Eine Doppel - Ungleichung (Lösung)
von Bernd Fritzen, Münster (Wurzel 1/2001, S. 19/20)
Wir zeigen zunächst:
 .
Die linke Ungleichung folgt unmittelbar aus der Definition von an ; die
rechte beweisen wir mit vollständiger Induktion. Für n = 1 ist die Behauptung
wegen
a1 = 1 < 2! richtig. Sei also für ein n ∈ N die Ungleichung
an < (n + 1)! erfüllt. Dann ist
an+1 = an + (n + 1)(n +1)! < (n + 1)! + (n + 1)(n + 1)! = (n + 2)!
Aus der Partialbruchzerlegung
folgt sofort  insbesondere
und wegen a < 1:
also
Aus den beiden Abschätzungen für an und bn folgt unmittelbar
die Behauptung.
Aufgabe /
Menue / Home
|