REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUEALA

         UNIVERSIDAD DE YACAMBUL

            ESTUDIOS VIRTUALES

TRABAJO 5

CALCULO DIFERENCIAL

Alumna: Laila Magledy Rincón Carvajal

                                                                       C.I: 10.851.614

                                                                      Corte: acp0081

                                                                  JUNIO 2008

INTRODUCCION

Este trabajó trata sobre el concepto de funciones, derivadas, funciones crecientes y decrecientes y su aplicación en la administración y la vida diaria lo que nos permitirá, determinar que importante es el manejo de los conceptos de los mencionados y el uso en la práctica.

La noción de derivada permite hallar soluciones a problemas, como determinar la ecuación de las rectas tangentes a una curva dada, determinar valores extremos (máximos ó mínimos) de la función, encontrar utilidades marginales, etc. La derivada expresa la variación de las funciones entre dos puntos muy cercanos y se aplica a situaciones como las que recién mencionamos.

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y se representa por Dom (f).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variable independiente.

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y, y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im (f)) o recorrido de la función (f (D)).

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p.

La definición formal, hecha a finales del siglo XIX se muestra a continuación.

Para una generalización del concepto de límite, véase "topología de red".

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x-p| < δ, tenemos que

$| f (x) - L | < ε$

El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

Supóngase f: (M, d_M) -> (N, d_N) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos

$\lim_{x \to p}f(x) = L$

Si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, p) < δ, tenemos d_N(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:

si 0 < | x - a | < δ , entonces | f (x) - L | < ε

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:

x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues

0 < | x - a | implica x distinto de a,

Mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:

y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon.

Funciones de valor Real

La recta Real con métrico $d (x, y): = | x - y |$ es un espacio métrico. También la línea Real extendida con métrica $d (x, y) = | arctan (x) - arctan (y) |$ es un espacio métrico.

Límite de una función en un punto

Sea f una función Real, entonces

$\lim_{x \to p}f(x) = L$ (donde $x\in\overline{\mathbb{R}}$ y L es un número real)

si y sólo si

Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x-p| < δ, tenemos que |f(x)-L| < ε

Con símbolos: $\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0}\forall_{x\in\mathbb{D}}\ 0< |x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|< \varepsilon$

Ejemplo

Dado $\lim_{x \to p}2x$ calcúlese su límite únicamente en base a la definición.

Supóngase que el límite buscado existe y que es L, entonces por definición:

$0< |x-p|<\delta \Rightarrow |2x-L|< \varepsilon$

Dividiendo la segunda expresión por 2 tenemos:

$0< |x-p|<\delta \Rightarrow |x-\frac{L}{2}|< \frac{\varepsilon}{2}$

Luego entonces con $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$ existirá el límite por lo que:

$p=\frac{L}{2}, L=2p$

Así tenemos que:

$\lim_{x \to p}2x = 2p$

Con un análisis igual para f(x)=kx se comprueba que:

$\lim_{x \to p}kx = kp$

Refiriéndonos a los limites infinitos, hay que tener en cuenta lo siguiente: Ya sea por la izquierda o derecha, los limites que tienden a 0,y no necesariamente al -infinito o al +infinito, se toma en cuenta el signo de la izquierda(negativo) o en su defecto derecha(positivo) para tomar en cuenta el resultado del infinito o la tendencia a un número en especial. Todo depende del sig.

ASÍNTOTAS

Dado un punto en el plano de coordenadas (x,y), su distancia al origen de coordenadas viene dado, sin más que aplicar el teorema de Pitágoras, por

Si x o y o ambos a la vez se hacen muy grandes, el número se hace también muy grande. Dicho en términos más precisos, si x o y o ambos tienden a infinito, tiende a infinito, lo cual indica que la distancia de dicho punto al origen de coordenadas se hace infinito.

Definición:

Una curva tiene como asíntota una recta, si la distancia de un punto P de la curva a la recta tiende a cero cuando el punto P se aleja indefinidamente del origen de coordenadas recorriendo la curva. En otros términos, puede decirse que una asíntota es una tangente a la curva en el infinito.

Asíntotas paralelas al eje Y o verticales

 Determinación de asíntotas paralelas al eje Y

Se determinan igualando el denominador de la función a cero y resolviendo la ecuación.

Si la función no viene expresada mediante una fracción, hay que estudiar cuándo

Asíntotas paralelas al eje X u horizontales

Asíntotas generales u oblicuas

Son aquellas asíntotas que no son paralelas a ninguno de los ejes.

Aunque no se justificará el cálculo, la ecuación de una asíntota oblicua se obtiene como sigue:

Si la ecuación de una asíntota oblicua es y = mx + b,

Si m = 0, la asíntota resulta ser una asíntota horizontal.

Ejercicio:

Resolución:

 Se iguala el denominador a cero:

Por tanto, cuando x es positivo y tiende a + o es negativo y tiende a -, la ordenada

DERIVADAS

El concepto de derivada está intimamamente ligado al del límite.

Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a, b) y (a', b’):

El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta, y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal.

Si tenemos una función f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos) :

Por lo tanto tendremos que:

Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por :

Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)

La ecuación de la recta tangente vendrá dada por:

Donde la pendiente es:

Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto:

¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto?

Puesto que la derivada es un límite, lo que tenemos que hacer es calcularlo. Veamos un ejemplo sencillo:

Sea la función f(x) = x² vamos a calcular su derivada en el punto x₀= 3

Si sustituimos el punto x₀= 1 obtendremos que:

f '(1) = 2 · 1 = 2

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2.

Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente, es decir, al aumentar la x aumenta la y.

¿Para que se puede utilizar el concepto de derivada?

Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x₀= -1 obtendremos que

f '(-1) = 2 · (-1) = -2

En este caso la pendiente es negativa por lo que la función en este punto es decreciente.

Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera, vemos que si x₀ es positivo, la derivada f '(x₀)es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x₀es negativo la derivada f '(x₀)es negativa y por lo tanto la función es decreciente.

¿Qué ocurre en el punto x₀=0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha.

Conclusión: la derivada nos puede servir para estudiar las funciones.

TABLA DE DERIVADAS

En la práctica el cálculo de derivadas no se hace a partir de los límites ya que sería muy engorroso. Lo que se suele hacer es utilizar una tabla de derivadas, deducidas con anterioridad mediante la regla de los 4 pasos, que es un conjunto de reglas que nos salva de tener que calcular los límites.

Derivadas de las funciones elementales:

y	y'	y	y'
k	0
x	1
xⁿ	nx^n-1	uⁿ	nu^n-1u'
a^x	a^xlna	a^u	a^u·lna·u'
e^x	e^x	e^u	e^u·u'
u^v	v·u^v-1·u'+u^v·lnu·v'


log_ax		log_au
lnx		lnu
senx	cosx	senu	cosu·u'
cosx	-senx	cosu	-senu·u'
tgx		tgu
cotgx		cotgu
secx		secu
cosecx		cosecu
arc senx		arc senu
arc cosx		arc cosu
arc tgx		arc tgu
arc cotgx		arc cotgu
arc secx		arc secu
arc cosecx		arc cosecu

Operaciones con derivadas: se deducen a partir de la definición de límite y derivada.

(f+g) ' = f ' + g '

(f·g) ' = f '·g + f·g '

(k·f)' = k·f '

[g(f(x))]' = g'(f(x))·f '(x)

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

 Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁y x₂, con la condición x₁  x₂, se verifica que

f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

 Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁y x₂, que cumplan x₁  x₂, entonces f(x₁ )  f(x₂ ).

Siempre que de x₁< x₂se deduzca f(x₁) > f(x₂), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

 Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x)  f(a) si x pertenece a (a - , a) y

f(x)  f(a) si x pertenece a (a, a + ).

 Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - , a + ) en el que

f(x)  f(a) si x pertenece a (a - , a) y

f(x)  f(a) si x pertenece a (a, a + ).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo por < y el  por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x² en los puntos

Resolución:

 La función y = x² es estrictamente creciente en el intervalo [0, +) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x₃ < x₄  x₃² > x₄²(por ejemplo, -7 < -3 y (-7)² > (-3)²). Es estrictamente decreciente en x = 0.

 Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a - , a + ) en el que f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a - , a + ). El máximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva.

La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b - , b + ) en el que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente a (b - , b + ). El mínimo es entonces el punto (b, f(b)) de la curva.

A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos.

Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo.

Consecuencias

1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados.

En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0º) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo.

2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0.

No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro.

Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da.

Así, en el punto (a,f(a)) hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f'(a).

Ejercicio: determinación de posibles puntos extremos

 ¿Qué puntos de la función f(x) = 2x²- 3 pueden ser extremos relativos?

Resolución:

Los posibles extremos relativos de la función f(x) = 2x²- 3 se obtienen al resolver la ecuación

f'(x) = 2 · 2x = 0, de donde necesariamente x = 0

Aún así no se puede asegurar si en este punto hay máximo, mínimo o ni lo uno ni lo otro. Desde luego, si hay extremo relativo éste se encuentra en el punto de abscisa x = 0 que corresponde al punto (0,- 3).

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

Cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función:

En los puntos en los que una función es creciente, la derivada de la función es positiva, y en los puntos es los que la función es decreciente, la derivada es negativa.

Para calcular los intervalos en los que la función es creciente o decreciente, se deriva la función y iguala a cero. Los valores que nos salgan solución de esta ecuación son los puntos singulares.

Una vez calculados los puntos singulares, se estudia la función derivada a la izquierda y derecha de ellos.

Cálculo de puntos extremos: Máximos y Mínimos. Con los datos obtenidos al calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, deducimos si existen puntos máximos o mínimos.

Si a la izquierda de un punto singular la función decrece y a la derecha crece, entonces el punto es un mínimo.

Si a la izquierda de un punto singular la función crece y a la derecha decrece, entonces el punto es un máximo.

Ej. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y los mínimos de:

Derivadas sucesivas

Dada una función, podemos calcular su derivada primera, segunda, tercera, etc. hasta que lleguemos a que una de ellas es 0.

Cálculo de intervalos de concavidad y convexidad de una función

En los puntos en los que una función es cóncava (o de pendiente cada vez mayor), la derivada segunda de la función es positiva, y en los puntos es los que la función es convexa (o de pendiente cada vez menor), la derivada es negativa.

Para calcular los intervalos en los que la función es cóncava o convexa, se realiza la segunda derivada de la función y iguala a cero. Los valores que nos salgan solución de esta ecuación son los posibles puntos de inflexión.

Una vez calculados estos puntos, se estudia la función derivada segunda a la izquierda y derecha de ellos.

Cálculo de puntos de inflexión

Con los datos obtenidos al calcular los intervalos de concavidad y convexidad, deducimos si existen puntos de inflexión.

Si a la izquierda de un punto la función es cóncava y a la derecha es convexa, o viceversa, entonces el punto es un punto de inflexión.

Ej. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y los mínimos de:

Recta tangente a la función en un punto

Derivada: pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.

Mediante la derivada de una función en un punto y las coordenadas de la función en ese punto, podemos calcular la ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto.

Recta normal a la función en un punto

Calculando la pendiente de la función en un punto, podemos calcular el vector director de la recta tangente a la curva en ese punto. A partir de este vector director podemos calcular la ecuación de la recta normal a esta:

FUNCIONES MONÓTONAS.

Consideremos la gráfica de abajo en la que se tiene el recorrido de un ciclista en una carrera; en ella se observan desniveles en el recorrido, se tiene un primer trozo en el que el ciclista sube,

después baja y por último sube otra vez hasta llegar a la meta. Pretendemos formalizar el concepto "subir" en la gráfica de una función, para ello tomemos dos puntos x e y del eje X y obtengamos sus asociados del eje Y, se observa que si x<y entonces se tendrá que f(x)<f(y).

Si por el contrario tomamos dos puntos del eje X en los que la función "baja" con x<y y obtenemos sus asociados del eje Y, se tiene que debido a la bajada f(x) tiene que ser mayor que f(y).

Formalicemos los conceptos anteriores y tenemos:

Definición 1.-

Sea un intervalo y sea f una función con dominio I. Entonces:

Decimos que f es creciente en I si x, y I, tales que x<y se tiene que f(x) f(y)
Decimos que f es decreciente en I si x, y I tales que x<y se tiene que f(y) f(x)

Si una función es creciente o decreciente diremos que es monótona.

Decimos que f es estrictamente creciente en I si x,y I tales que x<y se tiene que f(x)<f(y)

Decimos que f es estrictamente decreciente en I si x,y I tales que x<y se tiene que f(y)<f(x)

Si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente diremos que es estrictamente monótona.

DETERMINACIÓN DE LOS INTERVALOS DE MONOTONÍA.

La determinación del crecimiento y decrecimiento de una función es en general una tarea bastante difícil, veamos si las derivadas nos pueden ayudar. Observemos la gráfica de abajo, en ella tenemos una función creciente y se han trazado varias rectas tangentes en distintos puntos, los ángulos que forman todas estas tangentes son siempre ángulos cuyas medidas están comprendidas entre 01 y 901 y por tanto su tangente siempre es positiva, tendremos entonces que siempre que la función sea creciente la derivada tiene signo positivo o es cero (véase la gráfica del apartado 7).

Por otro lado sea ahora la gráfica de otra función decreciente, se tiene entonces que todas las tangentes trazadas a dicha gráfica forman siempre ángulos comprendidos entre 901 y 1801 y por tanto la derivada en esos puntos será siempre negativa, es decir, si la función es decreciente la derivada tiene que tener signo negativo o ser cero.

Como consecuencia inmediata tenemos entonces el:

Teorema 1.-

Sea f una función definida en un intervalo entonces:

a) Si f es creciente entonces 0f'.

b) Si f es decreciente entonces f'0.

Teorema 2.-

a) Si f'>0 entonces f es estrictamente creciente.

b) Si f'<0 entonces f es estrictamente decreciente.

Dem.

a) Si f fuese estrictamente decreciente, por el teorema 1 se tendría que 0f' y esto no puede ser. Si f fuese constante entonces f'=0, que tampoco puede ser; por tanto la única opción posible es que f sea estrictamente creciente.

b) Si f fuese creciente aplicando el teorema 1 se tendría que f'0 y esto es una contradicción; si f fuese constante entonces f'=0 y como por hipótesis f'<0 la única posibilidad que queda es que f sea estrictamente decreciente.

Como consecuencia del teorema anterior tenemos que para determinar los intervalos en que la función es creciente o decreciente tenemos que estudiar el signo de la primera derivada. Para ello:

a) se obtiene la primera derivada de f(x) y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a cero

b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por extremos los ceros de la primera derivada, los puntos donde la función no es derivable y los puntos de acumulación del dominio de definición de la función que no pertenecen al dominio

c) posteriormente se estudia el signo de la primera derivada en cada uno de esos intervalos (en esos intervalos el signo de la primera derivada es siempre el mismo)

d) en donde tenga signo positivo la función es estrictamente creciente y donde tenga signo negativo la función es estrictamente decreciente.

Por ejemplo, supongamos que Dom (f)=R-{b}, que a y c son ceros de la primera derivada, que en d la función es continua y no derivable y que a<b<c<d.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

Sea ahora la gráfica de al lado, en ella se pueden observar una serie de puntos donde nuestro ciclista pasa de "subir" a "bajar" o bien de "bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la cima de una montaña o bien donde se encuentra en el punto más bajo del recorrido. Tiene por tanto sentido que intentemos clasificar también dichos puntos y que a los puntos donde se alcanzan las cimas los llamemos máximos y a los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos mínimos. Observar que en un máximo que no esté en los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente y que en los mínimos que no están en los extremos la función tiene que pasar de ser decreciente a ser creciente.

Definición 2.-

Sea a un punto del dominio de definición de f, diremos que en a se alcanza:

a) un máximo relativo si

b) un máximo absoluto si

c) un mínimo relativo si

d) un mínimo absoluto si

Determinación de máximos y mínimos. Problemas de optimización.

Veamos qué ocurre con la recta tangente a la gráfica de una función tanto en los máximos relativos como en los mínimos relativos, siempre tiene que ser paralela al eje X, y por tanto el ángulo que forma con dicho eje tiene que ser siempre cero. Como la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto, en los extremos relativos la derivada de la función tiene que ser siempre cero.

Teorema 3.-

Sea a un punto donde f es derivable, entonces, si a es un extremo relativo se tiene que f'(a)=0.
A éste mismo resultado se puede llegar teniendo en cuenta que en un extremo relativo la función tiene que cambiar el sentido del crecimiento y aplicando el teorema 1 se tiene que f'(a)=0.
Observar que si f'(a)=0 no quiere decir que se tenga en a un extremo relativo (véase la gráfica del apartado 7)
Para determinar los máximos y mínimos relativos existen dos métodos:

    A) Se obtienen los intervalos de monotonía y se estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. Si en uno de esos intervalos la función es creciente y en el siguiente decreciente, siendo el extremo común de los intervalos un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tenemos un máximo; si la función es decreciente y en el siguiente intervalo es creciente, siendo el extremo común del intervalo un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tenemos un mínimo.
    Los puntos en los que la función no sea continua tendremos que estudiarlos aparte.
    Si nos fijamos en el ejemplo del apartado 2 se tendría entonces que en (a, f(a)) y en (c, f(c)) hay un mínimo y que en (d, f (d)) hay un máximo.

B) El segundo método se basa en el hecho siguiente: supongamos que f'(a)=0 y que f''(a)<0, entonces por el teorema 2 se tiene que f' es estrictamente decreciente en un intervalo centrado en a y por tanto si x es punto de ese intervalo menor que a, como f'(a)=0 se tendrá que f'(x)>f'(a)=0 y por tanto la función para puntos menores que a es creciente; por otro lado si x es un punto de ese intervalo con x mayor que a, como f'(a)=0 y f'es decreciente se tiene que f'(x)<f'(a)=0 y por tanto para puntos mayores que a la función f es decreciente. Uniendo los dos resultados anteriores se tiene que en a la función tiene que tener un máximo. Razonando de forma similar en el caso de que f'(a)=0 y f''(a)>0 se tiene que en a hay un mínimo (Realizar el razonamiento como ejercicio). Se tiene entonces el:

Teorema 4.-

1) Sea a un punto donde f es derivable con f'(a)=0 y f''(a) <0, entonces en a hay un máximo relativo.

2) Sea a un punto donde f es derivable con f'(a)=0 y f''(a)>0, entonces en a hay un mínimo relativo.

Por tanto, para determinar los extremos relativos se calcula la segunda derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado tiene signo positivo se tiene un mínimo; si tiene signo negativo un máximo. Si el resultado sale cero no podemos afirmar nada y tendríamos que recurrir a la derivada tercera, si evaluando la derivada sale distinto de cero no es un extremo relativo, si por el contrario sale cero tendríamos que recurrir a la cuarta derivada y realizar el mismo proceso que con la segunda y así sucesivamente hasta que logremos clasificar ese punto.

En general en los problemas de optimización (problemas en los que se trata de hallar los máximos o mínimos de una función, los veremos sólo con ejercicios) se utiliza el método B) mientras que en la representación gráfica de funciones se utiliza el A).

APLICACIÓN EN LA ADMINISTRACION

Muchos problemas relacionados con la administración, la economía y las ciencias afines, además de la vida real, requieren la utilización de funciones lineales y otros tipos de funciones para su modelamiento, su comprensión, y fundamentalmente para la toma de decisiones.

En muchas ocasiones, la sola comparación entre las funciones tipo y el comportamiento de las variables en un problema administrativo, económico o similar permite obtener los modelos más apropiados.

El crecimiento poblacional, la propagación de una epidemia y las áreas afectadas por un derrame petrolero contaminante en el mar crecen aproximadamente como lo hacen las funciones exponenciales de potencia positiva. Un producto de reciente introducción, al inicio, incrementa su mercado también en forma similar. El impacto sobre la economía de un país de un alza de salarios mínimos decrece como una función exponencial de potencia negativa.

El crecimiento de las ventas de un producto que ya ha logrado un nicho de mercado, la variación poblacional de una universidad que ya lleva algunos años de funcionamiento, la clientela consolidada de un banco probablemente deba modelarse mediante una función logarítmica.

A veces una sola función no es suficiente para modelar el comportamiento de una
variable económica o financiera, por lo que puede requerirse operar con dos o más
funciones simultáneamente (sumándolas o multiplicándolas, por ejemplo). Las fluctuaciones mensuales de las ventas de un almacén podrían requerir la combinación de una función lineal que refleje el crecimiento anual o a largo plazo, más una función sinusoidal o cosenoidal que refleje las variaciones a corto plazo.

MODELO MATEMÁTICO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE LA ADMINISTRACIÓN:

Una pequeña empresa tiene costos mensuales de producción de basureros de plástico definidos por la siguiente expresión:

C  750  2 2N

Donde:

C: Costo mensual de funcionamiento de la empresa (se mide en dólares)

N: Número de basureros fabricados en el mes

Encontrar una función que describa el costo unitario de los basureros en función de la producción mensual, y representarlo gráficamente.

Solución:

De la función de costos totales se deduce directamente que los Costos Fijos de la
empresa son de US 750 mensuales, y los costos variables son de US$ 2.20 por cada basurero.

Para conocer la función de costo unnitario se debe dividir el costo total para el número de basureros fabricados en el mes.