peso, temperatura, área, volume, velocidade, etc.

Medidas das grandezas

“Quando se pode medir aquilo de que se está falando e exprimi-los por números, sabe-se algo a respeito; mas quando não é possível exprimi-lo por número, o conhecimento é escasso e de natureza insatisfatória . Pode ser o inicio do conhecimento, mas não faz avançar senão muito pouco o espírito para o estágio da ciência “

Lord Kelvin

Medir uma grandeza é compara-la com outra fixa,de mesma espécie e considerada como padrão. Após ser feita a comparação , obtemos o que chamamos de medida. Logo: Medição Þ ato de medi
Medida Þ resultado de uma medição.Uma medida é composta de : Medida = (Número)(unidade)

Ex: 0,01mm, 2m, 10g

1.2. Algarismos Significativos

Vamos admitir que se está fazendo a medida usando uma régua milimetrada, como abaixo Qual o valor medido ?

Fig01: Fazendo uma medida

Qual o valor da leitura ? 4,34cm ? 4,35cm? Ou 4,36cm?

Das três leituras podemos notar que os algarismos 4 e 3 não são duvidosos porém o terceiro algarismo é. Para saber o número de algarismos significativos , contamos a partir da esquerda para a direita todos os algarismos ( inclusive o duvidoso ), a partir do primeiro diferente de zero.

Exemplos:

a) 15,21m tem 4 AS , sendo 1 o duvidoso

b) 42.020m tem 5 AS sendo o 0 o duvidoso.

c) 25,2s tem 3 AS sendo 1 o duvidoso

d) 25,20s tem 4AS sendo 0 o duvidoso.

e) 25,200s tem 5AS sendo o o duvidoso

Observe que 25,2 ; 25,20 e 25,200 não tem o mesmo significado.

1.3. Arredondamento de AS

Em alguns casos pode ser necessário fazer arredondamentos, eliminando AS. Para fazer arredondamentos usamos a regra :

a) O último algarismo conservado não se altera se o AS eliminado é menor do que 5. :

Ex:

2,422 reduzido a 2AS fica 2,4
25.323 reduzido a 3AS fica 253.10² 25.323 reduzido a 2AS fica 25.10³

b) O último AS conservado é acrescido de uma unidade se o AS eliminado for maior ou igual a 5.

Ex:

43,768 reduzido a 4 AS fica 43,77
45.768 reduzido a 2AS fica 46.10³0,0379 reduzido a 2AS fica 0,038

1.4. Operações com AS

a) Adição

Para somar parcelas com AS, devemos inicialmente fazer o arredondamento de modo que todas as parcelas tenham o mesmo numero de casas decimais e igual à da parcela com menos AS.
Ex: Efetuar a soma dos comprimentos

12,458cm + 3,22cm + 1,5cm
a ultima parcela é a que tem menos AS logo 12,5cm+3,2cm+1,5cm = 17,2cm

b) Subtração

O processo é semelhante à soma.

Ex: 25,482cm – 10,5cm = 25,5 – 10,5 = 15,5cm

c) Multiplicação

O fator que possuir o menor número de AS é que vai determinar o número de AS do resultado.

Ex: 4,62m x 9,3m = 43m² ( 3ASx2AS =2AS)
1432x2,1 = 3007 = 3,0.10³(4ASx2AS=2AS)

d) Divisão
Análogo à multiplicação

Ex: 9,2 / 2,31 = 3,98 = 4,0 ( 2AS / 3AS = 2AS )

“ O resultado de um cálculo não pode ser mais preciso que o termo menos preciso envolvido no cálculo “

1.5. Teoria dos Erros

Experiência: Todos os alunos de uma sala de aula medem, com uma régua milimetrada, a maior dimensão de uma mesma caixa de fósforo , anotando os resultados.Com certeza nem todas as medidas tem o mesmo valor, apesar do instrumento de medida ser o mesmo e a grandeza também. Mesmo que o mesmo experimentador repetisse várias vezes as medições , provavelmente os resultados não coincidiriam. Por que isso acontece ?O instrumento o experimentador ou os processos de medição não são perfeitos, logo o resultado não será perfeito. O valor verdadeiro ou absoluto somente será obtido com com instrumentos perfeitos e técnicas perfeitas.

Concluímos que o valor real difere do valor verdadeiro. A esse desvio chamamos de erro da medida ou desvio .

1.5.1. Classificação dos erros

De uma maneira geral , os erros são classificados em :

a) Grosseiros

b) Sistemáticos

c) Acidentais

a) Erros grosseiros : São aqueles causados por falta de atenção ou falta de prática do experimentador.

· Erros de cálculo

· Erros de leitura ( ler 81 ao invés de 31 )

· Erro de cópia ( transcrever 645 ao inves de 654 )

· Erros provenientes do manuseio errado do instrumento.

· Erro de paralaxe

Para evitar tais erros deveremos:

Repetir cuidadosamente as medições ( resultados discrepantes devem ser rejeitados )

Adquirir prática com o instrumento medidor.

b) Erros sistemáticos : são conseqüências de imperfeições do instrumento, do experimentador e do método usado.

Instrumento: Deslocamento do zero

Uso de uma escala em condições diferentes daquela em que foi aferida ( em outra temperatura ).
Experimentador: Atrasar ou adiantar o cronômetro.

Método empregado: negligenciar a ação da temperatura, pressão.

Para evitar tais erros deveremos:

Aferir ou calibrar o instrumento antes do uso.
Substituir a observação humana por elementos mecânicos elétricos ( sensores ).
Escolher um método adequado para aquela medida daquela variável.

c) Erros Acidentais: São aqueles provenientes de causas indeterminadas , temporárias, variáveis, imprevisíveis e que modificam de maneira irregular e variável o resultado das medições.Os erros acidentais são inevitáveis , não são elimináveis nem completamente corrigíveis .

A teoria dos erros , fundamentada no cálculo de probabilidades trata dos erros acidentais.

1.5.2. Valor mais provável de uma grandeza (

)

Como não podemos obter a medida verdadeira de uma grandeza , iremos procurar qual o seu valor mais provavel.

Postulado de Gauss:

“para uma série de medidas ( X1,X2,.......XN ) dignas de confiança, o valor mais provável da grandeza,		, é a medida
aritmética simples de todas as grandezas medidas, isto é :

1.5.3. Desvio ( d )( resíduo )

Por definição é a diferença entre cada medida encontrada ( X ) e o valor mais provável da grandeza(

)

Propriedade :

O desvio pode ser positivo ou negativo.

Para uma quantidade de medidas muito grande a soma dos desvios é nula
Obs: O fato de uma medida ter desvio nulo não significa que ela é “certa “, apenas que, dentro da precisão do aparelho utilizado, não se pode perceber diferenças entre o valor provável e o valor obtido.

1.5.4. Desvio médio absoluto(

)

Define-se desvio médio absoluto (		)	para uma série de n medidas como sendo a média aritmética simples
dos módulos dos desvios dessas n medidas.

Obs:

1) O desvio médio absoluto deve ser arredondado para um AS

2) O valor de		é muito importante, pois, a forma correta de indicar o resultado de uma medição especifica
não somente o valor mais provável bem como a incerteza com a qual a medida vem afetada.

3) O desvio médio é expresso nas mesmas unidades e com a mesma precisão da grandeza que se está medindo.

4) O desvio médio é expresso nas mesmas unidades e com a mesma precisão da grandeza que se está medindo.

O desvio médio absoluto é feito em modulo, pois se levássemos em conta o sinal, alguns positivos se anulariam com alguns negativos, de modo que o desvio médio seria nulo ( não teria sentido ). Se em todas as medidas tivermos desvios , como em média o desvio pode ser zero ?

Forma de se indicar corretamente um medida

Valor da medida =