Desenvolvimento da Oficina

 

            Neste item temos o objetivo de descrever o decorrer da oficina durante o semestre, apresentando as pautas, as discussões e o trabalho desenvolvido a cada dia.

            A estratégia inicial era apresentar e discutir a trigonometria em três fases: em uma primeira fase apresentar os conceitos básicos, discutir sobre os conhecimentos necessários para se trabalhar com trigonometria, falar sobre a origem da trigonometria e sua aplicabilidade. Nesta primeira fase a discussão seria apenas em torno do triângulo retângulo. Na segunda fase da oficina apresentar a trigonometria do circulo trigonométrico, bem como o contexto histórico e epistemológico que motivou o seu estudo, discutir como poderia ser feita a transição do triângulo retângulo para o círculo trigonométrico e apresentar alguns materiais didáticos para esse trabalho. Na terceira fase apresentar a trigonometria da primeira volta e de ‘n’ voltas, discutir a trigonometria nos movimentos periódicos e sua ligação com a Física, nesta fase seria feita uma discussão em torno das concepções de trigonometria contidas em diferentes materiais didáticos, os pontos positivos e negativos destas concepções, discutir ainda sobre um modo adequado de se conceber a trigonometria, e suas variações conforme o contexto em que se está inserido.

            Esta estratégia, proposta inicialmente e estava sujeita ao perfil dos alunos e ao desenrolar da oficina e acabou exigindo algumas modificações para que se adequasse à realidade dos alunos.

As discussões finais tiveram ainda o objetivo de embasar e nortear os alunos para a realização do trabalho final, que seria a elaboração de uma proposta para se ensinar trigonometria.

O livro Matemática Aplicada (Imenes, Trotta e Jakubo) foi adotado para auxílio e pesquisa durante a oficina.

            A Oficina teve início no dia 14 de agosto e se encerrou no dia 07 de dezembro de 2002.

A seguir, apresentamos a pauta de cada encontro, com um resumo das atividades desenvolvidas. E nos encontros que houveram o registro reflexivo, selecionou-se um deles para ser apresentado.

 

 

 

 

 

3.1   14 de agosto:

     Pauta do dia:

1. Apresentação do grupo;
2. Apresentação da pesquisa, apresentação dos objetivos e da metodologia de trabalho da oficina;
3. Preenchimento do questionário inicial;
4. Discussão final e esclarecimento de duvidas;

 

Resumo:

Neste primeiro dia o objetivo principal era apresentar aos alunos a oficina, esclarecer como ela funcionaria e também colher dos alunos, através do questionário inicial, as suas concepções sobre trigonometria naquele momento.

Os alunos, em seus questionários declaram que sua formação no Ensino Médio foi básica: medidas de ângulos, tabelas de senos, cossenos e tangentes, mas ficou pouca coisa na memória, sendo muito conteúdo e pouca compreensão. Eles acreditam que abordagem adequada para a trigonometria seria trabalhar com aulas práticas, para o aluno entender para que serve a trigonometria, usar exemplos reais ligados ao dia-dia do aluno, evitando assim a simples decoração de fórmulas.

 

 

3.2   21 de agosto:

Pauta do dia:

1. Troca de experiência;
2. Assunto do dia: semelhança da triângulo, ângulo de visada;
3. Atividades: Imenes p. 177-183;
4. Avaliação;
5. Registro.

 

 

 

 

Resumo:

Inicialmente discutiu-se, através da elaboração de um mapa conceitual[1], a história da trigonometria, seu contexto e sua aplicabilidade; discutiu-se sobre a importância da semelhança de triângulos para os conceitos básicos da trigonometria. Em seguida, trabalhou-se com o conceito de ângulo de visada através de uma atividade prática que consistia em determinar a altura da lousa utilizando a semelhança de triângulos, e depois através de uma atividade semelhante proposta no livro Matemática Aplicada. Para a atividade prática confeccionou-se um transferidor utilizando-se de palitos de sorvete. Ao final foi proposto um registro do dia com o tema, atividades práticas em sala de aula.

 

Registro selecionado:

A discussão do encontro de hoje trouxe reflexões sobre quais conceitos (prévios) são utilizados para o trabalho com a trigonometria. A trigonometria não pode ser pensada de forma desconectada da vida (e de outros conceitos da Matemática), bem como também não pode estar somente vinculada a procedimentos mecânicos. É importante ressaltar no ensino que a trigonometria surgiu de idéias para o avanço da astronomia e das navegações pois, desta forma, não fica a idéia de que a trigonometria é algo abstrato, mas sim algo que ajuda a “resolver problemas”. Isso ficou claro no procedimento prático para a compreensão do conceito, onde se discute as relações e os por quês dos problemas e procedimentos. (MC)[2]  

 

 

3.3   28 de agosto:

Pauta do dia:

1.      Troca de experiência: leitura do registro;

2.       Ângulo de visada:

·        Retomada da aula anterior;

·        Construção de um instrumento de medida;

·        Medição;

·        Discussão.

3.      Registro.

 

Resumo:

Para iniciar a discussão na troca de experiência, foi lido um registro selecionado da reunião passada. Em seguida, foram retomadas as medições feitas na aula anterior e finalizada essa atividade. Foi construído pelos alunos um outro transferidor utilizando-se de um canudo e um pedaço de papelão, esse instrumento foi utilizado para determinar a medida da altura de um poste, fazendo uso novamente do conceito de semelhança de triângulos. Finalizada a atividade iniciou-se uma discussão com todo o grupo sobre as diferentes medidas encontradas para o poste pelos alunos e sobre como a visualização dos triângulos facilita a compreensão da atividade. Ao final os participantes fizeram registros sobre as principais questões do dia e sobre a construção de materiais didáticos pelos alunos.

 

Registro selecionado:

Hoje, na aula, podemos perceber o quanto a trigonometria está presente, mesmo sem notarmos, no nosso dia-a-dia. Por exemplo, quando tentamos imaginar ou descobrir a altura de qualquer objeto inacessível ao nosso alcance.

É divertido, dinâmico e fácil de entender conceitos trigonométricos usando a prática de visualização, como fizemos hoje utilizando recursos que tínhamos disponíveis, isto mostra que não precisamos de materiais sofisticados para fazermos cálculos simples como este.

Trabalhar a trigonometria com a prática real não é como estar em sala de aula e aprender fórmulas, regras e técnicas. O aproveitamento na aprendizagem com aula concreta é de maior valor para o aluno, no que se diz de entender de trigonometria. (CS)

 

 

3.4   04 de setembro:

Pauta do dia:

1. Troca de experiência;
2. Conclusão sobre medições de medidas inacessíveis,
• Medindo o poste com o laser;
3. Funções trigonométricas em triângulos semelhantes;
4. Tabela com as ângulos complementares;
5. Registro.

 

Resumo:

Para iniciar a discussão na troca de experiência, foi lido um registro selecionado da reunião passada, em seguida mediu-se novamente a altura do poste, porém fazendo uso de um transferidor de madeira e um indicador laser para que a medida do ângulo fosse mais precisa. Para esta medição já foi utilizado o conceito de tangente ao invés de triângulos semelhantes, ainda assim houve diferença nas medidas finais. Iniciou-se, então, uma discussão sobre a imprecisão das medições. Na atividade seguinte, utilizando-se de um transferidor, foram construídos três triângulos retângulos semelhantes com ângulo α de 30º. Foram medidos os lados dos triângulos e calculadas três razões (seno, cosseno e tangente) entre os lados de cada triângulo, através dessas medidas os alunos puderam perceber que o resultado de uma mesma razão é muito próximo nos diferentes triângulos e que, às vezes, os resultados são iguais. Esta foi uma demonstração empírica de que as razões em qualquer triângulo retângulo de mesmo ângulo α são sempre iguais. Após essa atividade foi proposto aos alunos que fizessem triângulos retângulos com ângulos α complementares e depois calculassem as razões trigonométricas desses triângulos, o fechamento da atividade ficou para a próxima reunião. Por fim os alunos fizeram o registro do dia.

 

Registro selecionado:

            Em uma sala de aula, trabalhar com as funções trigonométricas pode gerar uma grande discussão, que pode ser proveitosa. Construindo triângulos retângulos de diferentes tamanhos mas com ângulos iguais, obtemos medidas de seno, cosseno e tangente aproximadamente iguais, e que se aproximam da tabela oficial.

            Discutir com os alunos a imprecisão das medidas feitas com os instrumentos, que algumas poderão ser iguais, outras não, e que há outros fatores, como o modo do aluno visualizar, a sua aproximação nas medidas, poderá fazer o aluno pensar que alguém estabeleceu as medidas baseado em vários cálculos que podem ter se repetido.

            Além dos cálculos, das observações o aluno pode conhecer os diferentes métodos de se aprender a trigonometria, sem ter que ficar decorando fórmulas passadas na lousa ou lidas no livro, fazendo uma aula mais interativa dinâmica e que não fica cansativa. (TS)

           

 

 

3.5    11 de setembro:

Pauta do dia:

1. Troca de experiência: discussões sobre as questões surgidas no grupo
2. Retomada das tabelas de 20º, 70º, 40º e 50º
3. Generalizando...
4. ângulos de 30º, 45º e 60°
5. Registro

 

Resumo:

No momento de troca de experiência discutiu-se sobre algumas questões que surgiram nos grupos durante a última reunião, questões sobre a proximidade dos resultados encontrados, sobre qual resultado poderia ser considerado mais correto, sobre como saber se um resultado pode ser considerado correto. Em seguida, retomou-se a atividade dos ângulos complementares (20º e 70º, 40º e 50º). Esta atividade teve como objetivo demonstrar que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento. Houveram algumas discussões sobre as medidas encontradas, pois muitos alunos utilizaram dois triângulos – um para cada ângulo – sendo que era necessário apenas um. Após isso, partiu-se para a generalização dessa atividade com uma demonstração utilizando-se de letras no lugar das medidas. Demonstrou-se também que tag α = sen α / cos α , utilizando-se do mesmo método. Não houve tempo para cumprir o resto da pauta, pois houveram ainda algumas discussões sobre as demonstrações e ao final os particpantes fizeram um registro da reunião.

Quanto aos registros, foi possível constatar o grande avanço que estes começaram a ter em termos de qualidade.

 

Registro selecionado:

Em um primeiro momento tudo o que é visto com números parece mais fácil e quando vem as letras ou símbolos parece complicar um pouco. Ver as relações entre seno, cosseno e tangente na tabela parece lógico, e quando provamos usando α, a, b, entendemos o porque daquilo.

A idéia de mostrar o mesmo triângulo várias vezes e achar o mesmo resultado de várias maneiras prova que não precisamos bitolar em um só jeito. Se não entendemos, podemos explicar de novo e de novo, cada vez de um jeito. (KD)

 

 

3.6    18 de setembro:

Pauta do dia:

1. Medindo com o teodolito

 

Resumo:

Neste dia teve início uma outra atividade prática, uma medição da distância entre uma chaminé e um prédio fazendo uso de teodolitos. Neste dia foram realizadas as medições dos ângulos com a orientação do professor Sussumu Morigaki da Engenharia Civil. O professor iniciou a atividade apresentando o teodolito aos alunos, explicando seu funcionamento e onde ele é usado. Após os alunos se familiarizarem com o instrumento de medida o professor Sussumu colocou dois teodolitos a 33,49 m um do outro e os utilizou para dar início aos cálculos da distância entre o prédio e a chaminé que se localizavam em frente à universidade[3], as atividades de medições com os teodolitos foram realizadas no estacionamento da universidade e depois na sala teve início os cálculos para se encontrar as medidas. O fim dessa atividade ficou para a próxima reunião, neste dia não foi solicitado registro.

 

 

3.7    25 de setembro:

1. Retomada da atividade;
2. Lei do seno e lei do cosseno;
3. Cálculos da distância;
4. Registro.

 

Resumo:

No início da reunião foi revista a atividade do teodolito, foram revisados os cálculos feitos para poderem continuar a atividade. Porém para o cálculo da distância seria necessário a lei do seno e a lei do cosseno, sendo assim a apresentação e demonstração destas leis foram adiantadas para este dia. Primeiro foi demonstrada a lei do seno e depois a lei do cosseno todas partindo de triângulos quaisquer. Em seguida foram retomados os cálculos da distância entre os prédio e a chaminé. No fim foram encontradas duas medidas para essa distância – f ‘ e f “ – pois foi possível utilizar dois triângulos diferentes para o cálculo da mesma (ver  anexo 9.2). Os cálculos finais tomaram mais tempo do que o esperado, visto que o trabalho com a calculadora acabou suscitando uma série de discussões sobre o seu uso em sala de aula.  Em função disto, não houve tempo para que os alunos fizessem o registro reflexivo.

 

3.8    02 de outubro:

Pauta do dia:

1. Troca de experiência, atividade anterior;
2. Mapa conceitual;
3. Atividade em grupo mapa conceitual.

 

Resumo:

Na troca de experiências houve um debate sobre a atividade passada (medindo com o teodolito), as discussões ficaram em torno da utilização da trigonometria na atividade, da importância para o professor de matemática conhecer estas aplicações de um conteúdo, da viabilidade desse tipo de atividade na escola. Em seguida, falou-se sobre o mapa conceitual, sua utilidade em sala de aula e apresentou-se um exemplo de mapa conceitual de trigonometria. Após isso, os alunos se dividiram em três grupos e cada grupo vez um mapa conceitual[4] sobre o que haviam visto até o momento na oficina. Após a conclusão, cada grupo apresentou seu mapa para a turma. 

 

 

3.9     09 de outubro:

Pauta do dia:

1. Generalização das razões;
2. Tabela de ângulos 30°, 45° e 60°;
3. Exercícios de aplicação 11, 12 e 14 (Imenes);
4. Mapa conceitual (individual)

 

Resumo:

No início foi feita uma demonstração para validar que as razões trigonométricas de um ângulo α qualquer são iguais para todo triângulo retângulo semelhante, não importando suas dimensões. Para essa demonstração foram utilizados dois triângulos retângulos semelhantes onde seus lados eram denominados por letras; baseou-se nas propriedades de semelhança de triângulos para validar essa demonstração. Em seguida foi confeccionada uma tabela com os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45º e 60°. Para isso foi utilizado um triângulo eqüilátero de lado 1 (um) para o cálculo dos valores de 30° e 60° e um quadrado de lado 1 (um) cortado por uma diagonal para o cálculo dos valores de 45º. Após essas atividades foram feitos exercícios de aplicação do livro Matemática Aplicada. No fim da aula foi retomada a atividade da aula anterior – mapa conceitual – e cada aluno fez um mapa conceitual individualmente sobre o que havia sido visto até o momento na oficina.

Obs.: No dia 16 de outubro não houve oficina, pois essa semana foi de recesso na universidade.  

 

 

3.10          23 de outubro:

Pauta do dia:

1.      Troca de experiência: discussão do exercício 11;

2.      Exercício 12;

3.      Análise do problema 14;

4.      O quadrante trigonométrico.

 

Resumo:

Na troca de experiência foram discutidos os resultados do exercício 11 da aula anterior (verdadeiro ou falso). Em seguida, foi feita uma atividade prática baseada no exercício 12 e depois foi corrigido o exercício 12, após isso foi feita uma análise do exercício 14. No fim foi apresentado aos alunos um material didático ( prancha trigonométrica), onde está representado o circulo trigonométrico e pode-se encontrar o valor de seno, cosseno, tangente, cosseno, cotangente e secante de um ângulo qualquer. Em seguida, foi proposto que os alunos, em grupos, analisassem as possibilidades pedagógicas desse material. Essa atividade ficou para ser finalizada na próxima reunião, não havendo tempo para a realização do registro. 

 

3.11          30 de outubro:

Pauta do dia:

1. Exploração da prancha trigonométrica;
2. Análise da abordagem de Imenes;
• Pág. 199, do triângulo retângulo para o 1º quadrante;
• Pág. 135-142, trigonometria da primeira volta;
3. Exercícios de 18 a 40 (pág. 202)
4. Registro.

 

Resumo:

No início foi finalizada a análise da prancha trigonométrica, sendo debatido como poderia ser feita a passagem do triângulo retângulo para a circunferência trigonométrica utilizando esse material. Em seguida, os alunos em grupos fizeram uma análise da abordagem utilizada pelo livro Matemática Aplicada para fazer essa passagem; após a análise, cada grupo apresentou seus resultados. Em seguida, foram feitos exercícios de aplicação propostos pelo livro. No fim os alunos fizeram o registro reflexivo sobre os dois últimos encontros.

 

Registro selecionado:

Nas aulas que trabalhamos com a prancha trigonométrica podemos perceber a diversidade de conhecimentos que devemos ter como pré-requisito para o uso da trigonometria, fundamentalmente o estudo do triângulo.

A riqueza de nossos trabalhos e discussões foi essencial para o entendimento claro de cada detalhe que um ou outro acabava percebendo com uma análise crítica. Não descartando, é claro, o uso de materiais de apoio, que possibilitam a visualização do assunto tratado.

            É de fundamental importância o uso desse tipo de material em sala de aula, pois quando se tem contato com o que antes era só visual e abstrato, o aluno entende o que vê manuseando o próprio material e daí buscando seus próprios conceitos e conclusões. Neste caso ele estará, antes de tudo, entendendo conceitos adquiridos por si só, para depois utilizá-los em aplicações e execuções práticas de exercícios. (CS) 

 

 

3.12          06 de novembro:

Pauta do dia:

1. Retomada Imenes: 1º quadrante;
2. Exercícios;
3. Circunferência trigonométrica (Imenes);

 

Resumo:

No início da reunião foi retomada a atividade da reunião anterior em torno do trabalho com a trigonometria do primeiro quadrante, foi relembrada a seqüência adotada pelo livro Matemática Aplicada, para que em seguida fossem discutidos os exercícios desse livro propostos na aula anterior. Encerrada a atividade envolvendo os exercícios, foi iniciada uma análise da abordagem do livro na passagem da meia volta para a circunferência trigonométrica com uma discussão de como o livro aborda a trigonometria. Não houve tempo para o registro.

 

 

3.13          13 de novembro:

Pauta do dia:

1. Circunferência trigonométrica (Imenes)
2. Por que simetria?
3. Análise da abordagem do livro;
4. Análise de diferentes livros didáticos.

 

Resumo:

Continuou-se a discussão sobre a passagem para a circunferência trigonométrica apresentada pelo livro Matemática Aplicada; destacou-se a utilização da idéia de simetria para trabalhar com a circunferência e teve início então um outro debate, por que o uso da idéia de simetria? Quais a possibilidades pedagógicas para o seu uso? Terminada esta discussão, teve início outra atividade: uma análise da abordagem de alguns livros didáticos. Primeiramente através de um mapa conceitual[5], foi feita a análise da abordagem do livro Matemática Aplicada. Em seguida, a turma dividiu-se em grupo e cada um deles analisou um livro didático. Para esta análise foram distribuídos os seguintes livros didáticos: Matemática de Gelson Iezzi & outros, Matemática de Maria Helena S. de Souza & Walter Spinelli, Matemática para o Ensino Médio de Nelson Gentil & outros e Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra,  Coc pré-vestibular. Foram ainda propostos os seguintes tópicos de análise: 1) seqüência; 2) apresentação dos conteúdos; 3) Exercícios propostos e resolvidos; 4) Propostas de atividades práticas; e 5) Observações gerais.

A finalização dessa atividade ficou para a reunião seguinte, bem como não houve tempo para o registro.

 

 

3.14          20 de novembro:

Pauta do dia:

1. Término da análise dos livros didáticos;

2.  Fórmulas da soma e da diferença de seno e cosseno (diferentes concepções);

3. Registro.

 

Resumo:

No início da reunião foram feitas as apresentações das análise de livros didáticos feitas na reunião anterior; essa apresentação foi feita utilizando-se de mapas conceituais[6]. Em seguida, foi feita uma análise das concepções apresentadas pelos autores dos livros didáticos analisados, quanto à forma de apresentar as fórmulas da soma e da diferença de seno e cosseno. Para isso, cada grupo recebeu uma cópia desse tópico apresentado pelos diferentes livros didáticos. Feita a análise, cada grupo apresentou suas conclusões para a turma. Foi evidenciada a necessidade do professor conhecer diferentes abordagens para o mesmo tópico matemático para poder selecionar aquela que melhor se adapta a sua turma. Ao final foi realizado o registro para o qual foram propostas duas questões: 1) a importância da análise do livro pelo professor; 2) qual a influência do livro didático sobre a prática do professor.

 

 

 

Registro selecionado: 

O livro didático é uma importante ferramenta para o professor, como instrumento de direção, apoio didático. Porém, a grande maioria dos livros  é confeccionada (editada) procurando adequação de espaço e pequeno custo, visando com isto maior lucro.

Essa necessidade faz com que os autores procurem, muitas vezes, caminhos rápidos para apresentar conceitos que são importantes. Disso vem a necessidade de se avaliar os livros didáticos.

Entendo que essa avaliação deva partir de alguns pré-requisitos estabelecidos como: Qual o projeto pedagógico da escola; quais as direções dadas pelos PCN’s; quais as orientações dadas pelo programa da secretaria de ensino; o que eu (como professor) acredito ser o melhor para se trabalhar na série em questão; como a equipe de professores pretende trabalhar e o que eles pretendem alcançar. Entre outros.

Através dessa avaliação pode-se chegar ao livro que atenda melhor o projeto da escola e, também, saber o momento de troca-lo ou usar outro como apoio. (AR)

 

 

3.15  27 de novembro:

Pauta do dia:

1. Troca de experiência: debate sobre assunto dos registros;

2. Discussão de um problema histórico.

 

Resumo:

O dia iniciou-se com uma discussão sobre os assuntos dos registros da reunião anterior,  sendo essa uma discussão muito rica sobre a importância do livro didático na prática pedagógica dos professores. No restante do encontro apresentou-se um problema histórico: a construção da tabela de cordas de Ptolomeu (séc. II)[7]. Para isso foi entregue ao grupo uma série de atividades relacionadas ao problema. Em vista das discussões ocorridas não foi possível concluir todos os itens propostos pelo problema. Neste dia não houve registro.

 

 

 

3.16  04 de Dezembro:

Pauta do dia:

1. avaliação em grupo da oficina.

 

Resumo:

Esse dia foi reservado para uma discussão com todos os integrantes sobre o desenvolvimento da oficina, para que dessa forma pudéssemos fazer uma avaliação da mesma. Para essa discussão foi preparado um roteiro:

1. Apresentação de como seria desenvolvida a atividade neste dia;

2. Apresentação da questão inicial: que contribuições a oficina de trigonometria trouxe para você quanto: a) a sua visão/concepção de trigonometria; b) a sua (ou futura) prática pedagógica;

3. Discussão dos três primeiros objetivos da oficina (um de cada vez): 1) aprofundar conhecimentos teóricos, históricos e pedagógicos sobre trigonometria; 2) oferecer contextos de aplicação de trigonometria visando o seu ensino; e 3) Desenvolver no professor o habito do registro como prática de reflexão e metacognição;

4. Discussão da questões que emergiram durante os encontros:

·        A questão da manipulação;

·        A questão da visualização;

·        A experiência em sala de aula como elemento de contribuição para a formação de novos conceitos;

·        Mesmo que não tenha vivência da prática consegue diante de um atividade proposta pensar em sua aplicabilidade em sala de aula.

O encontro do dia foi gravado e filmado com vistas a não perdermos seus pontos essenciais, sendo os mesmos utilizados na análise dos dados. Neste dia foi ainda entregue a cada participante um questionário de conclusão com objetivo de identificar as contribuições individuais obtidas pela oficina[8].

 

 

 

 

3.17  07 de dezembro:

Pauta do dia:

1.  Atividades com o software  Cabri-géomètre II .

 

Resumo:

Este dia foi dedicado a uma atividade com o software Cabri-géomètre II, sendo para esta, convidado o professor Dariel Barbosa de Melo Jr., professor de Matemática /informática da rede estadual na cidade de Jacareí/SP. 

            Essa atividade foi desenvolvida em um laboratório de informática da universidade, com duração de 8 (oito) horas. Inicialmente o professor Dariel apresentou o software aos alunos, por meio de um texto eletrônico instalado em rede. Em seguida, explorou algumas de suas possibilidades por meio de atividades. Houve um grande envolvimento dos alunos nas atividades, sendo o software muito elogiado por eles. Durante esse dia foram debatidas muitas possibilidades pedagógicas para o Cabri.

Nesse dia os participantes entregaram as respostas do questionário de conclusão. Selecionamos alguns elementos desses questionários que serão discutidos nos próximos itens desse relatório.