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ESTIMACIÓN
INFERENCIA ESTADÍSTICA.- Es el conjunto de métodos de los cuales se realizan
inferencia o generalizaciones acerca de una población.
Existen dos métodos para estimar los parámetros de la población:
1. - Método clásico.- se utiliza solo la información obtenida de una muestra
aleatoria de la población para realizar una inferencia acerca de esta.
2. -Método bayesiano.- además de aplicar lo que utiliza el método clásico, en
este método se emplea el conocimiento subjetivo acerca de la distribución de
probabilidad de los parámetros desconocidos.
La inferencia estadística puede dividirse en dos áreas principales, en esta
parte trataremos estimación:
- Estimación
- Prueba de hipótesis
En esta parte trataremos lo referente a la Estimación.
METODOS CLÁSICOS DE ESTIMACIÓN
Como ya se indico, en estos métodos solo se utiliza la información que puede
proporcionar la muestra para inferir acerca de algún parámetro poblacional
(media, varianza, proporción, etc.).
Algunos aspectos utilizados son:
ESTIMACIÓN PUNTUAL Es un valor simple 
de algún estadístico (
) utilizado como estimador del parámetro poblacional .
ESTIMADOR O FUNCION DE DECISIÓN. Es el estadístico que se emplea para obtener
una estimación puntual
ESPACIO DE ACCIONES O DECISIONES. Es el conjunto de todas las acciones posibles
que pueden tomarse en un problema de estimación.
ESTIMADOR INSESGADO. SE dice que un estadístico ( ) es un
estimador insesgado del parámetro si:
son estimadores insesgados de los parámetros
, respectivamente porque:
ESTIMADOR MÁS EFICIENTE. Si se consideran todos los posibles estimadores
insesgados de un parámetro poblacional, el que tenga la varianza más pequeña
será el más eficiente.
ESTIMACIÓN POR INTERVALO. Es determinar el intervalo en el cual se esperaría
encontrar el valor del parámetro poblacional.
INTERVALO DE CONFIANZA. Es el intervalo definido entre los limites de confianza
superior e inferior e indican la probabilidad de que el parámetro de la
población se encuentre en ese intervalo.
LIMITES DE CONFIANZA. Son los extremos del intervalo de confianza.
COEFICIENTE DE CONFIANZA. Se llama el área de
Entre más grande sea el coeficiente de confianza, más amplio será el intervalo,
sin embargo, por lo general, es más preferible un intervalo corto aunque el
coeficiente de confianza sea menor.
Si se quiere un intervalo corto sin sacrificar el grado de confianza, tendrá que
tomarse un tamaño de muestra más grande.
ESTIMACIÓN DE LA MEDIA
Un estimador puntual de la media 
de la población esta dado
por el estadístico 
. La distribución muestral de
esta centrada en . La media de la muestra
se utilizara como estimación puntual para la media
de la población. Cuando n es grande es probable que
sea una estimación muy exacta de .
INTERVALO DE CONFIANZA PARA ; CON
CONOCIDA
Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población, con
varianza conocida 
un intervalo de confianza
para esta dada por:
Para muestras pequeñas seleccionadas a partir de poblaciones normales no se
puede esperar que le grado de confianza sea muy exacto. Sin embargo, en el caso
de muestras de tamaño n>=30; la teoría del muestreo garantiza buenos resultados,
independientemente de la forma de la población. Si es en
realidad el valor central del intervalo, entonces estima a
sin error. No obstante, la mayor parte de las veces
no será exactamente igual a ,cometiéndose
un error en la estimación.
Si se utiliza como una estimación de ,
se puede tener una confianza de de que el error no excederá
En ocasiones se desea saber que tan grande deberá ser la muestra para asegurar
que el error al estimar ser menor que una cantidad
especifica e.
Si se utiliza como una estimación de, se
puede tener una confianza de de que el error será menor que
una cantidad especificada e cuando el tamaño de la muestra es:
Un intervalo de 95% de confianza indicaría que existe una probabilidad del 95%
de que la media de la población se encuentre en dicho intervalo.
Otra forma de interpretar un intervalo de confianza del 95%, nos indicara que de
100 intervalos calculados el 95 de estos esperaríamos encontrar la media
poblacional.
Ejemplo.
La media y la desviación estándar para los promedios de puntuación de una
muestra aleatoria de 36 estudiantes de los últimos semestres de una carrera
universitaria son 2.6 y 0.3, respectivamente. Obtenga los intervalos de
confianza de 95% y 99% de la media de todo el grupo de estudiantes.
SOLUCION.
La estimación puntual dees = 2.6. Puesto
que el tamaño de la muestra es grande la desviación estándar puede
aproximarse mediante s = 0.3. El valor de z que delimita un área de 0.025 a su
derecha y, por lo tanto un área de 0.975 a su izquierda, es 
.
En consecuencia, el intervalo de confianza de 95% es:
El cual se reduce a:
Para hallar un intervalo de confianza del 99%, se determina el valor de z que
delimita un área de 0.005 a la derecha y de 0.995 a la izquierda. Por
consiguiente, y el intervalo de confianza de 99% es:
o simplemente:
Se observa ahora que se requiere un intervalo mayor para estimar
con un grado de exactitud mas alto.
El error máximo que se esperaría cometer con una confianza del 95% es:
Si se quiere disminuir el error en la estimación en un 50% entonces se tendría
que determinar un nuevo tamaño de muestra que garantizara un error máximo de
(0.098) (0.50) = 0.049 con una confianza del 95%, como se indica a continuación:
Se tendría que tomar una muestra de 144
En el caso de que el tamaño de la muestra sea pequeña y la población sea
aproximadamente normal con varianza desconocida, un intervalo de confianza
para esta dado por:
donde :
Ejemplo.
Los contenidos de ácido sulfúrico en 7 recipientes similares son: 9.8, 10.2,
10.4, 9.8, 10.0, 10.2 y 9.6 lts. Obtenga un intervalo de confianza de 95% para
la media de todos los recipientes, suponiendo una distribución aproximadamente
normal.
SOLUCION.
La media y la desviación estándar de la muestra de los datos proporcionados son:
para v = 6 grados de libertad. En consecuencia, el intervalo
de confianza de 95% para es:
lo cual se reduce a:
LIMITES DE TOLERANCIA
En ocasiones no es de mucha utilidad establecer un intervalo de confianza que
contenga un valor único , en algunos problemas de tipo
industrial se requiere un intervalo de confianza en el que haya una proporción o
porcentaje fijo de las medias correspondientes a alguna característica del
producto fabricado.
Tales intervalos se llaman intervalos de tolerancia y sus puntos extremos se
denominan limites de tolerancia.
En la mayoría de los procesos industriales rara vez se conocen los valores de
.Sin embargo, los limites de tolerancia pueden definirse
sustituyendo por las estimaciones de la muestra,
y s, respectivamente formando el intervalo
donde k se obtiene de tablas.
Para una distribución normal de medias con media y una
desviación estándar desconocidas, los limites de tolerancia
están dados por donde k se determina dé manera que pueda
afirmarse una confianza de 100y% que los limites dados contienen por lo menos la
proporción 
de las medias.
Ejemplo:
Una maquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica: Se toma una muestra de
estas piezas y encuentra que los diámetros son: 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99,
0.98, 1.01, 1.03 cm. Determinar los limites de tolerancia que contendrán 95% de
las piezas metálicas producidas por la maquina con una confianza dl 99%
suponiendo que la distribución es aproximadamente normal.
SOLUCION:
La media y la distribución estándar de la muestra para los datos anteriores son:
de la tabla para n = 9, y = 0.99 y =0.95
se obtiene k = 4.55, por consiguiente los limites de tolerancia son:
Este intervalo de tolerancia que contiene el 95% de las medidas con confianza
del 99%. Significa que si se tomaran 100 muestras de tamaño n = 9, en 99 de
ellos se esperaría encontrar el 95% del total de las medidas.
ESTIMACION DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS
Ejercicios propuestos:
Texto: Manson y Lind
Págs.: 500...502
Ejercicios:1....4
Si se seleccionan muestras independientes a partir de poblaciones normales o, en
caso contrario si 
son mayores que 30, se puede establecer un
intervalo de confianza para 
considerando la distribución de
INTERVALO DE CONFIANZA CON
CONOCIDAS.
donde:
El grado de confianza es exacto cuando se seleccionan muestras a partir de
poblaciones normales. En caso de poblaciones no normales, se obtiene un
intervalo de confianza aproximado muy aceptable sí 
Ejemplo:
50 muchachas y 75 muchachos presentan un examen de química, las chicas
obtuvieron una calificación promedio de 76 con desviación estándar de 6, de los
chicos fue 82 con desviación estándar de 8. Encontrar el intervalo de confianza
de 96% para la diferencia donde 
es la
puntuación media de todos los muchachos y 
la de todos las
chicas.
SOLUCION.
La estimación puntual de es
Puesto que grandes, se puede sustituir 
.
Utilizando 
, se obtiene 
. En
consecuencia, sustituyendo en la formula, el intervalo de confianza de 96% es:
Si los tamaños de las muestras son pequeñas, se debe recurrir a la distribución
t cuando las poblaciones están distribuidas en forma aproximadamente normal como
el siguiente caso.
INTERVALO DE CONFIANZA EN MUESTRA PEQUEÑAS PARA
; DONDE 
PERO DESCONOCIDAS
Si son las medias de las muestras aleatorias
pequeñas independientes de tamaños respectivamente, a
partir de las poblaciones aproximadamente normales con variaciones desconocidas
pero iguales, un intervalo de confianza
para
esta dado por:
donde:
INTERVALO DE CONFIANZA CON MUESTRAS PEQUEÑAS PARA
; CON 
DESCONOCIDAS
Si 
son las medias y las varianzas de las
muestras independientes pequeñas de tamaño respectivamente,
tomadas de distribuciones aproximadamente normales con varianzas diferentes y
desconocidas, un intervalo de confianza
para
esta dado por:
ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCION
Si no se espera que la proporción p desconocida en un experimento
binomial este demasiado cercana a 0 o a 1, puede establecerse un intervalo de
confianza para p considerando la distribución muestral .
INTERVALO DE CONFIANZA PARA p, A PARTIR DE UNA MUESTRA GRANDE
Si 
es la proporción de éxitos de una muestra
aleatoria de tamaño 
un intervalo de confianza de
para el parámetro binomial p esta dado por:
Cuando n es pequeña y la proporción desconocida p se considera cercana a 0 o -1,
el intervalo de confianza descrito no es confiable y, por lo tanto, no debe ser
utilizado. Para esta de su confiabilidad, se requiere que los productos
Ejemplo:
En una muestra aleatoria de 500 familias propietarias de aparatos de televisión
en la ciudad de Morelia, se encontró que 340tienen telecable. Obtener un
intervalo de confianza de 95% para estimar la proporción real de familias que
cuentan con telecable.
SOLUCION.
La estimación puntual de p es = 340/500 = 0.68
. Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% para p es:
Lo cual significa que existe una probabilidad del 95% de que la proporción real
se encuentre en el intervalo antes indicado.
Si se utiliza como una estimación de p, puede tenerse una
confianza de de que el error no excederá de
Del ejemplo anterior, el error no excederá de:
Si se quiere disminuir el error en la estimación en un 30% con respecto a lo
anterior entonces se desea un error de (0.04)(0.70) = 0.028 lo cual conduce a
tomar una muestra de:
Para determinar una tamaño de muestra sin conocer se toma
una muestra 30 para obtener una estimación de p y utilizarla para calcular n.
Si se utiliza como una estimación de p, se puede tener por
lo menos una confianza de de que el error no excederá de
una cantidad especificada e cuando el tamaño de la muestra sea:
Por lo tanto, para el ejemplo anterior, con el error disminuido,
Obsérvense que no es necesario tomar un muestreo preliminar para calcular
como en el caso anterior.
ESTIMACION DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES
Un intervalo de confianza para 
puede
establecerse considerando la distribución muestral de , la
cual representa una distribución muestral con media y varianza indicadas a
continuación y con 
.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA A PARTIR DE
MUESTRAS GRANDES
Si 
son las proporciones de éxitos de
muestras aleatorias de tamaños n1 y n2 respectivamente y, además
entonces un intervalo de confianza
para la diferencia de dos parámetros binomiales esta dado
por:
Ejemplo:
Se considera cierto cambio en un procedimiento de fabricación de determinadas
partes componentes. Se toman muestras utilizando el procedimiento existente y el
procedimiento nuevo, a fin de resolver si este ultimo da por resultado un
mejoramiento. Si se encontró que estuvieron defectuoso 75 de 1500 elementos
manufacturados con el procedimiento existente y 80 de 2000 fabricados con el
nuevo procedimiento. Obtener un intervalo de confianza del 90% para la
diferencia verdadera en la fracción de defectuosas entre el proceso existente y
el nuevo.
SOLUCION:
El porcentaje de partes defectuosas para los dos procedimientos es:
para el procedimiento existente y el nuevo respectivamente.
Como los tamaños de muestra son >=30 es posible utilizar la distribución normal
para determinar 
obteniéndose el intervalo siguiente:
Puesto que el intervalo contiene el valor cero, no hay razón para creer que el
nuevo procedimiento produjo una disminución significativa en la proporción de
piezas defectuosas con respecto al método ya existente.
ESTIMACION DE LA VARIANZA
Se toma una muestra de tamaño n de una población normal con
varianza 
y se calcula la varianza de muestra
, se obtendrá un valor del estadístico 
.
Esta varianza de la muestra calculada se utilizará como estimación puntual de
. En consecuencia al estadístico será un
estimador de ,
Se puede establecer una estimación por intervalo de
utilizando el estadístico:
Para una muestra aleatoria particular de tamaño n, se calcula la varianza de la
muestra y resulta el siguiente intervalo de confianza de
para .
INTERVALO DE CONFIANZA PARA
Si es la varianza de una muestra aleatoria
de tamaño n de una población normal, un intervalo de confianza
para .
donde 
son valores de la variable aleatoria con distribución
grados de libertad, que delimitan áreas de
respectivamente, a su derecha.
Un intervalo de confianza de para se
obtiene tomando raíz cuadrada de cada punto extremo del intervalo para
.
Ejemplo:
Los siguientes son los pesos, en kg. de 10 paquetes de semillas de pasto,
distribuidos por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.2 y
46.0. encuentre un intervalo de confianza del 95% para la varianza de todos los
paquetes de semillas distribuidos por la empresa suponiendo una población
normal.
SOLUCION:
Se halla primero
para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige 
.
Luego, utilizando las tablas con v = 9 grados de libertad, se obtiene
. Por consiguiente, el intervalo de confianza de 95% para
esta dado por:
ESTIMACION DE LA RAZON DE DOS VARIANZAS
Una estimación puntual de la relación de dos variantes
poblacionales 
esta dada por la razón 
de las varianzas muestrales. En consecuencia, el estadístico 
se llama estimador de
Si 
son las varianzas de poblaciones normales, se puede
establecer una estimación por intervalo de utilizando el
estadístico:
Para cualesquiera dos muestras aleatorias independientes de tamaños
seleccionadas a partir de dos poblaciones normales se
calcula la razón de las varianzas muestrales y se obtiene
el siguiente intervalo de confianza para
.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA .
Si son las varianzas de muestras
independientes de tamaños , respectivamente, tomadas de
poblaciones normales, entonces un intervalo de confianza
para es:
donde:
es un valor de f con 
grados de
libertad, que delimita un área de 
a su derecha y
es un valor de f similar con 
grados
de libertad .
Como en la sección anterior, un intervalo de confianza de
para se obtiene tomando la raíz cuadrada de cada punto
extremo del intervalo para
Ejemplo:
Un intervalo de confianza para la diferencia de los contenidos de ortofósforo,
medidos en mg/L en dos estaciones ubicadas sobre río James, se determina
mediante la suposición de las variantes de las poblaciones normales son
distintas. Justifique esta hipótesis encontrando un intervalo de confianza del
98% para y para 
donde
son las varianzas de las poblaciones de contenido de
ortofósforo en las estaciones 1 y 2, respectivamente.
SOLUCION:
. Para un intervalo de confianza del 98%,
Interpolando en la tabla, se obtiene 
.
En consecuencia, el intervalo de confianza de 98% para 
lo cual se simplifica:
Tomando la raíz cuadrada de los limites de confianza, resulta que
un intervalo de confianza del 98% para es:
EJERCICIOS PROPUESTOS
ESTIMACIÓN
ESTIMACÓN DE LA MEDIA Y LIMITES DE TOLERANCIA
1.- Un fabricante produce focos que tienen 8un promedio de vida
con distribución aproximadamente normal y una desviación estándar de 40 hrs. Si
una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 hrs, encuentre el
intervalo de confianza del 96% para la media poblacional de todos los focos que
produce esta empresa.
2.- Una maquina de refrescos esta ajustada de tal manera que la cantidad de
líquidos despachada sé distribuye aproximadamente en forma normal con una
desviación estándar igual que 0.15 decilitros. Encuentre un intervalo de
confianza de 95% para la media de todos los refrescos que sirve esta maquina si
una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2.25
decilitros.
3.- Las alturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes mostraron una media
de 174.5 cm, y una desviación estándar de 6.9 cm. a) Determinar un intervalo de
confianza de 98% para la altura promedio de todos los estudiantes. b) ¿Qué se
puede afirmar con un 98% de confianza acerca del posible tamaño del error si se
estima que las alturas promedio de todos los estudiantes es de 174.5 cm. ?
4.- Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóviles indica que: en el
estado de Virginia un automóvil recorre un promedio de 23,500 km. por año con
una desviación estándar de 6900 km. 1.- Determine un intervalo de confianza del
99% para la cantidad promedio de km que un automóvil recorre anualmente en
Virginia. 2.- ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 99% respecto al
posible tamaño del error si se estima que la cantidad promedio de km recorridos
por los propietarios de vehículos en Virginia es de 23,500 km. al año?
5.- ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra en el ejercicio 1 si se
desea tener una confianza del 96% de que la media muestral esta dentro de las
100 hrs del promedio real? 6.- ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra
en el ejercicio 2 si se desea tener una confianza del 95% de que la media
muestral esta dentro de 0.09 decilitros del promedio real?
7.- Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma el
hacer tres perforaciones en cierta pieza metálica. ¿Qué tan grande se requiere
que sea la muestra si se necesita una confianza del 95% de su media muestral,
estará dentro de 15 segundos del promedio real? Asuma que, por estudios previos
se sabe que s = 40 segundos.
8.- Un investigador de la universidad UCLA afirma que el ciclo de vida de los
ratones puede prolongarse hasta en 25% cuando las calorías de su alimentación se
reducen en aproximadamente 40% desde el momento que se les desteta. Las dietas
con restricciones son enriquecidas a niveles normales con vitaminas y proteínas.
Suponiendo que, por estudios previos, se sabe que s = 5.8 meses, ¿cuantos
ratones deben incluirse en la muestra si se desea tener una confianza del 99% de
que el ciclo promedio poblacional de vida de la muestra estará dentro de los dos
meses del promedio poblacional para todos los ratones sujetos a esta dieta?
9.- El consumo regular de cereales preendulzados contribuya a la caída de los
dientes, enfermedades del corazón y otros procesos degenerativos de acuerdo con
los estudios del Dr. W. H. Bowen del National Institutes of Yudben, profesor de
nutrición y dietética de la universidad de Londres. En una muestra aleatoria de
20 porciones sencillas de cereal el contenido promedio de azúcar fue de 11.3
gramos. Suponiendo que los contenidos de azúcar están distribuidos normalmente,
determine un intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio de azúcar
de porciones sencillas de dicho cereal, si la desviación estándar muestral es de
2.45 gramos.
10.- Una maquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una
muestra de piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99,
1.01 y 1.03 cm. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro de
piezas de esta maquina, si se supone una distribución aproximadamente normal.
11.- Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una marca determinada tiene un
contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de
0.9 miligramos. Determine un intervalo del 995 de confianza para el contenido
promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular, asumiendo que
la distribución de los contenidos de nicotina son aproximadamente normales.
12.- Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de la
dureza Rokwell de la cabeza de las agujas. Se realizan las mediciones de la
dureza para cada una de las 12 piezas, de lo que se obtiene un valor promedio de
48.50 con una desviación estándar de 1.5. Suponiendo que las mediciones están
normalmente distribuidas determine un intervalo de confianza del 90% para la
dureza Rokwell promedio.
13.- Una muestra aleatoria de 12 alumnas graduadas de una escuela secretarial,
mecanografío un promedio de 79.3 palabras por minuto con una desviación estándar
de 7.8 palabras por minuto. Suponiendo una distribución normal para la cantidad
de palabras mecanografiadas por minuto, encuentre un intervalo de confianza del
95% para él numero promedio de palabras mecanografiadas por todas las graduadas
de esta escuela.
14.- Una muestra aleatoria de 25 cigarros de una marca determinada tiene un
promedio de nicotina de 1.3 miligramos y una desviación estándar de 0.17
miligramos. Encuentre los limites de tolerancia del 95% que contendrán el 90% de
los contenidos de nicotina para esta marca de cigarros, suponiendo que las
mediciones están normalmente distribuidas.
15.- Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas, de
una marca de pintura látex:
Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria
de una población normal, encuentre los limites de tolerancia del 99% que
contendrán el 95% de los tiempos de secado.
16.- Con referencia el ejercicio 4, determine un intervalo de confianza del 99%
que contenga el 99% de las millas recorridas anualmente por automóviles en
Virginia. Asuma que la distribución de las mediciones es aproximadamente normal.
17.- Con referencia al ejercicio 12, determine un intervalo de confianza del 95%
que contenga el 90% de las mediciones.
ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIDAS
1.- Una muestra aleatoria de tamaño n1 = 25 que se toma de una
posición normal con una desviación estándar s1 = 5 tiene una media x1 = 80. Una
segunda muestra aleatoria de tamaño n2 = 36 tomada de una población normal
diferente con una desviación estándar s2 = 3, tiene una media x2 = 75. Encuentre
un intervalo de confianza del 94% para u1 - u2
2.- Se compran dos tipos de rosca de tornillo para ver su resistencia ala
tensión. Se prueban 50 piezas de cada tipo de bajo condiciones similares. La
marca A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 78.3 kilogramos con una
desviación estándar de 5.6 kilogramos, mientras que la marca B tuvo una
resistencia promedio a la tensión de 87.2 kilogramos con una desviación estándar
de 6.3 kilogramos. Determine un intervalo de confianza del 95% para una
diferencia de las dos medias poblacionales.
3.- Se realizo un estudio par determinar si8 determinado tratamiento metálico
tenia algún efecto en la cantidad de metal eliminado en una operación de
inmersión en ácido. Se sumergió una muestra de 100 piezas en un baño durante 24
hrs, sin el tratamiento, dando un promedio de 12.2 milímetros de metal removido
y una desviación estándar muestral de 1.1 milímetros. Una segunda muestra de 200
piezas se expuso al tratamiento y después de una inmersión en el baño durante 24
hrs, lo que resulto en una eliminación promedio de 9.1 milímetros de metal con
una desviación estándar muestral de 0.9 milímetros. Calcule una estimación del
intervalo de confianza del 98% para una diferencia de las medias poblacionales.
¿Parece que el tratamiento reduce la cantidad promedio de metal removido?
4.- En un proceso químico, se comparan dos catalizadores para verificar su
efecto en el resultado de la reacción del proceso. Se preparo una muestra de 12
procesos utilizados, el catalizador numero 1 y una de 10 con el catalizador
numero 2. En el primer caso se obtuvo un rendimiento promedio de 85 con una
desviación estándar muestral de 4, mientras que el promedio de la segunda
muestra fue de 81 con una desviación estándar muestral de 5. Encuentre un
intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las medias
poblacionales, suponiendo que las medias poblacionales están distribuidas
aproximadamente en forma normal con variaciones iguales.
5.- Los estudiantes puedes seleccionar entre un curso de física de 3
semestres-hora sin laboratorio y un curso de 4 semestres-hora con laboratorio.
El examen escrito final es el mismo para ambas secciones. Si 12 estudiantes de
la sección con laboratorio obtuvieron una calificación promedio de 84 con una
desviación promedio de 4 y los mismos parámetros para los 18 estudiantes de la
sección sin laboratorio fueron de 77 y de 6, respectivamente. Encuentre un
intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las calificaciones
promedio de los dos cursos. Asumas que las poblaciones estas distribuidas
aproximadamente normal con variancias iguales.
6.- En un estudio que se realizo en los Virginia Polytechnic Institute and State
University en 1983 sobre el desarrollo de una relación simbólica entre las
raíces de los arboles y un hongo que transfiere minerales a los arboles y
absorbe azucares de los arboles, se plantaron 20 arboles rojos con el hongo
Pisolithus en un invernadero. Todos los arboles se plantaron en el mismo tipo de
terreno y recibieron la misma cantidad de sol y de agua. La mitad no recibió
nitrógeno al momento de plantarse con objeto de que sirviera como control y la
otra mitad recibió 368 ppm de nitrógeno en la forma NaNO3. Al final de 140 días,
se registraron los siguientes valores en gramos para los pesos de los troncos:
Calcule un intervalo de confianza del 95% para las diferencias de
los pesos promedio de los troncos entre aquellos que no recibieron nitrógeno y
los que recibieron 268 ppm del mismo. Asuma que las poblaciones están
normalmente distribuidas con variancias iguales.
7.- Se registraron los siguientes datos en días, que representan los tiempos de
recuperación de pacientes tratados aleatoriamente con uno de dos medicamentos
para aliviarlos de graves infecciones en la vesícula:
Encuentre un intervalo de confianza del 99% para al diferencia u2
- u1 en el tiempo promedio de recuperaciónn para los dos medicamentos, suponiendo
poblaciones normales con variancias iguales.
8.- En un experimento que se reseño en Popular Science en 1981, se comparaban
las economías de combustible para dos tipos de minivehículos diesel equipados en
forma similar. Se supone que se utilizaron 12 automóviles Volkswagen y 10 toyota
en pruebas de velocidad fija de 90 kilómetros por hora. Si para los 12
volkswagen se obtuvo un promedio de 16 km. por litro con una desviación estándar
de 1.0 kilómetros por litro y para los Toyota aquel fue de 11 kilómetros por
litro, con una desviación estándar de 1.7 kilómetros por litro, calcule un
intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre los kilómetros promedio
por litro de estos dos miniautomóviles. Asuma que las distancia por litro para
cada modelo de vehículo se distribuye aproximadamente normal con variancias
iguales.
9.- Una compañía de taxis esta tratando de decidir si comprar la marca A o la
marca B de neumáticos para su flotilla de automóviles. Para asimilar la
diferencia entre las 2 marcas, le lleva a cabo un experimento con 12 neumáticos,
de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se gastan. Los resultados
son:
Calcule un intervalo de confianza para u1 - u2, suponiendo que
las poblaciones tienen distribución normal (intervalo del 95%)
10.- Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas
que se producen por dos compañías cinematográficas:
Calcule un intervalo de confianza del 90% para la diferencia
entre los tiempos promedio de duración de las películas que producen las dos
compañías. Suponga que las diferencias del tiempo de duración tienen una
distribución aproximadamente normal.
11.- El gobierno otorgo a los departamentos de agricultura de nueve
universidades para que probaran las capacidades de rendimiento de dos nuevas
variedades de trigo. Cada variedad se plantó en parcelas de igual superficie en
cada universidad y los rendimientos, en kilogramo por parcela se registraron
como sigue:
Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia
promedio entre los rendimientos de las dos variedades, asumiendo que las
diferencias de rendimiento están distribuidas aproximadamente en forma normal.
Explique porque el comportamiento es necesario en este problema.
12.- Refierace al ejercicio 9 y encuentre un intervalo de confianza para u1 - u2
si se asigna un neumático de cada compañía en forma aleatoria a las ruedas
traseras de 8 taxis y se registran en kilómetros las siguientes distancias:
Asuma que las diferencias de las distancias están distribuidas
aproximadamente normal.
ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Y DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES
1.- a) Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes y se
encuentra que 114 respaldan un convenio de anexión. Encuentre el intervalo de
confianza del 96% para la fracción de la población de votantes que favorece el
convenio. b)¿Que se puede afirmar con una confianza del 96% acerca de la posible
magnitud del error si se estima que la fracción de votantes que favorece el
convenio de anexión es 0.57? 2.- a) se selecciona una muestra aleatoria de 500
fumadores de cigarro y se encuentra que 86 de ellos prefieren la marca X.
Encuentre el intervalo de confianza de 90% para la fracción de la población de
fumadores que prefieren la marca X. b) ¿qué se puede afirmar con una confianza
del 90% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la fracción de
fumadores que prefieren la marca X?
3.- En una muestra aleatoria de 1000 casas de una determinada ciudad, se
encuentra que 228 de ellas tiene calefacción de petróleo. Encuentre el intervalo
de confianza del 99% para la proporción de hogares en esta ciudad que tiene este
tipo de calefacción.
4.- Calcule el intervalo de confianza del 98% para la proporción de artículos
defectuosos en un proceso cuando se encuentra que en una muestra de tamaño 100,
8 tienen fallas.
5.- Sé esta planeando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el
despliegue de cohetes pequeños de corto alcance. El sistema actual tiene una
p=0.8 como probabilidad de un lanzamiento exitoso. Una muestra de 40
lanzamientos experimentales se realiza en un nuevo sistema y 34 de ellos tienen
éxito. a) Determine un intervalo de confianza de 95% para p. b) ¿Consideraría
usted que el nuevo sistema es mejor?
6.- Un especialista en genética esta interesado en la proporción de hombres
africanos que presentan un desorden sanguíneo leve. En una muestra aleatoria de
100 de ellos, se encontró que 24 presentaban dicho desorden. a) Calcule un
intervalo de confianza de 99% para la proporción de hombres africanos que tienen
este desorden sanguíneo. b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 99%
acerca de la posible magnitud del error si se estima que la proporción de
personas con este desorden sanguíneo es 0.24?
7.- a) Deacuerdo con un informe que se publico en el Roancke times & World-News,
el 20 de agosto de 1981, aproximadamente 2/3 de los 1600 adultos investigados
por teléfono dijeron que piensan que el programa espacial es una buena inversión
del país. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la proporción de
adultos en los Estados Unidos que piensa que el programa espacial es una buena
inversión para el país. b)¿Qué se puede afirmar con una confianza de 95% acerca
de la posible magnitud del error si se estima que la proporción de estos adultos
que consideran el programa espacial como una buena inversión es 2/3?
8.- El artículo del periódico al que se hizo referencia el ejercicio 7, 32% de
los 1600 adultos interrogados dijeron que el programa espacial de los Estados
Unidos debe hacer hincapié en la exploración científica. ¿Qué tan grande se
requiere sea la muestra de adultos si se desea tener una confianza de 95% de que
el porcentaje estimado estará dentro del 2% del porcentaje real?
9.- ¿Qué tan grande debe ser la muestra en el ejercicio 1 si se desea obtener
una confianza del 96% de que la población muestral estará dentro de 0.02 de la
fracción real de la población de votantes?
10.- ¿Qué tan grande debe ser una muestra en el ejercicio 3 si se desea tener
una confianza del 99% de que la proporción muestral estará dentro de 0.05 de la
proporción real de hogares en esta ciudad que utilizan calefacción de petróleo?
11.- ¿Qué tan grande debe ser la muestra en el ejercicio 4 si se desea tener una
confianza del 98% de que la proporción muestral estará dentro del 0.05 de la
proporción real de partes defectuosas?
12.- Se realiza un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos de un pueblo
que esta a favor de que su agua se trate con flúor. ¿Qué tan grande debe ser la
muestra si se desea tener al menos una confianza del 95% de que la estimación
estará dentro del 1% del porcentaje real?
13.- Deacuerdo con el Dr. Memory Elvin Lewys, jefe del depto. de microbiología
de la Washington University School of Dental Medicine de San Luis, un par de
tasas diaria de té, proporcionan suficiente flúor para evitar la caída de los
dientes. A las personas que no les gusta el té y viven en áreas carentes de
flúor deben pedir a las autoridades locales que consideren la posibilidad de
tratar a sus aguas con flúor. ¿Qué tan grande debe ser la muestra para estimar
el porcentaje de ciudadanos en una cierto pueblo esta a favor de que sus aguas
sean tratadas con flúor si se desea tener una confianza de al menos 99% de que
la estimación estará dentro del 1% del porcentaje real?
14.- Se realiza un estudio para estimar la proporción de residentes en una
ciudad y en sus suburbios que están a favor de la construcción de una planta de
energía nuclear. ¿ Qué tan grande debe ser la muestra si se requiere una
confianza de al menos 95% de que la estimación estará dentro del 0.04 de la
proporción real de residentes de esta ciudad y sus suburbios que esta a favor de
la construcción de la planta de energía nuclear?
15.- Un especialista en genética esta interesado en la proporción de hombres y
mujeres en la población que tienen un leve desorden sanguíneo. En una muestra
aleatoria de 1000 hombres 250 presentaron esta afección, mientras que otra del
mismo número de mujeres, 275 de ellas lo padecían. Calcule un intervalo de
confianza de 95% para la diferencia entre la proporción de hombres y mujeres que
sufren este desorden sanguíneo.
16.- Una firma productora de cigarros asegura que su marca A de cigarros
sobrepasa en ventas a su marca B en un 8%. Si se encuentra que 42 de 200
fumadores prefieren la marca A y 18 de 150 fumadores la marca B, calcule un
intervalo de confianza del 94% para la diferencia entre las proporciones de
ventas entre las dos marcas y determine si la diferencia del 8% es una
afirmación valida.
17.- Se llevó a cabo una prueba clínica para determinar si determinada
inoculación afecta la incidencia de una enfermedad. Se observó una muestra de
1000 ratas en un ambiente controlado durante 1 año, 500 de las cuales fueron
inoculadas. En el grupo al que no se le aplico la droga hubo 120 casos de esta
enfermedad, mientras que el grupo tratado con la droga, 98 la contrajeron. Si
es la probabilidad de incidencia de la enfermedad en las
ratas no tratadas y 
la probabilidad de incidencia después
de que recibieron la droga, calcule un intervalo de confianza de
ESTIMACION DE LA VARIANCIA Y RAZON DE DOS VARIANCIAS
1.- Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus
baterías duran, en promedio, 3 años con una variancia de 1 año. Si 5 de estas
baterías tienen duraciones de: 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años, determine un
intervalo de confianza de 95% para e indique si es valida
la afirmación del fabricante de que =1Suponga que la
población de las duraciones de las baterías se distribuye aproximadamente en
forma normal.
2.- Se obtiene una muestra aleatoria de 20 estudiantes con una media de x = 72 y
una variancia de 
= 16 en un examen de ubicación de
matemáticas. Suponga que las calificaciones tiene una distribución normal y
determine un intervalo de confianza de 98% para
3.- Determine un intervalo de confianza de 95% para en el
ejercicio 9 de los ejercicios de estimación de la media y limites de tolerancia.
4.- Determine un intervalo de confianza de 99% para en el
ejercicio 10 de los ejercicios de estimación de la media y limites de
tolerancia.
5.- Determine un intervalo de confianza de 99% para en el
ejercicio 11 de los ejercicios de estimación de la media y limites de
tolerancia.
6.- Determine un intervalo de confianza de 90% para en el
ejercicio 12 de los ejercicios de estimación de la media y limites de
tolerancia.
7.- Determine un intervalo de confianza de 98% para en el
ejercicio 8 de los ejercicios de estimación de la diferencia entre dos medias,
donde son respectivamente las estimaciones de las
desviaciones estándar para las distancias que se obtuvieron por litro de
combustible para los minivehículos VW y Toyota.
8.- Determine un intervalo de confianza de 98% para en el
ejercicio 9 de los ejercicios de estimación de la diferencia entre dos medias.
¿Se justifica la suposición de que cuando se determino el
intervalo de confianza para ?
9.- Determine un intervalo de confianza de 90% para en el
ejercicio 10 de los ejercicios de estimación de la diferencia entre dos medias.
¿Se debió suponer que al determinar el intervalo de
confianza para ?
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