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Estimación de parámetros
1.- Introducción
A la inferencia estadística le interesa
sacar conclusiones de un gran número de acontecimientos (población), fundándose
en las observaciones de una parte de los mismos (muestra).
La estadística nos
proporciona herramientas que formalizan y uniforman los procedimientos para
sacar conclusiones siempre que las muestras seleccionadas sean representativas
de la población que han sido extraídas. Esta representatividad permite extender
los valores que describen a las muestras (estadísticos), tales como la media, la
desviación típica, un coeficiente de correlación, a la población
correspondiente, es decir, la media o la desviación típica (estadísticos) pueden
tomarse como estimadores de los parámetros μ y σ, valores que caracterizan a la
población.
Los estadísticos,
valores obtenidos en la muestra, son, pues, estimadores de los parámetros
correspondientes (valores de la población)
2.- Características de
los estimadores.
Conviene que los
estadísticos, en su función de estimadores de los correspondientes parámetros,
reúnan determinados requisitos. Fundamentalmente son:
Un estimador
(estadístico) carece de sesgo si el promedio (media) de todos los valores
posibles de todas las muestras posibles de tamaño n de una población es
igual al parámetro, es decir, si la media de la distribución muestral del
estadístico considerado es igual al valor del parámetro. Así, la media es un
estimador insesgado de μ porque se puede demostrar que la media aritmética
de una distribución muestral coincide con el valor del parámetro, algo que
no puede decirse de r, por ejemplo, o de la varianza (s2) o de la mediana de
una población no distribuida normalmente.
Un estimador es
consistente en la medida en que, al aumentar el tamaño de la muestra, - n -
su valor se acerca cada vez más al parámetro correspondiente o lo que es lo
mismo, si a medida que aumenta el tamaño de la muestra, las estimaciones que
ésta proporciona son cada vez más próximas al valor del parámetro.
Algunos estimadores
sesgados son consistentes, acercándose cada vez más sus valores a los de sus
respectivos parámetros a medida que el tamaño de la muestra (n) aumenta, tal
es el caso de s o s2 que son estimadores sesgados pero consistentes de la
desviación típica (σ) o de la varianza (σ2) de la población.
La 3ª propiedad de
los estimadores es su eficiencia, que se refiere a la precisión que alcanzan
los estadísticos en la estimación de los parámetros, es decir, un estimador
será tanto más eficiente cuanto menos varíe de muestra a muestra de una
misma población. Como la variabilidad de una distribución muestral viene
dada por su error típico, un buen estimador será aquel que menor error
típico alcanza. Así, entre la media y la mediana, la primera es claramente
más eficiente. La varianza de la distribución muestral de la mediana es
mayor que la de la media, lo que significa que la mediana fluctúa más que la
media en muestras sucesivas de la misma población.
En una población
normal, la varianza de la distribución muestral de la media es de σ2/n y la
varianza de la distribución muestral de la mediana es de 1.57xσ2/n. Si
comparamos la eficiencia de la media respecto de la mediana dividiendo las
varianzas de las distribuciones muestrales respectivas, se aprecia la
superioridad de la media en grado de eficiencia.
Eficiencia relativa =
Indicando con esto
que para medidas normalmente distribuidas, independientemente de la magnitud
de n, la mediana es aproximadamente 2/3 menos eficiente que la media (Véase
Siegel, Cap. 3). Es decir que si se emplea una muestra de 100 casos y se
utiliza la Me como estimador de μ, puede obtenerse el mismo valor de
estimación calculando la media de 64 observaciones.
En general, para
escoger un óptimo estimador de un parámetro, deben combinarse los criterios
de no tendenciosidad (carencia de sesgo) y de eficiencia. Ante dos
estimadores insesgados del mismo parámetro, se preferirá aquel que tenga
mayor eficiencia, es decir, que tenga el mínimo error en términos de
varianza.
Dos tipos de
estimaciones: estimación puntual y estimación por intervalos
Estimación puntual: Es
aquella que considera un único valor como estimación del parámetro; es decir se
usa un solo estadístico muestral para estimar el parámetro poblacional
correspondiente. Ej.: Si se desea conocer el promedio de horas que los alumnos
universitarios dedican a ver televisión se elige aleatoriamente una muestra y se
calcula la media. Se supone que la muestra es representativa de la población y
por lo tanto el valor calculado puede considerarse como una buena estimación del
parámetro correspondiente. Tomamos un único valor como estimación de su
correspondiente parámetro.
La estimación puntual
de un parámetro no es muy significativa si no se acompaña de alguna medida del
error probable que se comete al realizar la estimación. Por ello las
estimaciones suelen ser de intervalo.
Estimación por
intervalos: Hasta ahora hemos ofrecido un solo valor, un solo punto, como
estimación del parámetro de que se trate. Por otra parte, no podíamos indicar la
diferencia probable entre el parámetro y el estadístico, es decir el error
probable cometido al estimar el parámetro. Lo único que podemos afirmar en la
mayoría de los casos es que ese error tenderá a disminuir a medida que vaya
aumentando el tamaño de la muestra mediante la cual intentamos estimar el
parámetro.
En la estimación por
intervalos vamos a ofrecer una infinidad de valores, un intervalo de puntos,
dentro del cual esperamos se encuentre el parámetro. Además indicaremos la
probabilidad o confianza con la que esperamos se encuentre el parámetro dentro
de dicho intervalo.
Llamaremos "intervalo
confidencial" al intervalo dentro del cual confiamos se encuentre el parámetro
que va a ser estimado.
Llamaremos "nivel de
confianza" a la probabilidad o grado de confianza según el cual afirmaremos que
el parámetro se encuentra dentro del mismo. A veces, este nivel de confianza o
probabilidad confidencial suele venir multiplicado por 100. Así, se suele hablar
de nivel de confianza del 95% en vez de p=0.95.
A veces también, en vez
de utilizar el nivel de probabilidad, por ej. 0.95, se suele expresar el margen
de riesgo al hacer la estimación, α=0.05, que quiere decir que admitimos un
margen de riesgo del 5% de que el parámetro no se encuentre dentro del intervalo
confidencial.
Llamaremos "límites
confidenciales" a los dos extremos (inferior y superior) del intervalo
confidencial.
Para ilustrar la
estimación del intervalo, refirámonos a la media como estimación de
μ.
Sabemos que si se escogen aleatoriamente muestras de tamaño n a partir de una
población con media μ
y varianza σ2,
la distribución muestral de la media tendrá también una media
μ
y una varianza σ2/N
y si n es lo suficientemente grande, la distribución es normal.
La desviación típica de
esta distribución muestral, o sea el error típico de la media es . Si esto es
así, el 68% de las observaciones se hallarán dentro del intervalo y .
Aproximadamente el 95% de las estará dentro del intervalo y , puesto que
aproximadamente el 95% del área bajo la curva normal se halla dentro de dos
desviaciones típicas respecto a la . Mediante la tabla de áreas de la
distribución normal podemos determinar exactamente cuantas desviaciones típicas
debemos alejarnos en cualquier dirección de la para establecer intervalos que
incluyan el 70%, 90%, 95%, 99% o cualquier otro porcentaje bajo la curva.
1º) de la población
normalmente distribuida, siendo σ2
conocida.
Sabemos por lo que se
vio al hablar de distribuciones muestrales que la distribución muestral de la
media, calculada a partir de todas las muestras posibles de tamaño n que se
puede recoger de una población N, está normalmente distribuida y tiene una media
y una varianza σ2/N.
Resumen:
|
Límite superior del intervalo |
||
| |
||
|
Límite inferior del intervalo |
Algunos ejemplos
de intervalos de confianza
Supongamos que la
σ2
de la población de alumnos de 1º ESO en velocidad lectora es de 64 puntos.
Seleccionamos al azar una muestra de 144 sujetos y obtenemos una media
aritmética de 75 palabras. Se desea establecer el intervalo de confianza para la
con un nivel de confianza del 99%.
En toda estimación por
intervalo se tiene un estadístico (valor calculado en la muestra) o estimador al
que hay que sumar y restar el valor de su error muestral máximo al nivel de
confianza establecido.
Siguiendo los pasos expresados anteriormente tenemos
|
76.7286 |
|||
| α= 0.01 |
μ=75±2.58*0.67 |
3.4572 |
|
|
1.7286 |
73.2714 |
Lo que significa
que tenemos un 99% de confianza de que la media de la población no sea menor que
73.2714 ni mayor que 76.7286, o que esté entre estos dos valores extremos.
|
76.31 |
|||
| α= 0.05 |
μ=75±1.96*0.67 |
2.62 |
|
|
1.31 |
73.69 |
Lo que significa
que tenemos un 95% de confianza de que la media de la población no sea menor que
73.69 ni mayor que 76.31, o que esté entre estos dos valores extremos.
Pueden darse dos casos, según el número de elementos de la muestra:
¬ Si N es grande (≥30) se procede como en el caso anterior, tomando en el por numerador la desviación típica de la muestra ya que la es desconocida.
Si N es pequeño (>30) el procedimiento general es el mismo, excepto en dos
detalles. Uno es que la desviación típica de la muestra es un estimador sesgado
de la desviación típica de la población, y para evitar este sesgo el error de la
media es . Otro es que distribución muestral sigue el modelo teórico de la t de
Student con g. l. = N-1; en vez de buscar en la tabla de áreas el punto crítico
para calcular el error muestral máximo, habrá que encontrarlo en la tabla "t" de
Student para α/2 y g.l.=N-1, llamándose "t" en vez de zi.
Por ejemplo:
Se sabe que la variable “número de palabras correctamente escritas del vocabulario fundamental de 1º ESO” se distribuye normalmente. Seleccionada una muestra de 20 alumnos se encontró una media de 45 y una desviación típica de 8. Determina el intervalo confidencial para la media aritmética con α= 0.01.
Ê Como n es menor que 30, el error de la media será
Ë Trabajamos con α= 0.01 y al estimar el parámetro habrá que tomar α/2.
Ì Para α/2; 0.01/2=0.005; entrando en la tabla de valores "t" encontramos un valor de 2,861. Este valor aparece mirando en la primera columna de la tabla (g.l.) que en nuestra caso es N-1; 20-1=19 y para un nivel de significación de dos colas, (0.01). En la intersección de columna y fila aparece el valor 2,861; t=2.861 es el valor equivalente a la zi anterior.
Í
Construimos el intervalo de confianza, que será en este caso:
|
50.24 |
|||
| |
μ=45±2.861*1.83 |
||
|
39.76 |
Se tiene la
confianza del 99% de que la media de la población de alumnos de 1º ESO en esa
variable no sea ni inferior a 39.76 ni superior a 50.23, o que está entre estos
dos valores extremos.
De la misma manera se puede estimar cualquier parámetro ya que lo único que necesitamos es el valor del estadístico calculado en la muestra y el error típico de ese estadístico.
Error típico de
la media:
donde σ = desviación
típica de la población. Si no se conoce se toma la (Sx) de la muestra y N=
número de elementos de la muestra.
Si el número de
elementos de la muestra es pequeño, la Sx de una muestra es un estimador sesgado
de la desviación típica de la población. En este caso el error de la media viene
dado por en donde el denominador N-1 corrige el sesgo de la desviación típica
que figura en el numerador
Error típico de la
mediana:
Viene dado por
Error típico de la
desviación típica:
Error típico de una
proporción o porcentaje:
|
Proporción |
Porcentaje |
|
, p y q son las proporciones |
, P y Q son los porcentajes |