HISTÓRIA DA GEOMETRIA
Uma estranha construção
feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso
antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de
Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São
etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação
dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as
bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam
concretizadas nas figuras geométricas.
As origens da Geometria
(do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do
dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas,
observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades
humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as
antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do
assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio
de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a
Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de
Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de
Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o
introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.
Pitágoras deu nome a
um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo
conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século
VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério
seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução
de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o
progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos
conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas)
para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos
fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles
referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até
hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em
postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.
As primeiras unidades
de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé,
passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no
Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas
tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude
das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas
construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as
primeiras medidas oficiais de comprimento.
Tanto entre os sumérios
como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também
os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a
construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual
reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje.
Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em
seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos:
dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos,
secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.
O problema mais comum
para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O
processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto
já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por
meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo.
Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades
respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo,
a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto
ao ângulo reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25.
Qualquer trio de números
inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos,
que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.
Os sacerdotes
encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a
calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo
dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície
retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de
mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes
quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo:
multiplicar a base pela altura.
Já para descobrir a área
do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico.
Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em
quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo
12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado
em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos
iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.
Quando deparavam com
uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros
cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação:
começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis
do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares,
cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje -
produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos
curvos.
De fato, muitos
terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há
que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como
determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por
circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma
superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos,
grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la
em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da
figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha
algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e
colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam
comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse
o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a)
o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o
de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma
circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por
6,28.
E a área do círculo?
A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000
anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo
no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área
da figura.
Conta a tradição que
Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de
um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo.
Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como
lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava
contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três
vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para
saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído
sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.
O número 3,14 é básico
na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato:
3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional,
já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu
nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria,
significando circunferência.
Por volta de 500 a.C.,
as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras
coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da
Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião.
A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um
compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo
instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do
Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a
Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e
suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.
Uma dessas figuras foi
chamada polígono, do grego polygon, que significa
"muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas
por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento
de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da
antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada
para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram
solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um
observador e o cálculo da altura de uma construção.
No primeiro caso, para
calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um
curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles
pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o
outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam
exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos
agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a
distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a
costa.
O cálculo da altura de
uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples:
crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a
extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela
estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta
medir a sombra para conhecer a altura.