REPUBLICA
BOLIVARIANA DE VENEZUEALA UNIVERSIDAD
DE YACAMBUL ESTUDIOS
VIRTUALES TRABAJO 1 CALCULO DIFERENCIAL Elaborado
por: Laila Magledy Rincón Carvajal C.I: 10.851.614 Corte: acp0081 Asignatura:Calculo Diferencial
Mayo 2008
INDICE
PROPOSICIONES Y OPERACIONES LÓGICAS.
CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES
CONECTIVOS LÓGICOS Y PROPOSICIONES COMPUESTAS:
IMPORTANCIA DE ESTOS CONCEPTOS EN EL CAMPO
PROFESIONAL.
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES LINEALES
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
IMPORTANCIA DE LAS FUNCIONES LINEALES
INFOGRAFIA
INTRODUCCION
En diferentes estudios hechos sobre por que las personas no aprenden matemática se determino que “Los
alumnos no aprenden, porque no saben relacionar las conocimientos que se
proporcionan en la escuela, leyes, teoremas y formulas con los problemas que se
le presentan en la vida real".
La lógica estudia la
forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas
determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la
filosofía, matemáticas, computación, física.
Por tal razón tenemos
que dominar una serie de conceptos que nos demuestran de una manera mas clara y
sencilla como podemos aplicarlos en
nuestra vida tanto en le campo laboral como en lo personal para resolver
diferentes situaciones que se nos pueden presenta.
El
orden en que se presenta este trabajo
es el siguiente: se define el concepto
de la proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos
para formar proposiciones. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales
y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, así mismo explicamos a que se le llama
proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para
finalizar hablamos de funciones lineales y el mínimo y máximo terminando
explicando la importancia de la aplicación.
PROPOSICIONES Y OPERACIONES
LÓGICAS.
Una proposición o
enunciado es una oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la
vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
A continuación se tienen
algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué
algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio
de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.
p: La tierra
es plana.
q: -17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en la presente temporada de
Fut-Bol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.
Los
incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor
de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r
también es una proposición valida, aunque el valor
de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables
x y y en determinado momento. La proposición del
inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o
verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-bol. Sin
embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de
falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES
Aquellas proposiciones que
constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman
proposiciones simples o atómicas.
Por ejemplo, sea la
proposición "p: 3 + 6 = 9" es una proposición simple o atómica.
Cuando una proposición consta
de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular.
Así, por ejemplo:
Encontramos dos enunciados.
El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que
Pitágoras era geómetra.
CONECTIVOS LÓGICOS Y
PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Existen conectores u
operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por
varias proposiciones).
|
Símbolo |
Operación asociada |
Significado |
|
~ Ù Ú Þ Û Ú |
Negación Conjunción o producto lógico Disyunción o suma lógica Implicación Doble implicación Diferencia simétrica |
no p o no es cierto que p p y q p o q (en sentido incluyente) p implica q, o si p entonces q p si y sólo si q p o q (en sentido excluyente) |
Los operadores o
conectores básicos son:
- Operador and (y):
Se utiliza para conectar
dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado
verdadero. Si símbolo es: {^, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como
la multiplicación lógica:
Ejemplo.
Sea el siguiente
enunciado "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene
corriente la batería"
Sean:
p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
De tal manera que la
representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
p = q ^ r
Su tabla de verdad es como sigue:
|
q |
r |
p = q ^ r |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Donde.
1 = verdadero
0 = falso
En la tabla anterior el
valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la
batería tiene corriente y p = q ^ r=1 significa que el coche puede encender. Se
puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que
por lo tanto no puede encender.
|
q |
r |
p = q ^ r |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
- Operador Or (o):
Con este operador se
obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera.
Se indica por medio de los siguientes símbolos:
{^ ,+,^}. Se conoce como las sumas lógicas. Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado "Una persona puede
entrar al cine
si compra su boleto u obtiene un pase". Donde.
p: Entra al cine.
q: Compra su boleto.
r: Obtiene un pase.
|
q |
r |
p =q^ r |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
- Operador Not (no):
Su función
es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera
y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso).
Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, ^, }. Ejemplo.
|
p |
p’ |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
Además de los operadores
básicos (and, or y not) existe el operador xor.
- Operador xor:
Cuyo funcionamiento es
semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero
solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el
resultado es falso.
En este momento ya se
pueden representar con notación lógica enunciados más complejos. Ejemplo
Sean las proposiciones:
p: Hoy es domingo.
q: Tengo que estudiar teorías
del aprendizaje.
r: Aprobaré el curso.
El enunciado: "Hoy
es domingo y tengo que estudiar teorías
de aprendizaje o no aprobaré el curso". Se puede representar
simbólicamente de la siguiente manera:
p ^ q ^ r
Por otro lado con ayuda
de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand
(combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y
Xnor (resultado de Xor y Not).
NEGACIÓN
Dada una proposición p, se denomina la negación de p
a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el
valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:
p: Diego estudia matemática
~ p: Diego no estudia matemática
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de
verdad:
|
p |
~ p |
|
V F |
F V |
Observamos aquí que al valor
V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.
Se trata de una operación
unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.
Ejemplo: La
negación de " p: todos los alumnos estudian matemática"
es
~ p: no todos los alumnos estudian matemática o
bien:
~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian
matemática
~ p: hay alumnos que no estudian matemática
CONJUNCIÓN
Dadas dos proposiciones p y
q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p Ù q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad
es:
|
p |
q |
p Ù q |
|
V V F F |
V F V F |
V F F F |
La tabla que define esta
operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos
proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.
Ejemplo: Sea
la declaración: i) 
Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las
que llamaremos p y q, que son
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
Por ser ambas verdaderas, la
conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.
Ahora bien, sea la declaración
ii) Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de
5 de noviembre
Esta conjunción es falsa, ya
que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.
DISYUNCIÓN
Dadas dos proposiciones p y
q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q cuya tabla de
valor de verdad es:
|
p |
q |
p Ú q |
|
V V F F |
V F V F |
V V V F |
La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la
verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las
proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente
indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se
utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la
disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.
Ejemplo:
Sea i) Tiro las cosas viejas o que no me sirven
El sentido de la disyunción
compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me
sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la
disyunción es V.
IMPLICACIÓN
O CONDICIONAL
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición
p Þ q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad
es:
|
p |
q |
p Þ q |
|
V V F F |
V F V F |
V F V V |
La proposición p se llama
antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o
condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
Ejemplo:
Supongamos la implicación 
La implicación está compuesta de las proposiciones
p: apruebo
q: te presto el libro.
Nos interesa conocer la
verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de
las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso,
condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso.
Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del
compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.
Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.
Ejemplo: 1
= –1 Þ 1² = (–1)² (F)
La proposición resulta ser falsa por ser el
antecedente (1 = –1) falso.
PROPOSICIONES
CONDICIONALES.
Una proposición
condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o
compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
p ® q Se lee "Si p entonces q"
Ejemplo.
El candidato del PRI
dice "Si salgo electo presidente de
Sean
p: Salió electo Presidente de
q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el
próximo año.
De tal manera que el enunciado se puede expresar de
las siguiente manera.
p ® q
Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:
|
p |
q |
p ® q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
La interpretación de los
resultados de la tabla es la siguiente:
Considere que se desea analizar si el candidato
presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior.
Cuando p=1;
significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo,
por lo tanto p ® q =1; significa que el
candidato dijo la verdad en su campaña.
Cuando p=1 y q=0 significa que p ® q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no
se incrementaron los salarios.
Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió
electo hubo un aumento del 50% en su salario,
que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco
mintió de tal forma que p ® q =1.
PROPOSICIÓN
BICONDICIONAL.
Sean p y q dos
proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la
siguiente manera:
p « q Se lee "p si solo si q"
Esto significa que p es
verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q
también lo es.
Ejemplo: el enunciado
siguiente es una proposición bicondicional
"Es buen estudiante, si y solo si; tiene
promedio de diez"
Donde:
p: Es buen estudiante.
q: Tiene promedio de diez.
Por lo tanto su tabla de verdad es.
|
p |
q |
p « q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
A partir de este
momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con
conectores lógicos.
Ejemplo.
Sea el siguiente
enunciado "Si no pago la luz,
entonces me cortarán la corriente
eléctrica. Y Si pago la luz,
entonces me quedaré sin dinero
o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero
y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy
desorganizado"
Donde:
p: Pago la luz.
q: Me cortarán la corriente eléctrica.
r: Me quedaré sin dinero.
s: Pediré prestado.
t: Pagar la deuda.
w: soy desorganizado.
(p’ ® q)
Ù [ p ® (r
Ú s) ] Ù [ (r
Ù s) ® t’ ] « w
TABLAS
DE VERDAD.
Una tabla de verdad de una
proposición da los valores de verdad de
A continuación se presenta un ejemplo para la
proposición
[(p ® q)
Ú (q’ Ù r) ] « (r
® q).
|
p |
q |
r |
q’ |
p® q |
(q’Ù r) |
(p® q)Ú (q’Ù r) |
r® q |
[(p® q)Ú (q’Ù r) ] « (r® q) |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
El número de líneas de
la tabla de verdad depende del número de variables
de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.
No de líneas = 2n Donde n = número de
variables distintas.
Es importante destacar a
medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá participar
activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características
propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno
deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado
no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber
emplearlos en la representación de proposiciones más complejas. Pero algo muy
importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la
clase, deben ser de interés
para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber
perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el
conocimiento deberá ser significativo.
TAUTOLOGÍA
Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es
cierta para todos los valores
de verdad de sus variables.
Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de
verdad se indica a continuación.
|
p |
q |
p’ |
q’ |
p® q |
q’® p’ |
(p® q)« (q’® p’) |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Note que en las
tautologías para todos los valores
de verdad el resultado de la proposición es siempre. Las tautologías son muy
importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes
en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.
A continuación me
permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia
de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no
consideró.
CONTRADICCIÓN
Es aquella proposición
que siempre es falsa para todos los valores
de verdad, una de las mas usadas y mas
sencilla es p p’ . Como lo muestra
su correspondiente tabla de verdad.
|
p |
p’ |
P p’ |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
Si en el ejemplo anterior
p: La puerta es verde.
La proposición p p’ equivale a decir que "La puerta es verde y
la puerta no es verde". Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que
es una falacia.
Una proposición
compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan
como resultado y se le llama contingente.
IMPORTANCIA
DE ESTOS CONCEPTOS EN EL CAMPO PROFESIONAL.
La importancia de
aprenda los concepto
de esta unidad, es la forma en que se
pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos,
representar enunciados por medio de simbología lógica, conocer los conceptos de
tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia y el de poder plantearnos enunciados
que pueden ser trazados en términos de teoremas. Un teorema por lo general es
resultado de un planteamiento de un problema.
Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que
se nos presentan en la vida y en el
trabajo antes de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn), hasta llegar al
objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos
plantearnos nuevos objetivos
que nos permitirán superarnos.
Considero que es una de
las mejores manera de poder demostrar la importancia de manejar estos conceptos
para se aplicados en el campo laborar y hasta en lo personal.
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES
LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se
realizan sobre un elemento de un sub espacio, para transformarlo en un elemento
de otro sub-espacio.
En ocasiones trabajar con
vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de
un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario
transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra
parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no
lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual
simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran
interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo
cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una
transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo
dominio y condominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente
definición:
Sean V
y W espacios vectoriales sobre el mismo
cuerpo o campo K, y T
una función de V en W.
T es una transformación lineal si para todo
par de vectores u y v
pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K,
se satisface que:
donde
k es un escalar.
La particularidad de una
transformación lineal es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto
de un escalar por un vector.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la
formulación matemática de la mecánica cuántica.
DEFINICIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es aquella que puede
escribirse de la forma:
|
f(x) = ax2 + b x + c |
Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una
curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de
dos funciones cuadráticas muy sencillas:
MÁXIMOS Y
MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
La función f(x) presenta un máximo
relativo en xo, cuando existe un entorno E (xo) tal que:
La función f(x) presenta un mínimo relativo
en xo, cuando existe un entorno E (xo) tal que:
Son puntos que se distinguen por ser
aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las
imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos
"alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f( xo ).
A los máximos y mínimos relativos se los
llama extremos relativos o simplemente extremos.
IMPORTANCIA
DE LAS FUNCIONES LINEALES
Muchos
problemas relacionados con la administración, la economía y las ciencias
afines, además de la vida real, requieren la utilización de funciones lineales
y otros tipos de funciones para su modelamiento, su comprensión y fundamentalmente para la toma de decisiones.
En
muchas ocasiones, la sola comparación entre las funciones tipo y el
comportamiento de las variables en un problema administrativo, económico o
similar permite obtener los modelos mas apropiados.
El crecimiento
poblacional, la propagación de una epidemia y las áreas afectadas por un
derrame petrolero contaminante en el mar. Se puede determinar su crecimiento o
afectación en el ambiente de las mismas por medio de aplicación de funciones a
los datos obtenidos de una serie de estudios y cálculos aplicados.
CONCLUSIONES
En general la lógica matemático se aplica en la tarea diaria, ya
que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el
ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar
cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona
desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no
puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja.
Por otra parte las
funciones son aplicables en todos los campos para obtener por medio de una
serie de datos y cálculos unos resultados
que nos permiten poder determinar una serie de eventos como se
producen o come se pueden evitar.
BIBLIOGRAFÍA
|
Libro |
Autor |
Editorial |
|
Estructuras de Matemáticas Discretas |
Bernard Kolman,
Robert C. Bisby, Sharon Ross |
Prentice Hall |
|
Elements of Discrete Mathematics |
C.L.Liu |
Mc graw Hill |
|
Matemáticas Discreta y Combinatoria |
Ralph P. Grimaldi |
Addiso Wesley |
|
Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias
de la computación |
Jean Paul
Tremblay, Ram Manohar |
CECSA |
INFOGRAFIA: TRABAJO 1 CALCULO DIFERENCIAL http://www.monografias.com/trabajos4/matematica/matematica.shtml: Trabajo que contiene los aspectos importantes en la lógica
matemática, desde la definición de proposición, tipos de operadores lógicos,
tautología, contradicción, proposiciones condicionales y bicondicionales,
demostración formal. http://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal:
En matemática y álgebra lineal, un sistema lineal de ecuaciones es un
conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo http://ccc.inaoep.mx/~ctorres/courses/matdis/slidespdf/Logica.pdf:
Concepto y demostraciones sobre
temas de lógico que permiten calcular y comparar con la vida diaria.