Exercício 1:

Campo nas vizinhanças de uma carga puntiforme: Calcule o campo elétrico a uma distância r de uma carga puntiforme q através da Lei de Gauss.

Solução:

Por simetria deve ser radial a superfície escolhida: esférica

a componente normal

Assim, deduzimos a Lei de Coulomb da Lei de Gauss. Como obtivemos a Lei de Gauss a partir da Lei de Coulomb, mostramos que as duas são equivalentes.

Exercício 2:

Campo nas vizinhanças de um plano infinito de carga: Calcule o campo elétrico nas vizinhanças de um plano infinito carregado, com densidade superficial de carga

Solução:

Seja o plano de cargas elétricas o plano xy.

Por simetria sabemos que o campo elétrico deve ser perpendicular ao plano e deve depender apenas da distância z ao plano.

O campo elétrico deve ter o mesmo módulo nas duas faces do plano, nas direções opostas.

A superfície gaussiana neste caso será um cilindro.

Cada base é paralela ao plano e tem área A. Como é paralelo à superfície cilíndrica não há fluxo do campo elétrico através da lateral do cilindro. Porém, o fluxo do campo elétrico através de cada base do cilindro é de modo que o fluxo total é 2

A carga no interior da superfície é

Exercício 3:

Um plano infinito com densidade superficial de carga está no plano yz e um segundo plano infinito de cargas, com a densidade superficial de carga. está num plano paralelo ao plano yz, em . Achar o campo elétrico em (a) m e (b) m.

Solução:

Exercício 4:

Simetria Cilíndrica: Calcule o campoelétrico a uma distância r de uma reta infinita de carga com densidade linear de carga uniforme igual a

Solução:

Nos pontos afastados das extremidades da reta as linhas de campo elétrico são radiais à reta, de modo que, o campo elétrico é perpendicular à superfície cilíndrica e tem o mesmo valor em todos os pontos desta superfície. Neste caso a superfície gaussiana (SG) conveniente é um cilindro, de área total 2

O campo elétrico é perpendicular à superfície cilíndrica e conseqüentemente paralelo à , logo

por outro lado, com relação às bases, é perpendicular tanto a como a logo

de modo que não haverá fluxo através das bases do cilindro.

A carga no interior da superfície é igual à

A Lei de Gauss fica então

este resultado coincide com aquele que obtivemos pela integração direta sobre as cargas elétricas.

Exercício 5:

Calcule o campo elétrico no interior e no exterior de uma casca cilíndrica de raio R, com densidade superficial de carga uniforme

Solução:

Para calcular o campo elétrico no interior da casca escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento L e raio

Por simetria, o campo elétrico é normal à essa superfície (na lateral) e tem módulo constante em todos os pontos sa superfície gaussiana, nas bases o fluxo é nulo,

Assim,

mas, no interior da casca cilíndrica quanto vale q ?

Logo

A conclusão que tiramos é que o campo elétrico no interior de uma casca cilíndrica uniformemente carregada é nulo em todos os pontos .

A fim de calcular agora o campo elétrico no exterior da casca cilíndrica, construímos uma superfície gaussiana cilíndrica, agora com Por simetria, o campo elétrico é perpendicular a esta superfície gaussiana e tem módulo constante em todos os pontos da superfície gaussiana, analogamente ao que fizemos.

O gráfico do campo elétrico contra r para uma distribuição de carga uniforme numa casca cilíndrica pode agora ser obtido

Exercício 6:

Calcule o campo no interior e no exterior de um cilindro maciço, infinitamente comprido e uniformemente carregado.

Solução:

Se a superfície gaussiana estiver no exterior do cilindro, isto é, se , a carga total no interior da superfície gaussiana será

Assim:

Se a superfície gaussiana estiver no interior do cilindro, de modo que a carga elétrica no interior da superfície gaussiana será

Se a superfície gaussiana estiver no exterior da esfera, a Lei de Gauss dá

Se a superfície gaussiana estiver no interiorda esfera com r

mas

Exercício 7:

Considere uma casca esférica uniformemente carregada, de raio R, e carga total Q. Calcule o campo elétrico no interior e no exterior da casca.

Solução:

Por simetria E deve ser radial e ter um módulo que só depende da distância r ao centro.

Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r.

i-) para

é perpendicular a esta superfície e tem módulo constante em todos os pontos da superfície.

Então o campo elétrico fora de uma casca esférica uniformemente carregada é o mesmo que haveria se toda sua carga estivesse concentrada no centro da casca.

Se por outro lado, a superfície gaussiana estiver no interior da casca.

ii-) o fluxo através da superfície é

mas a carga no interior da superfície é nula, logo

Exercício 8:

Calcule o campo elétrico no interior e no exterior de uma esfera maciça uniformemente carregada de raio R e densidade volumétrica de carga

Solução: