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Influencia del Tamaño de Muestra en la Estimación del Factor de Lluvia R

Influence of Length of Record in Estimation of Rain Factor R

C.A. Escalante y L. Reyes

Univ. Nacional Autónoma de México, Fac. de Ingeniería, Dpto. de Hidráulica, Casilla Postal 70-560, 04511 México, D.F.-México

Resumen

En este trabajo se determina la influencia del tamaño de muestra en la estimación del factor de lluvia, R, utilizado en el diseño de obras hidráulicas. Se analizaron 228 registros pluviográficos disponibles en México, y se estimó, mediante el análisis de frecuencias y para diferentes tamaños de muestra, la relación de lluvia R de 1 a 24 horas. Los registros fueron tomados de la estación pluviográfica de Tacubaya en México, que abarcan el período de 1970 a 1996. Cuando la longitud de registro es menor a 20 años, la relación R tiende a variar en forma significativa, y los eventos para el diseño de una obra hidráulica puede subestimarse o sobrestimarse. Para longitudes mayores a 20 años la relación R se estabiliza. Se concluye que es posible determinar el error que se puede cometer en la estimación de gastos de cierto período de retorno para el diseño de una obra hidráulica.

Abstract

This study determines the influence of sample size in estimation of the rain factor R used for the design of hydraulic projects. A total of 228 pluviometric records available in Mexico were analyzed , and the one to 24 hour (R) relationship was determined. The records were taken at the pluviometric station of Tacubaya, Mexico, covering the period 1970 to 1996. When the recording period is less than 20 years, the R ratio tends to vary significantly, and events used in the design of hydraulic projects can be underestimated or overestimated. For records of longer than 20 years, the R ratio becomes stable. It is concluded that it is possible to determine the error incurred in the estimation of costs over a certain period of return for the design of a hydraulic project.

Keywords: hydraulic projects, rainfall intensity, rain factor R, duration-frequency, statistical evaluation

INTRODUCCIÓN

El diseño de una obra hidráulica esta asociado a la ocurrencia de un evento hidrológico de cierto periodo de retorno. La estimación de dicho evento depende de la información disponible en el sitio que se esta analizando.

Cuando existe información hidrométrica, el evento se estima a través de un análisis de frecuencias. Por otro lado, cuando la informa-ción en el sitio es escasa o nula se pueden construir modelos regionales como son el de la avenida índice, las estaciones-año, o el que emplea las técnicas de correlación y regresión múltiple (Cunnane, 1988). Esto, siempre y cuando se disponga de estaciones de aforos en cuencas vecinas, las cuales deben pertenecer a la misma región meteorológicamente homogénea.

Otra forma de estimar dichos eventos en sitios no aforados es mediante el empleo de las relaciones intensidad de lluvia-duración-periodo de retorno (idT) y la aplicación de algún modelo lluvia-escurrimiento.

La construcción de las curvas idT se realiza de acuerdo con la fuente de información disponible, ya sea pluviográfica o pluviométrica. El segundo caso es el más común en México, ya que sólo el 13% de las estaciones climatológicas cuentan con pluviógrafo.

Debido a la escasez de estaciones pluviográficas en el país, la Secretaria de Comunicaciones y Transportes ha construido mapas (SCT, 1990) de igual intensidad de lluvia para duraciones de 10, 30, 60, 120 y 240 minutos y periodos de retorno de 10, 25 y 50 años. Para duraciones y periodos de retorno mayores se ha propuesto un mapa (Mendoza, 2001) con líneas de igual coeficiente R (relación de lluvia de 1 h a 24 h), para que a través de él, y con el análisis de la lluvia máxima en 24 h se estimen la curvas idT. Sin embargo, las muestras empleadas en éste, tienen en su mayoría una longitud de registro relativamente corta, lo cual tiene un efecto importante en la variación del coeficiente R. El empleo de este factor de lluvia tiene un efecto importante en la estimación del gasto con el cual se diseñará una obra hidráulica, este hecho se demostrará más adelante.

METODOLOGÍA

Para determinar el efecto del tamaño de muesra empleado para la construcción de las curvas idT, se procedió a analizar los registros de lluvia máxima para duraciones de 1h y 24 horas. La secuencia propuesta es la siguiente:

Paso 1. Del registro de pluviógrafo se obtienen para cada año las láminas de lluvia máxima para duraciones de 1h y 24 h.

Paso 2. Para cada una de las series, se procede a estratificar en tamaños consecutivos de 10, 15, 20 y 25 años, esto es, si una muestra tiene N = 27 años de registro, se pueden analizar 18 series de tamaño igual a 10 años; 13 de 15 años; 8 de 20 años, y 3 de 35 años.

Paso 3. Si el tamaño de la serie disponible fuese N = 27 años de registro, a cada una de las 18 series de tamaño 10; 13 de 15 años; 8 de 20 años, y 3 de 25 años se les aplica una análisis de frecuencias de eventos extremos máximos, tanto para la duración de 1 hora como la de 24 horas. Las distribuciones de probabilidad utilizadas son (Escalante y Reyes, 2002): Normal (N), Log Normal con 2 y 3 pa-rámetros (LN2, LN3), Gamma con 2 y 3 parámetros (GM2, GM3), Log Pearson Tipo III (LP), Exponencial (E), Gumbel (G), General de Valores Extremos (GVE), Gumbel de dos poblaciones (Gumix) y Valores Extremos de dos Componentes (TCEV). Las técnicas de estimación de parámetros son Momentos (M), Máxima Verosimilitud (MV), Máxima Entropía (ME), Momentos de Probabilidad Pesada (MPP) y Momentos-L (ML).

Paso 4. Para tener un criterio uniforme se selecciona mediante el error estándar de ajuste (Kite, 1988) una sola distribución de probabilidad, la cual caracteriza a la mayoría de las muestras analizadas.

Paso 5. Para cierto periodo de retorno (T = 10 años) se obtienen para cada tamaño de muestra (10, 15, ..., M años) la relación de llu-via de 1 h a 24 h (factor R).

Paso 6. Para cada tamaño de muestra se obtienen los valores mínimo, promedio y máximo del factor R.

Paso 7. Para determinar la influencia que tiene el tamaño de muestra en la estimación del factor R, y por tanto, en el diseño de una obra hidráulica, se puede emplear la fórmula racional con ejemplos hipotéticos.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Con la secuencia descrita en la sección anterior se analizaron los 228 registros pluviográficos disponibles en México. En particular, en la tabla 1 se presentan las láminas de lluvia de 1 h y 24 h registradas durante el periodo de 1970 a 1996 en la estación pluviográfica Tacubaya, D. F.

En este caso se deben ajustar las distribuciones de probabilidad mencionadas en el paso 3 de la sección anterior, a 18 series de 1h y 24 h de tamaño 10; 13 de 15 años; 8 de 20 años, y 3 de 25 años, y se elige la distribución de probabilidad característica de la es-tación climatológica mediante el criterio del error estándar de ajuste.

En la tabla 2 se muestran las relaciones R para los diferentes tamaños de muestras analizadas. La distribución de probabilidad que mejor ajustó a las láminas de lluvia de 1 h y 24 h, fue la General de Valores Extremos por la técnica de los Momentos-L (GVE-ML). En esta tabla se observa que si se estima el coeficiente R con una muestra de tamaño 10, los valores pueden variar de acuerdo con el periodo disponible de 0.606 a 0.790, y cuyo impacto se puede ejemplificar como sigue:

Si se requiere diseñar un colector pluvial, cuya área drenada fuese de A = 10 km², y las características de la cobertura vegetal y usos de suelo arrojaran un coeficiente de escurri-miento igual a C_e = 0.30; además, si el tiempo de concentración de la cuenca fuese de d = t_c = 1 h, entonces, sólo se requiere estimar a partir del análisis de la lluvia máxima en 24 h aquella que corresponda al periodo de retor-no, por ejemplo, T = 10 años, así:

y la intensidad de lluvia de 24 h asociada a ese periodo de retorno se obtiene como:

Para determinar las intensidades correspondientes a 1 h de duración, se deberá multiplicar el coeficiente de lluvia R por la intensidad máxima en 24 h, así, para el primer caso se tiene:

En tanto que para el segundo caso es:

A partir de la fórmula racional,

El gasto estimado para un periodo de retorno de T = 10 años considerando el mínimo valor de R = 0.606 es:

Por otro lado, si se hubiese empleado la muestra de 10 años con el valor de R = 0.790 el gasto para el diseño del colector es:

Este último valor representa un incremento del 30% en el gasto, con referencia a aquel obtenido con el menor valor del coeficiente R.

De la misma tabla 2 se observa que conforme el tamaño de muestra se incrementa, la diferencia entre el mínimo y el máximo valor del factor R ya no es tan significativa, y que tiende a tomar un valor de 0.65. Con esta última cifra, la intensidad sería:

Por lo que el gasto es:

Con estos resultados se tiene que el colector pluvial pudiera estar subdiseñado en un 8% si se hubiese utilizado el registro de 1972 a 1981 para estimar el valor de R, o sobrediseñado en un 21% se el valor adoptado fuese obtenido mediante el registro del periodo 1981 a 1990.

En la tabla 3 se presentan los valores mínimo y máximo para cada tamaño de muestra analizado de algunas de las estaciones climatológicas. De esta tabla se observan grandes diferencias en el valor del coeficiente R conforme el tamaño de muestra utilizado es más pequeño, y tiende a estabilizarse al incrementarse la longitud disponible.

Si se aplica nuevamente la fórmula racional para la misma situación del ejemplo anterior pero para la estación Oaxaca, Oax., se tendría para el tamaño de muestra de 10 años y el mínimo valor de R

En tanto que para el máximo valor de R

El valor esperado de R para la máxima longitud de registro disponible es de 0.583. El gasto calculado es:

Lo que representaría el subdiseño del colector en un 21% al emplear el primer registro, o un sobrediseño del 29% para el segundo caso.

CONCLUSIONES

Se ha presentado un análisis que determina el error que se puede cometer en la estimación de gastos de cierto periodo de retorno para el diseño de una obra hidráulica, al utilizar los coeficientes de lluvia R calculados a través del uso de muestras pequeñas.

Se observa en general que cuando se usan muestras menores a 20 años la variación del coeficiente R es alta, y tiende a estabilizarse para tamaños mayores a 20 años. De esto último se desprende la necesidad de reconstruir el mapa nacional de coeficientes R sólo considerando muestras mayores a 20 años, condición que reduciría la densidad de estaciones debido a la escasez de información disponible.

El efecto práctico de la variación del coeficiente R y su empleo en el diseño de una obra hidráulica se mostró a través de dos ejemplos. En ambos se observa que se pueden alcanzar sobrediseños del 21% o 29% con respecto a aquel que toma en cuenta la máxima longitud de registro disponible, lo que puede producir diseños más seguros pero no viables desde el punto de vista económico. O más aún, subdiseños del 8% o 21% al considerar un gasto menor con el correspondiente incremento en el riesgo de falla de la estructura.

REFERENCIAS

Escalante, C., y L., Reyes. Técnicas estadísticas en hidrología. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México. 298 p. (2002).

Cunnane, C. Methods and merits of regional flood frequency analysis. Journal of Hydrology 100(1-4): 269-290 (1988).

Mendoza, M. Factores de regionalización de lluvias máximas en la República Mexicana. Tesis de maestría. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México (2001).

Kite, G.W. Frequency and risk analyses in hydrology. Water Resources Publications. USA. 257p. (1988).

SCT, Secretaría de Comunicaciones y Transportes. Isoyetas de intensidad-duración-frecuencia de la República Mexicana. México (1990).

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