Seminário "E-mail": Os Erros nos Planos do Paleomagnetismo (7/2001)
O trabalho de pesquisa em paleomagnetismo pode ser dividido empiricamente
em 3 fases: (1) campo, (2) laboratório e (3) interpretação.
Veremos neste seminário exemplos de como as grandezas planares participam
de cada uma destas fases, e de como definir os erros associados a elas.
Fase 1 - Campo.
Praticamente todos os sistemas de referência que usamos no campo
são baseados em planos. A saber: (1) a face da rocha, (2) a paleohorizontal
de acamamento, (3) a foliação estrutural, (4) a horizontal
do lugar e ("forçando" um pouco para o par: latitude & longitude)
(5) o plano do Equador. A bússola solar precisa ainda (5a) da eclíptica
(você pensou certo: 5a = 5) e (6) do plano de órbita da Terra.
Podemos definir a posição relativa entre cada um destes planos
simplesmente através de alguns ângulos (mergulho, azimute
etc), medidos a partir de certas referências. Mas o que dizer dos
erros associados a esta definição, que são o tema
principal deste seminário? Ora, o erro associado a qualquer um destes
planos só pode equivaler (em tamanho e direcionalidade) ao erro
cometido na obtenção dos ângulos que definem este plano.
Por exemplo, o erro associado ao posicionamento da face da rocha em relação
à horizontal está totalmente contido nas incertezas do par
azimute & dip, da correção de campo.
Entender isto é fácil. Já visualizar o efeito destes
erros é um pouco mais complicado. Tomemos o azimute e o dip da foliação
como um 2.o exemplo. Se tivermos azimute = 123+/-3 graus e dip = 34+/-1
graus (o dip é tipicamente mais bem definido que o azimute, devido
à diferença de precisão com que podemos obter as respectivas
referências: plano horizontal e norte verdadeiro), como fica a representacao
gráfica destes erros desiguais?
O truque todo está em representar a foliação não
pelo seu plano, mas pelo vetor normal (perpendicular) a este plano. Cada
um dos erros angulares, então, pode ser visualizado com fazendo
a ponta do vetor "oscilar" ao longo de uma certa direção.
A partir daí, fica (mais) fácil enxergar que a composição
destas oscilações força a ponta do vetor a descrever
um cone elíptico, onde o eixo maior da elipse "aponta" para a direção
mais "errada". Note que estas oscilações são angulares,
o que nos permite aplicar o mesmo truque de antes e representar cada uma
não pelo plano onde ela se realiza, mas pelo vetor perpendicular
a este plano. Mas existe uma diferença: o tamanho dado ao vetor
que é perpendicular ao plano foliar não precisa ter significado
especial (é arbitrariamente tomado como sendo 1, para facilitar
as contas), enquanto que o tamanho dado ao vetor que representa uma oscilação
deve ser diretamente proporcional à amplitude desta oscilação,
se no futuro quisermos operar matematicamente com ele de uma forma eficiente
(e nós vamos querer!). Tomar este tamanho como sendo a tangente
do ângulo é especialmente vantajoso, como perceberemos mais
adiante.
Conhecido o truque qualitativamente, vamos aplicá-lo quantitativamente.
Fazendo o produto vetorial do versor (isto é, vetor de módulo
1) foliar com cada uma das normais oscilatórias, obteremos 2 novos
vetores que são respectivamente proporcionais: (1) ao "tamanho"
de cada erro e (2) ao "peso" (corresponde à "distância angular")
de cada eixo de oscilação em relação ao versor
foliar. Estes novos vetores são perpendiculares: (1) ao próprio
versor foliar (obviamente) e (2) entre si (não tão obviamente
assim mas verdadeiro, devido à ortogonalidade do par azimute &
dip). Basta, então, desenharmos estes 2 vetores na "ponta" do versor,
para termos uma representação geométrica dos erros
que eles representam. E quem quiser que o desenho fique mais bonito ainda,
pode até desenhar a elipse cujos eixos (maior e menor) eles representam.
Muito bom. Falta agora saber os cuidados a tomar na propagação
desses erros (como, por exemplo, na hora de combinar as incertezas da correção
de campo com as da correção de acamamento), não é
mesmo?. O principal cuidado surge do fato que, na hora da propagação,
os vetores não se comportam mais como vetores. (Aliás, para
quem "manja" do jargão matemático da "Teoria dos Grupos",
a expressão correta é que eles "não se transformam
como vetores".) Eles se comportam, isso sim, como uma entidade única,
rígida, que nós podemos chamar de base, tensor, ou qualquer
outro nome que quisermos. O nome pouco importa. O que importa é
que esta entidade pode ser bem representada por uma matriz simétrica,
e que as transformações a que ela se submete podem também
ser bem representadas pelas operações da álgebra matricial.
Mas esta "boa representação" não sai sem um pouco
de "forçação de barra". Como necessitamos de 3 vetores
(ortogonais) para compor um tensor, e as normais oscilatórias são
apenas 2, somos forçados a inventar um terceiro vetor, normal aos
outros 2, mas de módulo (tamanho) zero. (Economicamente, a tentação
de usar, seja o próprio versor planar, seja o "erro modular" deste
como 3.o elemento do tensor não vale a pena. Melhor dizendo: a economia
obtida não compensa a complicação algébrica
subsequente.)
Isso posto, a "receita do bolo" da propagação fica: (1) representar
cada processo a ser combinado pela matriz de transformação
associada (a correção de campo, por exemplo, equivale ao
produto de 2 matrizes de rotação elementares; a de acamamento,
ao produto de 3 delas); (2) representar cada grupo de erros angulares por
um tensor, conforme foi explicado previamente; (3) aplicar as transformações
necessárias (usando produto de matrizes) para colocar estes tensores
sob o mesmo sistema de coordenadas; (4) somá-los (matricialmente,
é óbvio) para obter o erro total equivalente e (5) "desfazer"
a representação tensorial, para novamente chegar a um par
de vetores, ortogonais entre si e ao versor planar. Aí é
só desenhar a elipse.
Fase 2 - Laboratório.
Algumas medidas que fazemos são escalares. Outras, embora direcionais,
são estáticas. No entanto, a grande maioria das nossas medidas,
além de serem direcionais, são feitas com a amostra girando.
(Afinal, nós não somos conhecidos como: "os homens (e/ou
mulheres) que 'viram' pedra" à toa!) Ressalte-se aqui que estas
medidas giratórias ainda não são a grandeza vetorial
ou tensorial que estamos buscando; é só depois da combinação
matemática destas medidas parciais que vamos poder obter a dita
grandeza.
O desafio aqui, então, consiste em ver como os erros obtidos isoladamente
em cada rotação se associam, para produzir o erro total da
grandeza em questão. Parece complicado? Pois é mesmo! Principalmente
para aqueles dentre vocês que são destros, e não têm
a visualização espacial tão desenvolvida quanto nós,
os canhotos. Mas vocês chegam lá.
