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ANÁLISIS DE VARIANZA   
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DISTRIBUCIONES BIVARIADAS

DISTRIBUCIÓN DE   t

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIÓN DE  CHI CUADRADO

DISTRIBUCIÓN NORMAL

INFERENCIA ESTADÍSTICA
CONTENIDO  
 INTRODUCCIÓN
El cociente de variables independientes (cociente entre dos c 21/c 22) cada una distribuida como c 2 y dividida por sus respectivos grados de libertad, se distribuye como F (de Fisher) con n1, n2 grados de libertad

La distribución existe sólo para los valores NO negativos de F, presenta asimetría positiva y tiene dos parámetros :
n1 grados de libertad del numerados y  n2  grados de libertad del denominador 

Es importante prestar atención a que la tabla se refiera al percentil adecuado de F y no confundir las entradas (n1, n2 )

 

ENSAYO DE IGUALDAD DE VARIANZAS
Hemos visto que, para un test de t de diferencias entre medias de dos grupos independientes se requiere que tengan la misma varianza (s 2)
Dados dos grupos A y B, sus varianzas muestrales centradas son :    y 

Si x está, dentro de cada grupo, normalmente distribuida los desvíos también lo estarán. 
Entonces tendrá distribución normal estándar N( 0,1) y su cuadrado se distribuirá como  c 2  con 1 grado de libertad
La suma se distribuirá como c 2   con ni -1 grados de libertad.  Por lo tanto   y el cociente  se distribuirá como F con  (nA -1), (nB-1) grados de libertad solamente si   s 2 A   = s 2B

En la práctica, se acostumbra poner en el numerador la varianza muestral mayor . 
                                        Si    F calculado =es mayor que F tabulado, se rechaza la Ho: s 2 A   = s 2B  . 

 
ANALISIS DE LA VARIANZA : COMPARACIÓN DE MEDIAS ENTRE MAS DE DOS GRUPOS
En algunas situaciones, se desea comparar más de dos medias:

Ho: m1 = m2  = m3 = ......= md = m

Intuitivamente, podría pensarse en realizar tests de t entre las medias, dos a dos: 

Ho: m1 = m2    ;    Ho: m1 = m3  ;    Ho: m2  = m3..etc

Sin embargo esta solución no es válida, porque afecta el nivel de significación de los tests aumentando la probabilidad de cometer un error de tipo I. 
El método más comúnmente utilizado en estos casos es el ANÁLISIS DE VARIANZA (ANDEVA, ANOVA) que se basa en la identidad : 
 

donde:    
 xij es la j-ésima observación del i-ésimo grupo,
i es la media de ese grupo y 
0 es la media general de todas las  observaciones (gran media).

 

 
Por lo tanto elevando al cuadrado. 
                                  de donde:
                                 , porque la suma  de los dobles productos se anula, si los grupos son independientes. Estudiemos cada una de estas sumas de cuadrados

  suma de cuadrados total (SCT)  es la suma de los cuadrados de los desvíos de todas las observaciones respecto a su media general. Si la dividimos por n-1 obtendremos una estimación de
la varianza de las observaciones ( 2total  )

  suma de cuadrados entre grupos (SC entre) es la suma de los cuadrados de los desvíos de las medias de los grupos respecto a la media general. Si se divide por  a-1 se obtiene otra estimación
de la varianza de x ( 2 entre =  M C entre) 

   suma de cuadrados dentro de grupos (SC dentro) es la suma de los cuadrados de los desvíos de las observaciones respecto a la media de su respectivo grupo. Al dividirla por n-a se obtiene una 
tercera estimación de la varianza de x ( 2 dentro  =  M C dentro) 

Debe tenerse en cuenta que las estimaciones 2 entre  y 2 dentro son independientes entre sí, pero si bien 
2 dentro   es siempre un estimador insesgado,   2 entre   solamente lo será si la Ho es verdadera, es decir si las medias son iguales 
El test se reduce por lo tanto a un ensayo de igualdad de varianzas 

Se compara con el F tabulado con (a-1) y  (n - a) grados de libertad. Si Fcalc > F tab se rechaza Ho

 

FORMULAS PRACTICAS PARA EL CALCULO
; (n = total de observaciones)
; ( ni = tamaño de grupo i )
SC dentro = SC total - SC entre

 

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE CUADRADOS (SC) GRADOS DE LIBERTAD (gl) MEDIA DE CUADRADOS (MC) Fcalculado
ENTRE GRUPOS SC ENTRE a - 1 (*) SC Entre / a-1 MC Entre/MC Dentro
DENTRO DE GRUPOS SC DENTRO n - a SC Dentro/ n-a  
TOTAL SC TOTAL n - 1    

 

El ANOVA requiere que se cumplan los siguientes supuestos:

1.-  Normalidad de los residuos
2.- Igualdad de la  varianza interna en todos los grupos
     s21 = s22 = s23 =  .........  = s2a = s2  (homocedasticidad)
3.- Independencia de las observaciones: NO debe haber ni autocorrelación entre los valores , ni grupos
     pareados
Ejemplo

 grupos 
A B C D
3
5
8
10

 

 2
4
7
8
9		 5
7
12		 1
2
2
4
6
8
26 30 24 23
4 5 3 6


 S x2 = 755

Ti  
 T = 103

 ni  

  n = 18

SC Total = 755 - 103 2 / 18 = 165.61
SC Entre = 262 /4 +302 / 5 + 242 / 3 + 232 / 6 - 1032 / 18 = 39.78
SC Residual = 165.61 - 39.78 = 125.83
FV  SC GL   MC Fc
tratamiento 39.78 3 13.26

1.47
residual 125.83 14 8.99  
TOTAL 165.61 17    
                                       F tabulado (3, 14) = 3.34      por lo tanto Fc < Ft   No se rechaza Ho

 

 

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