Laboratório de Paleomagnetismo IAG - USP

Seminário "E-mail": Ruídos no Paleomagnetismo

(Parte 2 - 11/99)

No sentido mais amplo, ruído é tudo que atrapalha. Isto engloba tanto as noções mais conhecidas de ruído: chiado de um sinal, incerteza de uma medida ou “barulho” sonoro, quanto outras menos ortodoxas como: poluição e erro humano.

Olhando nossa relação com os ruídos por um certo ângulo, perceberemos que no laboratório de paleomagnetismo os equipamentos são grandes vítimas do ruído, mas também grandes causadores dele. Já um aspecto diferente dessa relação surge quando focalizamos o processamento das informações paleomagnéticas, pois cada etapa (desde o trabalho de campo até a publicação dos resultados) injeta um pouco do “benedito” nelas.

Como diz o ditado: durma-se com um barulho destes! Já que não se pode eliminar totalmente o ruído, cumpre a todo bom paleomagnetista (1) detectar suas causas, (2) estimar o seu valor e (3) tentar minimizar os seus efeitos. Disto trata este seminário, que está mais ou menos dividido em 2 partes: “hardware” (equipamentos) e “software” (procedimentos).

Parte 2. Ruído nos procedimentos paleomagnéticos

Nesta parte vamos tratar principalmente dos erros de medida e da propagação desses erros. Para facilitar, gostaria de classificar antecipadamente as grandezas físicas que trabalhamos em 3 grupos: (1) escalares (ex.: massa), (2) vetoriais (ex.: magnetização) e (3) tensoriais (ex.: anisotropia). Vamos ver que cada um destes grupos tem características próprias.

Vamos ver também que, em muitas ocasiões, tão importante quanto o “tamanho” do erro de uma grandeza é a direção em que esse erro se apresenta. Fique atento nessas ocasiões: quando a direção do erro é importante não é recomendado aplicar a estatística de Fisher (embora esta seja muito usada em paleomagnetismo), já que ela pressupõe simetria radial nas distribuições e portanto não prevê direcionalidade para os erros. Historicamente, foi para as grandezas escalares (aquelas que se mede apenas com um ponteiro ou uma escala graduada) que toda a teoria de erros foi desenvolvida. Isso explica porque todo erro é compulsoriamente considerado um escalar, inclusive pelo Fisher. Mas vamos aos procedimentos:

2.1. Localização dos pontos de amostragem

Procedimento: Macro localização, ou encontrar o trio: latitude, longitude, altitude (= vetor) do sítio onde se situam os pontos. Obs.: (1) precisamos adicionar o raio da Terra à altitude, se quisermos um vetor convencional (em coordenadas polares); (2) descartando a altitude, o par de ângulos: latitude, longitude constitui um versor, ou vetor unitário, um tipo de grandeza muito usada em paleomagnetismo (tanto direções como pólos são expressos como versores na hora de fazer suas respectivas médias, pois assim todos entram com o mesmo “peso”.).

Ruídos associados: Graças ao GPS (“Global Positioning System”, um sistema de localização por satélite), a macro localização tornou-se o procedimento mais preciso do laboratório. Atinge precisão da ordem de segundo, enquanto que em outros procedimentos paleomagnéticos estamos habituados a precisões da ordem de grau. De qualquer modo, é o primeiro exemplo de direcionalidade de erro, pois o erro horizontal do GPS é da ordem de dezenas de metros, enquanto que o erro vertical é bem maior, da ordem de centenas de metros (devido à geometria da constelação de satélites). Visualizando graficamente, a “nuvem de dispersão” é um elipsóide prolato, alongado verticalmente (vulgo “kibe em pé”).

Procedimento: Micro localização, ou situar cada ponto de amostragem dentro do sítio. Podemos imitar a macro localização e definir uma distância norte-sul (“latitude”), outra leste-oeste (“longitude”) e outra vertical (“altitude”) como as 3 componentes deste vetor. Note porém que agora todos são distâncias e que o vetor já está em coordenadas cartesianas. Se usarmos como ponto-zero deste sistema de coordenadas o ponto do sítio onde o GPS foi lido, podemos obter a localização absoluta de qualquer ponto apenas somando vetorialmente a macro e a micro localizações.

Ruídos associados: Usando o método de triangulação através de visadas da bússola (+ uma trena) sugerido no seminário: “Novidades no Trabalho de Campo”, precisões da ordem de grau e de centímetros podem ser facilmente atingidas. Usando um teodolito, até melhores. Quanto à direcionalidade do erro, lembremos que: (1) distâncias medidas diretamente são mais precisas do que as inferidas “angularmente”; (2) distâncias inferidas com ângulos pequenos são mais precisas do que as inferidas com ângulos grandes. Noutras palavras, a direção de maior erro depende da geometria do problema. Porém, tudo isso é apenas teoria. Considerando o método do “olhômetro” + esboço atualmente em uso, só dá para dizer que a micro localização é o procedimento mais impreciso do laboratório; não dá nem para estimar seu erro. Para se ter uma idéia, se podemos até ter dúvidas se um ponto está acima ou abaixo de outro numa seqüência sedimentar, o que dizer na hora de determinar a distância entre eles?

2.2. Orientação das amostras

Em paleomagnetismo, nos vemos às voltas com nada menos do que 5 sistemas de coordenadas diferentes. Quais são estes sistemas? Do maior para o menor: (1) o heliocêntrico, usado pela bússola solar, cujo plano-base é o plano de órbita da Terra; (2) o geocêntrico, usado pela macro localização, pelas curvas de deriva polar (pólos) e também pela bússola solar, cujo plano-base é o plano do Equador (ou eclíptica); (3) o local, usado praticamente por todo mundo, cujo plano-base é a horizontal do lugar; (4) o estrutural, dado pelo plano de acamamento e/ou de máxima suscetibilidade e (5) o da amostra, aquele que desenhamos nela, cujo plano-base é a face da rocha. Os ângulos que nos levam de um sistema para outro são usados na composição de “tensores” unitários (tersores?!), mais conhecidos como matrizes de mudança de coordenadas. (Já que falamos nisso, outra representação possível é formar vetores quadridimensionais, ou “quaternions”, com esses ângulos. Mas isto fica para outro seminário!)

Neste contexto, orientar significa especificamente: determinar os ângulos que levam do sistema de coordenadas da amostra para o sistema de coordenadas local. São os famosos ângulos: “azimute” (horizontal) e “dip” (vertical). Sendo eles ângulos ortogonais, e ainda mais obtidos por equipamentos distintos, não é de estranhar que tenham níveis de ruído diferentes, como veremos.

Obs.: itens marcados abaixo com um asterisco (*) são específicos da orientação de “blocos” (amostras que não puderam ser furadas por broca cilíndrica diretamente no campo).

Procedimento: Encontrar o mergulho (“dip”) da face da rocha. Normalmente usamos níveis de bolha e um transferidor para: (1) traçar a linha em que o plano horizontal intercepta a face*; (2) obter a direção de mergulho máximo (que é perpendicular à linha anterior) e (3) medir o ângulo entre esta direção e o plano horizontal.

Ruídos associados: Níveis de bolha têm precisão (estimada) melhor que 1 grau. O uso de pêndulos ofereceria uma opção simples e até mais sensível (basta protegê-los do vento) às pequenas variações angulares. Entretanto, temos outros fatores que “seguram” esta precisão na ordem de grau: irregularidades na face da rocha*; pequeno tamanho dos nossos aparelhos niveladores; instabilidade (“jogo”) da plataforma horizontal etc.

Procedimento: Encontrar o “azimute” da face da rocha usando bússola magnética e/ou solar. Consiste em determinar o ângulo (horizontal) que a direção de mergulho máximo (obtida no procedimento anterior) faz com o norte geográfico. Para a bússola solar usamos a intermediação da direção indicada pela sombra de uma haste vertical, enquanto que para a magnética usamos a intermediação da direção apontada pela agulha da mesma. Os ângulos entre estas direções e a de mergulho máximo são medidos diretamente, usando transferidores. Já os ângulos que elas fazem com o norte geográfico precisam ser estimados por via indireta, matematicamente.

Ruídos associados: O erro da bússola solar depende da posição relativa dos 3 sistemas de coordenadas: (1) heliocêntrico, (2) geocêntrico e (3) local entre si e com relação ao Sol. De grosso modo, podemos dizer que quanto menor a sombra, mais imprecisa é a definição do norte solar, o que coloca as regiões próximas ao Equador e a hora do almoço como as piores situações. Mesmo em condições ótimas, o diâmetro angular com que o Sol é visto da Terra (0.5 grau) impõe um limite para a precisão da bússola solar em algo pouco melhor que 1 grau. Também de 0.5 grau é a precisão com que a matemática consegue determinar o norte magnético, mas a precisão da bússola magnética pode ser bem pior do que isso, se a rocha amostrada for magneticamente forte e “puxar” a bússola para si. Erros de dezenas de graus podem ocorrer nestes casos (chega a ser pior do que “adivinhar” aonde está o Sol num dia nublado!). Tendo 2 estimativas independentes para o norte, podemos considerar seu erro como sendo a diferença entre elas (dividida por 2). Normalmente dá em torno de (4/2 =) 2 graus. Correlacionando isto com o 1 grau de erro do mergulho, obtemos uma direcionalidade predominantemente horizontal para o erro total de orientação, além de uma dispersão tipo elipsóide oblato para o mesmo, também conhecido como: “hambúrguer” (para os carnívoros) ou “beirute” (para aqueles com tendências árabes). (O prolato era “kibe”, lembra?)

Procedimento: Escrever na amostra. Usamos arame de latão, caneta marcadora permanente e nanquim branco, mas qualquer coisa que não seja magnética (nem desapareça!) serve.

Ruídos associados: Rugosidade, granulosidade ou fragilidade da amostra podem inviabilizar uma marcação sequer decente; transportar a marca para outros pontos da amostra sempre implica em um erro adicional e deve ser evitado (quando não for absolutamente necessário*); a espessura do traço e a inclinação da caneta (paralaxe) chegam a gerar erros da ordem de 1 milímetro, o que para um espécime cilíndrico padrão de 1 polegada corresponde a um desvio de 5 (isso mesmo, cinco!) graus. Note que este erro, além de grande, é altamente direcional, se concentrando no plano-base (xy) do sistema de coordenadas da amostra (por causa da simetria cilíndrica da mesma). A dispersão é oblata como a do erro de orientação, porém alinhada com a face da rocha em vez de com a horizontal. O grau de “oblaticidade” (anisotropia?) do erro também é um pouco maior agora.

2.2. Tratamento das amostras

Muitas pessoas esquecem que os tratamentos não são eventos perfeitos, mas que (assim como as medições) também estão sujeitos a erros.

Em paleomagnetismo, não são muitos os tipos de tratamento que existem: moer, atacar quimicamente (pouco utilizado), aquecer, esfriar, aplicar campos magnéticos AC e DC. E se são poucos os tipos de tratamento que fazemos, menores ainda são os tipos de medições: apenas magnetização (geralmente através de um meio indireto, o campo magnético) e suscetibilidade (que é a magnetização em resposta a um campo magnético aplicado). É associando de modos variados os tratamentos entre si e com as medições (simultaneamente, em seqüência, por valores crescentes, alternadamente etc) que nós construímos o universo de ferramentas que dispomos.

Obs.: a moagem é um tratamento preparatório, associado às análises magnetoquímicas. Por já ter sido bem discutida alguns itens acima, junto com os efeitos produzidos pelos equipamentos moedores, não vale a pena falar dela novamente aqui.

Procedimento: Tratar a amostra não-direcionalmente, usando ação química ou temperatura. O ataque químico se restringe às amostras porosas, e consiste em deixá-las por um dado tempo (horas) imersas em solução ácida. Já o esfriamento se faz banhando as amostras em algum líquido congelante (nitrogênio líquido, p.ex.), enquanto que o aquecimento normalmente envolve a colocação das amostras em fornos elétricos controlados por termostato.

Ruídos associados: A não-direcionalidade é uma característica das grandezas escalares. Poder-se-ia supor que a “escala” a que o nome se refere fosse satisfatória para estimarmos o erro da grandeza (pela velha regra da metade da menor divisão), mas geralmente isso não ocorre. Outros fatores tendem a aumentar muito o erro em relação a este mínimo. No caso específico do aquecimento (erro mínimo = 0.5 grau), são eles: a inomogeneidade da penetração na amostra; diferenças de temperatura no interior do forno (o “teto” geralmente é mais quente que o “chão”); erro adicional na conversão de uma grandeza auxiliar (ex.: tensão no termopar) para a grandeza a ser medida etc. Mesmo tomando cuidados adicionais, como colocar o termopar no interior da amostra p. ex. (coisa que aliás não fazemos), erros de alguns graus são inevitáveis.

Obs.: ainda em fase experimental, estamos usando também microondas para aquecer as amostras. As promessas são aquecimento rápido e menor alteração química. Posso adiantar que na faixa das goetitas (<300°C) nosso forno de microondas Samsung (comprado numa loja de eletrodomésticos por meros R$200.00) funciona muito bem, já que: (1) em apenas alguns segundos uma boa fração da magnetização é removida e (2) como só os domínios magnéticos têm tempo de se aquecer, a amostra pode ser medida imediatamente após o tratamento.

Procedimento: Tratar a amostra direcionalmente, usando campos magnéticos AC ou DC. Procede-se colocando a amostra no interior de uma bobina e aplicando nesta última um sinal elétrico que (1) cresce, (2) atinge o nível desejado, e depois (3) cai. (Note que uma exceção importante deste procedimento é a aplicação de campos AC sobre uma amostra que gira aleatoriamente, ou desmagnetização “tumbling”, que não deve ser considerada um tratamento direcional.)

Ruídos associados: Campos aplicados são vetores. Se separarmos a parte “tamanho” (ou módulo, ou intensidade) da parte “direção” (versor), então veremos que a análise feita no procedimento anterior (tratamento não-direcional) abrange apenas a primeira parte da grandeza. A parte direcional tem seus erros próprios, parecidos com os que ocorrem na marcação da amostra (uma vez que a simetria cilíndrica do espécime atinge ambos os procedimentos de forma semelhante). Qualitativamente falando, é mais “repetitível” (ou menos “errático”) aplicar campos no eixo do cilindro/amostra (coordenada z) do que em qualquer outra direção. Isso ocorre tanto porque (1) as linhas de campo da bobina atingem a amostra mais homogeneamente como porque (2) as laterais planas do cilindro/amostra permitem um alinhamento muito mais eficiente desta com as paredes da bobina.

2.3. Medições magnetoquímicas

“Magnetoquímica” é um “melhorismo” que eu criei para substituir o pouco explicativo: “magnetismo de rochas” (aliás, um aportuguesamento do igualmente infeliz: “rock magnetism”). Já “melhorismo” é um neologismo que eu criei para não precisar explicar o que é neologismo para quem não é especialista na área (de linguística, é claro!). Mas se você já está bravo agora, só fico imaginando como vai ficar quando encontrar com os igualmente infames: “magnetoregistro” e “magnetoestrutura” logo a seguir!

De qualquer modo, gráficos experimentais correlacionando 2 grandezas e apresentando os pontos medidos com suas respectivas barras de erro são a coisa mais corriqueira da literatura científica. Mas estranhamente não no paleomagnetismo, onde tanto as curvas de Curie, de histerese, de remanescência etc quanto os respectivos parâmetros delas derivados são tidos como “perfeitos”. Será que são mesmo?

Procedimento: Balança de Curie. É o acompanhamento da resposta magnética (suscetibilidade ou intensidade de magnetização) de uma amostra enquanto ela é aquecida e/ou resfriada. Fazemos isso plotando num gráfico cartesiano a resposta obtida (eixo y) contra a temperatura aplicada (eixo x). Cada mineral produz assim uma "assinatura" diferente, na qual cada "subida" ou "descida" brusca corresponde a uma transição importante. Apesar de ter sido originariamente desenvolvida para obter o ponto de Curie (ponto onde a amostra perde suas propriedades magnéticas), agora ela é usada também para monitorar mudanças químicas e obter outros pontos singulares, como as transições de Morin e Verwey (a baixas temperaturas). A matemática para obter os pontos de transição envolve a determinação dos máximos de curvatura do gráfico (locais onde a derivada 2ª é zero).

Ruídos associados: Além dos fatores de erro da temperatura, já descritos anteriormente, que colocam a precisão do eixo x na faixa de alguns graus (ou então 3 dígitos significativos), temos ainda os erros associados ao eixo y, que dependem: da grandeza medida, magnetização ou suscetibilidade; se a medição é feita direta ou indiretamente (ex.: na nossa balança mais velha, a magnetização é medida detectando a força que a amostra sente ao ser submetida a um gradiente de campo DC); da sensibilidade intrínseca do medidor; da estabilidade dele durante a duração do processo (1 a 2 horas); da perda de massa (geralmente água) durante o aquecimento; de quanto o sensor consegue “chegar perto” da amostra quente (ou gelada); da quantidade de amostra utilizada; da "fraqueza" da própria amostra etc. Repetindo vários ciclos com o equipamento vazio é possível, até certo ponto, isolar os fatores de erro "que dependem do medidor" dos fatores de erro "que dependem da amostra" e assim definir o nível de sensibilidade onde eles se equiparam. Grosso modo, podemos dizer que os sensores associados a sistemas de temperatura são 10 vezes menos precisos (isto é, medem 1 digito significativo a menos) que os seus equivalentes, feitos para temperatura ambiente (trataremos deles mais adiante). Quanto à direcionalidade: mesmo que ambas as grandezas envolvidas sejam escalares (temperatura e intensidade de magnetização, p. ex.), podemos tratar matematicamente o gráfico cartesiano como um espaço bidimensional, onde cada ponto é um vetor. Então, fica possível colocar sobre cada ponto não 2 barras, mas sim uma elipse de erro, cuja tendência é ser mais alongada na direção em que ambas as grandezas (x e y) variam simultaneamente (lembra a covariância estatística, não lembra?), ou seja, ao longo da curva. Para construir essa elipse devemos apenas lembrar que, devido à lentidão do processo de aquecimento, geralmente temos várias medidas para cada ponto efetivamente registrado. Como as medidas associadas a um dado ponto (aquelas que entram no seu cálculo) não são exatamente idênticas, mas sim se distribuem ao longo de um pequeno segmento da curva, temos uma nuvem de dispersão que preserva naturalmente a direcionalidade. Basta então usar a matemática correta (qualquer uma que não jogue a direcionalidade fora!) na hora de calcular as derivadas, para obter os pontos de transição com seus respectivos erros. Note que derivar envolve calcular diferenças (os famosos delta y e delta x), e que mesmo quando subtraímos grandezas os erros sempre se somam. Portanto, o erro da derivada 2ª (onde o processo de derivação ocorre 2 vezes seguidas) tende a ser bem maior que o do próprio gráfico.

Procedimento: Curvas de histerese e remanescência. Trata-se de graficar a magnetização adquirida por uma amostra (eixo y) contra o campo DC aplicado nela (eixo x) para o ciclo: crescimento positivo -> retorno ao zero -> crescimento neegativo -> retorno ao zero -> crescimento positivo -> retorno ao zero deste campo DC. Quando a magnetização é medida indiretamente pelo campo gerado pela amostra, tanto no eixo x como no eixo y temos campos magnéticos. Nesse caso, o truque para separar o campo-resposta do campo DC aplicado (que é ordens de magnitude maior) envolve (1) vibrar (ou rodar) a amostra e (2) usar um sensor para o eixo y que só detecte o campo AC assim produzido. A diferença entre histerese e remanescência está apenas em se a medida de magnetização é feita simultânea (histerese) ou posteriormente (remanescência) à aplicação do campo. Os pontos onde estes 2 gráficos se horizontalizam (saturam) ou então "cortam" os eixos servem para obter os vários parâmetros que caracterizam a mineralogia magnética da amostra. Sobre os pontos de saturação, basta dizer que são obtidos igualzinho às transições da balança (também correspondem a locais de máxima curvatura, ou de derivada 2ª igual a zero). Já os pontos de corte são mais fáceis ainda de obter, pois correspondem aos locais onde o próprio gráfico é zero (não precisa nem derivar). Uma ultima observação: se você está se perguntando se a derivada 1ª serve para alguma coisa, a resposta é sim. Ela mede a suscetibilidade "instantânea", isto é, obtida a cada ponto.

Ruídos associados: Tanto o campo aplicado como a magnetização são vetores. Porém, como estamos trabalhando apenas com suas intensidades (2 grandezas escalares), acabamos caindo numa situação parecida com a da balança de Curie, em termos da análise de erros. (Só no caso excepcional das amostras muito anisotrópicas é que uma variação na "direção" do campo aplicado pode resultar em uma variação mensurável na intensidade da resposta.)

Portanto, todo aquele papo de elipse etc permanece válido aqui, e eu vou mais é aproveitar esse espaço para detalhar outro aspecto do problema: o erro no cálculo dos parâmetros da curva. Se visualizamos o erro como sendo uma "largura" ou "faixa" que circunda o gráfico, tangenciando externamente as suas elipses de erro (uma "curva de deriva grafical"?), temos que no ponto onde o gráfico é zero ocorre uma "secção transversal" ou "corte" desta faixa, feita pelo eixo cartesiano. O erro do parâmetro associado é simplesmente o "tamanho" desse corte (dividido por 2, para ser exato). Esse raciocínio serve tanto para o eixo x como para o eixo y, e tanto para o próprio gráfico como para o gráfico da derivada 2ª.

Procedimento: Medida da suscetibilidade "total". Consiste em medir a suscetibilidade ao longo do eixo do cilindro/amostra (eixo z). Tecnicamente falando, esta não é a suscetibilidade total (por isso as aspas), mas para amostras pouco anisotrópicas a diferença é pouca. Tem 2 funções básicas: (1) se for feita num grupo grande de espécimes de uma dada coleção, serve para dar uma idéia bem rústica da quantidade de material magnético presente e de em quais zonas da coleção ele se concentra; (2) se for feita após cada etapa de desmagnetização térmica, serve para verificar se ocorreu alguma grande alteração química em determinada amostra. Estudos de "proxies" ambientais e climatológicas são exemplos da função 1. Já a função 2, podemos dizer que ela está para a balança de Curie por suscetibilidade assim como a curva de remanescência está para a de histerese.

Ruídos associados: Todos os medidores que usam como princípio físico a variação da indutância de uma bobina (são só desses que nos temos) têm um limite de sensibilidade mais ou menos equivalente, na faixa de 10E-7 [cgs]. Isso pode ser melhorado um pouco aumentando o tempo de medida e/ou preenchendo mais completamente a bobina (usando uma bobina menor ou uma amostra maior). Medidores tipo Kappabridge, que usam o desequilíbrio entre 2 circuitos indutores, são um pouco melhores, atingindo 10E-8 [cgs] (1 dígito significativo a mais). Como os efeitos para- e diamagnéticos são da ordem de 10E-6 ou 10E-7 [cgs], este dígito a mais faz uma grande diferença, embora eu ache que aqueles que dizem que "quem tem um dígito a mais é 10 vezes mais preciso" estejam exagerando um pouco.

Quando cruzamos a macro localização com as medidas tipo "função 1", é tentador querer produzir um mapa de "isosuscetibilidades" para a área que estamos estudando. Entretanto, como trabalhamos com uma malha de pontos muito pouco detalhada (geralmente nos restringimos a seguir as estradas), o mapa não seria representativo da região. O mais correto então é fazer um mapa "puntual", indicando a suscetibilidade apenas nos locais onde ela foi realmente medida. Assim, evitamos de induzir ao erro a pessoa que for utilizar aquele mapa posteriormente.

2.4. Medição do magnetoregistro

A razão de ser do paleomagnetismo (ou pelo menos aquilo que lhe deu o nome) é a magnetização que o campo da Terra, potencializado pela ação de outros fenômenos naturais, deixa registrada nas rochas. Vetorial em sua natureza, ela costuma ter suas partes: (1) modular (aquela que diz qual a intensidade do campo no passado) e (2) direcional (aquela que aponta para algum pólo) analisadas separadamente, muito embora um tratamento unificado possa ser mais vantajoso para ambos os estudos, notadamente nas situações onde temos mais de um mineral "registrante" (quase todas, aliás!).

Procedimento: Medir a paleointensidade. Consiste na remoção de parte da magnetização natural (geralmente através de um aquecimento controlado), colocando-se em seu lugar uma outra, por meio de um campo de intensidade conhecida (aplicado durante um segundo aquecimento). Se não houverem alterações químicas apreciáveis durante o processo, a razão entre as magnetizações removida e adquirida deve ser igual à razão entre os campos antigo e aplicado. Repetindo o processo de remoção e recolocação para várias temperaturas, pode-se plotar a magnetização removida contra a magnetização adquirida num gráfico cartesiano e assim obter a constante multiplicativa que define a razão entre elas. Ela é dada pela inclinação do gráfico (uma reta que passa pela origem) e pode ser obtida por mínimos quadrados.

Ruídos associados: O método dos mínimos quadrados já fornece diretamente o erro (escalar) associado ao calculo da inclinação de uma reta. (O fato desse erro ser um parâmetro extensivamente usado nos estudos de paleointensidade indica que o não-uso da estatística pelo paleomagnetismo advém mais da falta de uma matemática apropriada do que da má-vontade dos paleomagnetistas!) De qualquer modo, o principal fator de erro da paleointensidade não aparece explicitamente no gráfico: é a alteração química provocada pelos sucessivos aquecimentos. Por causa dela é que originalmente se sugeriu o uso das microondas como fonte alternativa de aquecimento, já que elas atingem predominantemente os domínios magnéticos enquanto a matriz não-magnética circundante permanece (relativamente) fria.

Procedimento: Medir o vetor magnetização. Significa obter as 3 componentes dele num dado sistema de coordenadas, que no nosso caso é o sistema de coordenadas da amostra. 3 medidas direcionais ao longo dos 3 eixos cartesianos ortogonais (x, y, z) são o mínimo necessário, mas o normal é trabalharmos com muito mais medidas. Tomadas ao longo de planos (de rotação, ou “spins”) enquanto a amostra gira, essas repetições de medida permitem: (1) atenuar inomogeneidades no registro da amostra e (2) filtrar sinais externos (desde que eles oscilem numa freqüência diferente da freqüência de rotação da amostra. Antigamente, essa filtragem era puramente eletrônica, usando amplificadores acoplados por fase, ou “phase-locked loops”. Hoje ela é feita matematicamente, usando análise de Fourier após a digitalização do sinal). Detalhe: é também para amenizar os sinais externos que a seqüência de rotações e medições se executa quase sempre no interior de blindagens magnéticas. São 2 os tipos de sensores que usamos: (1) os “fluxgates” (eletrônicos, mais rápidos e mais simples, para vulcânicas) e (2) os “squids” (supercondutores, mais sensíveis e mais caros, para sedimentos). (Aceitam-se sugestões para uma versão em português destes 2 nomes.) Ambos medem a magnetização direcionalmente, mas de um modo indireto: detectando o campo magnético produzido pela amostra nas proximidades da própria amostra.

Ruídos associados: Independente do sistema de unidades que se use (por si só motivo de acalorados debates), “squids” do tipo AC (caso do nosso criogênico) possuem 2 dígitos significativos a mais que qualquer “fluxgate”. Os do tipo DC então, dizem que têm 3. Isso não é pouca coisa. Imagine uma imagem de satélite com precisão de 1 metro, e outra com precisão de 1 milímetro. Deu para sentir a diferença? Entretanto, fatores simples como a inomogeneidade, já citada ao lado, podem destruir facilmente esse enorme ganho de sensibilidade. Especificamente para o criogênico, temos os fatores: imprecisão na orientação ou posicionamento dos sensores e/ou do porta-amostra e/ou da amostra; fragilidade das amostras sedimentares; má qualidade nas desmagnetizações associadas (aquelas que se intercalam com as medições); contaminações em geral, inclusive por umidade, fita adesiva etc (na prática, verificamos que é a contaminação do porta-amostra e não o tipo do sensor, AC ou DC, que delimita a sensibilidade máxima que podemos obter). Na condição atual do laboratório, o tratamento que os programas de medida dão ao erro é simplesmente nenhum, no caso dos “fluxgates” (cabe ao usuário verificar se as repetições das medidas estão coerentes entre si), e se resume apenas a registrar um parâmetro obscuro de alguns por cento (sem explicar de onde ele vem), no caso do criogênico. Mas agora, falemos da direcionalidade. Não é só porque a grandeza é direcional que o erro também tem que ser. Entretanto, este é o caso aqui, onde todas as fases do processo de medida são direcionais. (Note que além dos sensores serem direcionais, a representação matemática de um “spin” também é um vetor, normal ao plano de rotação e de sentido dado pela “regra da mão direita”.) Ao posicionar a amostra para medir (e também ao girá-la) temos os seguintes erros direcionais: o eterno problema da simetria do cilindro-amostra no plano xy, um pouco piorado pela possibilidade da amostra deslizar ao longo desse plano enquanto gira; incerteza na inclinação das faces z (“tampas”) do espécime, outro fator para aumentar ainda mais o erro em xy (pois nos “fluxgates” é nas faces z que o cilindro-amostra se apóia, quando gira em xy); presença de zonas de baixa “qualidade direcional” do resultado, por causa da falta de homogeneidade esférica na escolha da distribuição das medições direcionais (a escolha dita “natural” dos planos coordenados da amostra: xy, yz e zx como planos de rotação gera uma ausência de medidas “fora” deles). A incapacidade (extremamente direcional, diga-se de passagem) do crigênico em medir +z e -z, apesar de já citada anteriormente, também merece registro aqui. Indo um pouco contra a tendência de pior qualidade em xy, ela tem o efeito colateral “benéfico” de homogeneizar direcionalmente os erros do criogênico. Só que isso é feito da pior maneira: deteriorando a precisão de um eixo que era originariamente melhor definido que os outros.

2.5. Manipulação do magnetoregistro

A gente achou a localização do ponto (e estimou os erros), determinou a orientação da amostra (e estimou os erros), fez a marcação das amostras (e estimou os erros), aplicou tratamentos nos espécimes (e estimou os erros), mediu o magnetoregistro de cada espécime (e estimou os erros). Depois de tanto trabalho, alguma hora a gente teria que juntar toda essa informação e usar para alguma coisa. É agora.

Procedimento: Achar as direções de magnetização. Antes de descrever o procedimento, vale uma explicação: depois de executar uma seqüência de, digamos, 10 ou 20 etapas desmagnetização/medição sobre uma amostra, acabamos com um conjunto de 10 ou 20 vetores, que registram a magnetização que foi sobrando após cada uma dessas etapas. A diferença (vetorial) entre 2 vetores seguidos indica a magnetização efetivamente removida pela etapa que existe entre eles. Pois bem: se colocarmos esses vetores-diferença um atrás do outro, formando uma linha poligonal (em 3 dimensões, ou 3D para os íntimos), então achar as direções de magnetização consiste simplesmente em: (1) encontrar os trechos da linha poligonal onde existe um grupo de vetores que “aponta” para o mesmo lado e (2) calcular a direção média indicada por cada um desses grupos. Que eu saiba, existem 2 maneiras matematicamente diferentes para se calcular essa média. A 1ª, mais ortodoxa, é: (1) somar vetorialmente (ou “versorialmente”) os vetores-diferença selecionados; (2) dividir por N (pelo número de vetores) e (3) usar as fórmulas de Fisher para calcular o erro (escalar!) associado. A 2ª não é usada em todo o seu potencial, mas gerou uma variante que o nosso “Paleo” adotou. Consiste em: (1) tratar cada vértice do trecho poligonal como uma partícula, de forma a aplicar o “método da componente principal” (que usa autovalores e autovetores) para encontrar o elipsóide que representa (mais precisamente, ortogonaliza) a “nuvem de dispersão” formada por essas partículas; (2) usar o eixo maior do elipsóide (dividido por N) para dar a direção média e (3) usar os outros 2 eixos (menor e intermediário) para dar o erro (direcional!) associado. Tristemente, a variante que nós usamos despreza a direcionalidade do erro, e usa os 2 eixos menores do elipsóide para “simular” um parâmetro escalar, semelhante ao do Fisher. (Para os curiosos: a 2ª maneira foi “emprestada” da mecânica clássica, e corresponde a calcular o momento de inércia de um conjunto de partículas. O emprestador foi um tal de Kirshvink, que é também o “culpado” por jogar a direcionalidade do erro fora. De medo que os “fisherianos” ficassem muito bravos, com certeza!)

Ruídos associados: O relacionamento deste procedimento com os erros é variado. Alguns erros ele “passa adiante”, por trabalhar em coordenadas de amostra, para os procedimentos seguintes (erros de orientação, de marcação etc); outros ele minimiza, já que faz uma média (erros de tratamento e de medição) e outros ainda ele produz, geralmente “de parceria” com o usuário (incluindo/excluindo erradamente um vetor-diferença da média, ou “inventando” uma direção que não existe, por exemplo). Parodiando um pouco aquela história dos aparelhos de: “ruídos que recebe / ruídos que produz”: Ruídos que recebe: por trabalhar com vetores-diferença, os erros com que trabalha são aproximadamente 2 vezes maiores (“o erro da diferença é a soma dos erros”) do que os erros de medida; mesmo que por alguma “mágica” a direção obtida pareça perfeita (erro de 0.01 grau, por exemplo), o erro de medida continua sendo um limitante inferior para o ruído mínimo que podemos obter; como achar direções se trata essencialmente de um processo de escolha, visualizar o ruído de medida como uma nuvem ao redor de cada partícula ajudaria a definir até que ponto uma dada partícula deve “entrar” na média; a mesma visualização também permitiria saber o quanto uma direção é significativa, ao indicar quanto do “zig-zag” da poligonal é culpa do magnetômetro utilizado e/ou das características da amostra. Ruídos que produz: Além dos problemas de má escolha já citados, temos: o erro do cálculo matemático da média que, como foi dito ao lado, pode ser obtido de 2 maneiras matematicamente diferentes; a possibilidade desse erro ser direcional, que é abandonada “a priori” tanto por Fisher como por Kirshvink como por (ai, ai, ai!) nós mesmos; o erro comprovadamente direcional da simetria cilíndrica da amostra, alinhado com o plano xy; o erro também comprovadamente direcional da “contaminação” de uma direção pela outra (que é alinhado com o plano que contém as 2 direções envolvidas, e que em casos extremos torna até impossível separar as 2 direções, nos obrigando a trabalhar com “planos de desmagnetização”), seja por terem sido feitas poucas etapas, seja por características da própria amostra; o erro associado ao “tamanho” da média, se se optar por trabalhar com intensidades.

Obs.: Uma maneira coerente de se propagar tanto os erros dos procedimentos anteriores como os próprios erros deste procedimento para o seguinte é substituir cada partícula por um conjunto de partículas, de modo que a dispersão interna a esse conjunto represente significativamente tanto o tamanho quanto a direcionalidade dos erros anteriores da partícula mãe. No caso de uma nuvem de dispersão elipsoidal, um conjunto de 6 partículas (2 para cada eixo) é uma boa escolha.

Procedimento: Fazer a média das direções de magnetização. É matematicamente equivalente ao procedimento anterior, com as ressalvas de que: (1) deve ser precedido pela colocação de todas as direções em coordenadas do local (uma vez que elas estão em coordenadas da amostra); (2) opera-se quase sempre com versores, para evitar que as amostras mais fortes “puxem” a média para si; (3) algumas vezes se trabalha em 2 estágios, fazendo primeiro a média por ponto e depois a média destas médias por sítio, para evitar que pontos mais “populosos” também predominem na média.

Ruídos associados: Se incluirmos os erros de marcação e orientação que foram “passados adiante” no procedimento passado, e excluirmos o item sobre “contaminação”, toda a discussão anterior continua válida. Inclusive a sugestão de se substituir cada partícula (agora uma direção) por um conjunto representativo de partículas. Mas se aqui (como lá também) a parte “tamanho” realmente não for utilizada, podemos simplificar um pouco o problema, indo das 3D cartesianas para apenas 2 dimensões angulares (declinação e inclinação), onde uma elipse é suficiente para representar toda a dispersão e apenas 4 partículas por conjunto são necessárias.

Procedimento: Calcular o pólo paleomagnético. Consiste na transformação das médias do procedimento anterior (dadas em coordenadas locais) em pólos (dados em coordenadas geocêntricas), através de uma transformação trigonométrica não-linear onde entra a participação da localização dos sítios (também dada em coordenadas geocêntricas).

Ruídos associados: Os últimos erros que faltavam, os de localização, finalmente entram em jogo aqui. Mas como a localização é ordens de magnitude mais bem definida que a média, eles pouco influem no resultado final. Sobre a direcionalidade dos erros: como se trata de uma transformação não-linear, ficamos com a desconfortável situação de que o pólo da média das 4 partículas-angulares não é mais igual à média dos pólos produzidos por cada uma delas. Noutras palavras, a elipse de erro, além de deformada, também fica deslocada. Mesmo assim ainda é um indicador de erro bem melhor do que os infames “dp” e “dm”, que foram criados apenas para tentar salvar as aparências, uma vez que a fraqueza escondida na simetria radial do erro escalar “fisheriano” fica gritante quando se passa de média para pólo (se a dispersão das médias é circular, a dos pólos obrigatoriamente não pode ser).

2.6. Estudos magnetoestruturais

Já enfocamos os minerais magnéticos de 2 ângulos diferentes: através de suas características químicas (essencialmente escalares) e através do registro magnético presente neles (essencialmente vetorial). Existe ainda um 3° aspecto a considerar, independente dos outros 2, e que se refere às inomogeneidades direcionais que podem possuir as propriedades (magnéticas) desses minerais. São as famosas anisotropias de suscetibilidade e remanescência (magnetização). Da mesma forma que a direcionalidade de uma grandeza pode ser representada por um vetor, a inomogeneidade direcional de uma grandeza pode ser representada por um tensor. Soa complicado? Não é não, ainda mais se imitarmos o que fazemos com os vetores (onde usamos “flechas”) e trabalharmos usando a representação gráfica dos tensores. Você pode não saber, mas até já conhece a representação gráfica de um tensor: nossos famosos “kibes” e “hambúrgueres”, os elipsóides! (Aliás, se você acha que eu estou sugerindo usar tensores para representar a direcionalidade dos erros, acertou em cheio.)

Procedimento: Observar as estruturas no campo. Trata-se de usar quase as mesmas táticas da micro localização e da orientação (visadas com a bússola, ângulo com a horizontal etc) com a finalidade de obter a orientação (eixos do elipsóide) de: camadas sedimentares, “sills” e diques intrusivos (os 3 tipo “hambúrguer”), fluxos magmáticos, eixos de dobramentos e lineações graníticas (estes 3 tipo “kibe”), ou enfim qualquer outro efeito visível que possa ter afetado estruturalmente os minerais (magnéticos). A idéia é ter um ponto de comparação com a informação magnética, embora eu possa adiantar que as anisotropias magnéticas dão indicações muito mais precisas sobre essas estruturas, notadamente quando elas são “invisíveis” no campo.

Ruídos associados: Evitando repetir o que foi dito na micro localização e na orientação (e que continua valendo aqui), posso dizer que os erros: (1) também têm direcionalidade preferencialmente horizontal; (2) são de ordem bem maior que grau, variando com a “visibilidade” da estrutura; (3) vão ser os grandes responsáveis por dizer se existe diferença “significativa” entre os dados de campo e os dados magnéticos. E como aqui a informação sobre “tamanho” não interessa (mas apenas as “direções” dos eixos do elipsóide), a visualização dos erros pode ser feita simplesmente através de elipses (aliás tensores em 2D, sabia?). Elas são suficientes para indicar a forma da “nuvem de dispersão” ao redor de cada “ponta de eixo” do elipsóide.

Procedimento: Medir o tensor de anisotropia. Consiste em obter os 6 elementos da matriz simétrica 3x3, que descreve o tensor no sistema de coordenadas da amostra. São necessárias pelo menos 6 medidas direcionais, mas a estratégia dos “spins” também pode e deve ser utilizada aqui, e pelas mesmas razões dadas na medida do vetor magnetização: (1) eliminar inomogeneidades e (2) permitir “filtragem” de Fourier. O sensor utilizado depende da grandeza (suscetibilidade ou remanescência) cuja inomogeneidade direcional queremos investigar, mas é essencialmente o mesmo que se usa para medir a própria grandeza. Terminadas as medidas, é necessário apenas um passo a mais para se encontrar a direção dos eixos (máximo, intermediário e mínimo, ou simplesmente 1, 2 e 3) do elipsóide: usar o “método da componente principal”, ou seja, calcular os autovalores e autovetores da matriz. (Isso está começando a ficar matematicamente um pouco repetitivo, você não acha?) A relação entre os tamanhos dos eixos, então, é o que vai classificar os elipsóides em: (1) prolato (“kibe”), que tem os eixos 2 e 3 quase do mesmo tamanho (intercambiáveis); (2) oblato (“hambúrguer”), que intercambia os eixos 1 e 2; (3) isotrópico (“almôndega”?), que intercambia os três e (4) tri-axial (“bolo de carne”?), que não intercambia nenhum. Para finalizar, 2 diferenças importantes entre as anisotropias: (1) a de suscetibilidade se assemelha à curva de histerese, por trabalhar “com campo aplicado” (isto é, recebendo contribuição inclusive dos minerais sem “memória” magnética) enquanto que a de remanescência é mais parecida com a curva de remanescência, por trabalhar “depois da aplicação do campo” e portanto detectar apenas a resposta que “sobra” (isto é, a dos minerais verdadeiramente magnéticos); (2) a de remanescência envolve a aplicação de um tratamento direcional (uma “injeção”, que pode ser: só DC, DC+AC, DC+temperatura etc) intercalado entre as medições, enquanto que a de suscetibilidade pode ser medida de uma só vez, sem interrupções.

Ruídos associados: Diferentemente das magnetizações, onde uma melhora nas técnicas de orientação, na qualidade dos sensores etc podem reduzir cada vez mais o erro, aqui existem grupos de direções (ou planos) “inerentemente errados”, ou seja, zonas onde mesmo trabalhando com grande precisão e sensibilidade o erro continua grande. Longe de refletir uma “ruindade” da amostra, a presença dessas zonas apenas indica que temos locais onde a propriedade investigada não varia (é isotrópica). Entretanto, este fato traz implicações muito importantes para o estudo dos ruídos: nos tensores, o erro está tão “entrameado” com a própria grandeza que simplesmente não pode ser desprezado (como estamos acostumados a fazer); como as zonas de erro são geralmente muito alongadas, o erro circular “fisheriano” não chega nem perto de ser representativo (podemos dizer que nessas situações o erro circular está “redondamente” enganado); e já que a amplitude dessas zonas atinge facilmente dezenas de graus de erro, as aproximações “para pequenos ângulos” dos “fisherianos” também não são sempre válidas (aliás, o pessoal tcheco teve um trabalhão para retraçar nos tensores os passos que o Fisher deu quando estudou vetores, só para concluir que as aproximações diferenciais que ele usou não permitem ser generalizadas!). Além dessas considerações, e daquelas já feitas sobre “spins” na medição da magnetização (direcionalidade, “zonas pobres” etc), vale ainda destacar que: alguns sensores (de anisotropia de suscetibilidade) medem apenas variações, necessitando que se some manualmente a suscetibilidade “bruta”, o que se por um lado aumenta a sensibilidade por outro gera um erro adicional; muito cuidado e repetições são necessários para distinguir um desvio causado na remanescência pela própria anisotropia da amostra de outro causado por uma “injeção torta”; o efeito espúrio do “giromagnetismo” adquirido durante as injeções de remanescência AC+DC só pode ser corretamente estimado fazendo uma “injeção” só AC na mesma amostra; as injeções que envolvem temperatura demandam cuidado dobrado com as alterações químicas que podem ocorrer “entre” as medições (não coloca esse tipo de procedimento também como um grande candidato ao microondas?). Outra coisa: note que a anisotropia de remanescência demanda que se posicione a amostra 2 vezes: 1 para o tratamento e 1 para a medição. Isso quer dizer que o erro de posicionamento praticamente dobra, além de também ser duplamente afetado, em sua direcionalidade, pela simetria do cilindro-amostra (é a “síndrome do plano xy” em dose dupla!).

Procedimento: Fazer a média das anisotropias por sítio. Consiste simplesmente em somar (matricialmente) os tensores, dividindo o resultado pelo número de tensores (N). Da mesma forma que na média de direções, não devemos esquecer que antes desse cálculo todos os tensores costumam ser: (1) normalizados, isto é, divididos pela respectiva suscetibilidade média e (2) rotacionados dos diferentes sistemas de coordenadas das amostras para o sistema de coordenadas local (único).

Ruídos associados: Se optarmos por propagar os erros dos procedimentos anteriores, não podemos esquecer que além dos erros de medida obtidos acima ainda existem os erros de correção (do sistema de coordenadas da amostra para o sistema de coordenadas local). Se no entanto optarmos por desprezar os erros anteriores (que é o procedimento usado atualmente), então o erro vai ser dado apenas pela dispersão intrínseca da média, e nada mais.

Foi pelo papel de destaque do ruído nas anisotropias que eu escolhi o “software” do anisotropímetro MINISEP como protótipo para os meus estudos de erro. Na verdade, talvez o mais apropriado seja dizer que foi ele (o papel de destaque) que me forçou a estudá-los (os erros). De qualquer modo, todos os outros estudos de ruído são um pouco conseqüência das questões levantadas (e da prática obtida) durante o desenvolvimento deste “software”. É uma prova de que, quando se pesa os resultados a longo prazo, fazer em casa é sempre melhor do que comprar pronto. Principalmente ciência.

Para concluir, gostaria de me desculpar pela demora deste meu seminário para sair. Afora o fato de que escrever em “MSWord” ® não é tão divertido quanto em HTML (caso do seminário anterior), a verdade é que neste aqui eu exagerei um pouco no tamanho. Quando me ocorreu de enviar só a 1ª parte, enquanto eu terminava mais sossegado a 2ª, o “benedito” já estava quase no fim e não valia mais a pena. Mas o próximo eu prometo que vai ser menor. Já quanto a ser mais rápido...

Roberto.