1. Introdução

 

A presente pesquisa insere-se no projeto mais amplo da orientadora, intitulado: “O conhecimento matemático escolar:interfaces históricas, curriculares e pedagógicas entre medidas, aritmética e geometria”, desenvolvido junto ao Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação. O conteúdo matemático tomado como referência para estudo é a trigonometria.

A trigonometria é um conteúdo presente no Ensino Médio, sendo aplicada praticamente durante um ano, geralmente no 1º ou 2º ano. Possui ainda grande importância e aplicabilidade tanto na Física como na própria Matemática. Essa importância é muito observada dentro do próprio histórico do desenvolvimento da trigonometria. Ela surgiu exatamente de contextos de resolução de problemas de medidas inacessíveis, por meio de semelhança de triângulos. Posteriormente, com o desenvolvimento da astronomia, ela passa a ser desenvolvida, devendo-se a Ptolomeu (século II d.C.) a organização da primeira tabela de arcos metades que, futuramente, foram ampliados pelos hindus e árabes, dando origem às atuais tabelas trigonométricas. O movimento das grandes navegações e a confecção de mapas cartográficos exigiram muita trigonometria. No entanto, seu maior desenvolvimento deu-se em decorrência do desenvolvimento da Física, em especial da Mecânica, com os estudos dos movimentos periódicos, que vai exigir novos conhecimentos matemáticos. São então desenvolvidos os estudos de funções trigonométricas e a ampliação do círculo trigonométrico para um número n qualquer de voltas.

Em pesquisas anteriores, sob a coordenação de Nacarato, constatou-se que esse conteúdo fez parte de todo o currículo da escola secundária no Brasil no século XX. No entanto, os enfoques foram diferenciados. No início do século, a ênfase era numa abordagem mais euclidiana da trigonometria, ou seja, todos os teoremas trigonométricos eram desenvolvidos com o auxílio da geometria euclidiana e num tratamento didático muito próximo do desenvolvimento histórico, mas com ênfase no círculo trigonométrico. A partir da década de 1930 constata-se uma mudança de abordagem, com a introdução da geometria vetorial. Mantém-se a ênfase no círculo trigonométrico, mas todas as razões são definidas como operações com vetores. Essa tendência vai perdurar até à década de 1960, quando sob a influência do Movimento da Matemática Moderna, a trigonometria passa a ter uma aproximação maior com sua última etapa de desenvolvimento, enfatizando as funções circulares. Após a euforia da idéias renovadoras, no bojo das reformas curriculares estaduais, constata-se uma nova tendência para o ensino de trigonometria: via resolução de problemas, num percurso histórico.

Uma primeira manifestação dessa tendência vai surgir no livro Matemática Aplicada, de Imenes & Trotta & Jakubovic, ainda na década de 1970. Muitas dessas idéias estarão presentes alguns anos mais tarde nas propostas curriculares.

No entanto, tal tendência ficou restrita a essa obra e à última Proposta Curricular para o Ensino de Matemática para o Estado de São Paulo (1986). Esta sugere que o conteúdo trigonométrico seja apresentado como situações de resolução de problemas, nos quais os conceitos trigonométricos são utilizados. Estes problemas devem fazer parte do cotidiano do aluno e têm como ponto de partida o estudo do triângulo retângulo, diferentemente das propostas anteriores que iniciavam pelo círculo trigonométrica ou pelas funções circulares. Esta proposta aponta ainda que se trabalhe com as aplicações da trigonometria.

Essa tendência, no entanto,  não se fará presente nos livros didáticos do final do século XX e nas questões de vestibulares contemporâneos a essa proposta. A única idéia encampada pelos autores de livros didáticos foi de iniciar o conteúdo pelo estudo do triângulo retângulo. Mas não houve uma identidade com a resolução de problemas e muito menos com situações de aplicações da trigonometria. Isso permite uma hipótese inicial, de que as propostas curriculares não influenciam o modo de se conceber o ensino da matemática e, em especial, da trigonometria.

Ao mesmo tempo em que se constata a não influência dessa proposta na organização dos livros didáticos, o próprio MEC propõe uma reestruturação curricular do Ensino Médio, por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM).

            Um primeiro referencial sobre o qual se desenvolveu os PCNEM foi a interpretação do que foi estabelecido pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei 9394/96), a qual qualifica o Ensino Médio como etapa final da Educação Básica, complementando o aprendizado iniciado no Ensino Fundamental. Os PCNEM têm a seguinte proposta para o Ensino Médio:

 

 “...que, sem ser profissionalizante, efetivamente propicie um aprendizado útil à vida e ao trabalho, no qual as informações, o conhecimento, as competências, as habilidades e os valores desenvolvidos sejam instrumentos reais de percepção, satisfação, interpretação, julgamento, atuação, desenvolvimento pessoal ou de aprendizado permanente, evitando tópicos cujos sentidos só possam ser compreendidos em outra etapa de escolaridade.”

(pág. 4)

 

Este documento apresenta a recomendação de se praticar interdisciplinaridade e contextualização dos conteúdos, bem como propõe que se trabalhe com a aplicabilidade e não simplesmente transmissão de conteúdos. Nessa nova etapa, em que já se pode contar com a maturidade e a responsabilidade do aluno já mais desenvolvidas, os objetivos educacionais devem passar a ter maior ambição formativa, tanto em aspectos de natureza das informações tratadas, dos procedimentos e atitudes envolvidas, como em termos das habilidades, competências e dos valores desenvolvidos.

            Segundo o texto do PCNEM:

 

 “Os objetivos do Ensino Médio, em cada área do conhecimento, devem envolver, de forma combinada, o desenvolvimento de conhecimentos práticos, contextualizados, que respondam às necessidades da vida contemporânea, e o desenvolvimento de conhecimentos mais amplos e abstratos, que correspondam a uma cultura geral e a uma visão de mundo” (pág. 6).

 

 “Um Ensino Médio concebido para a universalização da Educação Básica precisa desenvolver o saber matemático, científico e tecnológico como condição de cidadania e não como prerrogativa de especialistas,  ... as modalidades exclusivamente pré-universitárias e exclusivamente profissionalizantes do Ensino Médio precisam ser superadas, de forma a garantir a pretendida universalidade desse nível de ensino, que igualmente contemple quem encerre no Ensino Médio sua formação escolar e quem se dirija a outras etapas de escolarização” (pág. 8).

 

            Propõe ainda que, ao mesmo tempo que deve haver uma divisão disciplinar, é preciso desenvolver uma cooperação interdisciplinar, de forma a conduzir organicamente o aprendizado pretendido. A interdisciplinaridade tem muitos sentidos e dimensões que podem se confundir, mas ainda assim são muito importantes.

Sobre a Matemática o texto assim se posiciona:

 

 “A Matemática, por sua universalidade de quantificação e expressão, como linguagem, ocupa uma posição singular. No Ensino Médio, quando nas ciências torna-se essencial uma construção abstrata mais elaborada, os instrumentos matemáticos são especialmente importantes. Mas não é só nesse sentido que a Matemática é fundamental. Possivelmente, não existe nenhuma atividade da vida contemporânea, da música à informática, do comércio à meteorologia, da medicina à cartografia, das engenharias às comunicações, em que a Matemática não compareça de maneira insubstituível para codificar, ordenar, quantificar e interpretar compassos, taxas, dosagens, coordenadas, tensões, freqüências e quantas outras variáveis houver” (pág.9).

 

            Este documento conclui que o desenvolvimento dos instrumentos matemáticos de expressão e raciocínio não deve ser preocupação somente do professor de Matemática, mas sim dos professores das quatro disciplinas científico-tecnológicas, e de preferência através de um trabalho em conjunto, que permita ao aluno construir efetivamente as abstrações matemáticas, evitando a memorização indiscriminada de conteúdos, o que é prejudicial ao aprendizado.

            Sobre os conhecimentos de Matemática são apresentadas as seguintes considerações:

  “Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais e profissionais ganham novos contornos, todas as áreas requerem alguma competência em Matemática e a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemáticos é necessária tanto para tirar conclusões e fazer argumentações, quanto para o cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e profissional.”  (pág. 40)

 

“O impacto da tecnologia na vida de cada indivíduo, cujo instrumento mais relevante é hoje o computador, exigirá do ensino de Matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.” (pág. 41)

 

Esses temas ligados às tecnologias na Matemática fazem com que a mídia, as calculadoras e os computadores adquiram uma importância natural como instrumentos que permitem a abordagem de problemas com dados reais e necessitam de habilidades para uma seleção e análise das informações.

            Como critério central para a seleção de uma série de temas ou tópicos em Matemática, os PCNEM indicam os da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial que um tema tem de permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da Matemática, como à sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência.

            Este documento trata a Trigonometria como:

 

“...um tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e competências, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações para enfatizar os aspectos importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos. Especialmente para o indivíduo que não prosseguirá seus estudos nas carreiras ditas exatas, o que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e na construção de modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Sendo assim, um projeto envolvendo também a Física pode ser uma grande oportunidade de aprendizagem significativa.” (pág. 44)

 

            Neste sentido, percebe-se que as concepções e orientações contidas nos PCNEM, com relação à trigonometria, são coerentes com as mesmas da Proposta Curricular para o Ensino de Matemática do Segundo Grau do Estado de São Paulo, avançando no que diz respeito à interdisciplinaridade. No entanto, como já apontado anteriormente, tal proposta não exerceu influência na produção dos materiais didáticos posteriores a ela. 

            Sabe-se que, atualmente, com as condições de trabalho do professor, o único material de que ele dispõe para as suas aulas é o livro didático. Este instrumento acaba se tornando o currículo oficial concretizado em sala de aula. Em pesquisa anterior, realizada por outra bolsista, constatou-se que os materiais didáticos atuais apresentam duas abordagens para a trigonometria, uns a iniciam com triângulo retângulo e outras com funções circulares. No entanto, poucos exploram a questão histórica e de aplicação do tema, contrariando assim as propostas citadas anteriormente. 

            Dessa forma, surge a necessidade de uma pesquisa junto aos autores de materiais didáticos (material apostilado, utilizado pelas escolas da rede privada) e livros didáticos, bem como junto a alguns elaboradores da Proposta Curricular de São Paulo e dos PCNEM, como objetivo de identificar os elementos que exercem influência no momento em que o autor idealiza e confecciona esse material e as expectativas dos elaboradores de currículos em relação ao como os princípios, os conteúdos e orientações propostos em tais documentos serão viabilizados pelos diferentes autores.

Isto posto, o problema norteador da pesquisa está assim formulado: Quais os elementos que orientam os autores de materiais didáticos e elaboradores de propostas curriculares no momento da seleção e do desenvolvimento dos conteúdos referentes à trigonometria?

Os objetivos para essa etapa da pesquisa são :

1.            Identificar os critérios utilizados por elaboradores de documentos curriculares e de livros/materiais didáticos para a seleção de conteúdos a serem utilizados em sala de aula;

2.            Identificar a influência ou não dos documentos oficiais na concepção desses diferentes autores;

3.            Identificar as expectativas dos elaboradores de documentos curriculares quanto à sua implantação na sala de aula.