La densidad de probabilidad de una magnitud aleatoria X normalmente repartida se expresa por la fórmula:

En las siguientes figuras se muestra el efecto de cada uno de los parámetros s y m sobre la forma de la curva.

Como se puede apreciar, la variación de m (con s fijo) produce el desplazamiento de la función en el sentido del eje x. Siendo la abscisa del máximo, el valor de m.

En cambio, la variación de s (con m fijo) produce el "aplastamiento" (s grande) o "aguzamiento" (s chico) de la función.

En todos los casos, la función es simétrica respecto del punto x = m. Por eso al parámetro m se lo llama Centro de distribución o Centro de dispersión. Cuando x = m la ordenada de la curva de densidad normal de la probabilidad es igual a:

Al disminuir s esta ordenada crece ilimitadamente y viceversa. Pero cualquiera sea la situación, el área bajo la curva a lo largo de todo el eje x es 1.

De este modo, al disminuir s, la densidad de probabilidad en el centro de dispersión crece y en los demás puntos, a partir de cierto valor de s, se reduce. En otras palabras, al disminuir s disminuye la dispersión de los valores posibles de la magnitud aleatoria.

La ley normal de distribución está muy difundida en los problemas prácticos. Liapunov fue el primero en aclarar las causas de esta amplia difusión.

Liapunov demostró que si una magnitud aleatoria puede considerarse como la suma de un gran número de pequeños sumandos, entonces, al ser las condiciones lo suficientemente comunes, la ley de distribución de dicha magnitud se aproxima a la normal sin que importe cuales sean las leyes de distribución de los sumandos tomados por separados.

Puesto que prácticamente las magnitudes aleatorias, en la mayoría de los casos, suelen ser el resultado de la acción de un gran número de diferentes causas, la ley normal resulta ser el principio de distribución más difundido. No onstante, en muchos problemas se pueden encontrar leyes de distribución distintas de la normal.

Es importante hallar los momentos de una magnitud normalmente distribuida. Pata esto se hace uso de las siguientes fórmulas:

donde con (2.k-1)!! se designa al producto de todos los números enteros impares a partir de 1 hasta 2.k-1.

De acuerdo con estas expresiones, al esperanza matemática de una magnitud aleatoria normalmente distribuida (momento de primer orden) se expresa por la fórmula:

sustituyendo las variables t = x - m y valiéndose de las expresiones anteriores, siendo:

El segundo término del segundo miembro es nulo, como se puede verificar integrando por partes y aplicando Barrow.

ya que la expresión entre corchetes es 1. Este resultado podía ser previsto de antemano, teniendo en cuenta la simetría de la distribución normal con respecto al centro de distribución m.

Para determinar los momentos centrales, se recurre a:

Conforme a la resolución de este tipo de integral (visto más arriba) es nula para valores impares de r. Por consiguiente, todos los momentos centrales de los ordenes impares de una magnitud normalmente distribuida son iguales a cero.

Si r = 2.k es par:

En particular, para la dispersión y la desviación cuadrática media de una magnitud X repartida normalmente, se obtienen las fórmulas:

De este modo, el parámetro sx de la ley normal de distribución representa la desviación cuadrática media de la magnitud aleatoria.

Para los momentos de órdenes pares superiores:

Como se ve, todos los momentos de los órdenes pares de la magnitud normalmente repartida se expresan por medio de su dispersión.

Sustituyendo en (1) la expresión de s en función de la dispersión de la fórmula (3) y teniendo en cuenta (2):

Esta expresión muestra que la ley normal de distribución se determina por completo por la esperanza matemática y la dispersión de la magnitud aleatoria. Así pues, la esperanza matemática y la dispersión caracterizan de un modo completo la magnitud aleatoria normalmente repartida.

Esto no es cierto para otros tipos de distribuciones.

Para hallar la Función Característica de una magnitud aleatoria X normalmente distribuida, se procede del siguiente modo:

haciendo la sustitución

Esta última integral se puede calcular por la fórmula:

Aplicando la fórmula, se obtiene:

Esta expresión es un pié para calcular los momentos de las magnitudes aleatorias normalmente distribuidas, a través de las derivadas sucesivas de esta función evaluadas en l = 0.

Por ejemplo:

1)

2)

Es sumamente importante deducir la fórmula para la probabilidad de que los valores de una magnitud aleatoria X normalmente repartida se encuentren en el intervalo dado (a,b).

Sustituyendo en la expresión (4) Dx por sx2:

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Gráfica y numéricamente:

Se quiere encontrar la probabilidad de que la magnitud aleatoria X, con distribución normal de media mx y desviación standard sx, se encuentre en el intervalo (a,b).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Haciendo la sustitución:

queda

)

Esta integral no se expresa por medio de las funciones elementales. Sin embargo, puede hallarse una aproximación por serie que mecaniza el cálculo para computadora (ver ALGORITMO PARA EL CALCULO DE AREAS BAJO LA DISTRIBUCION GAUSSIANA, Aparecida en Revista de la Universidad de Mendoza. Mendoza, N° 14, año 1995, págs. 225/230).

En general, para calcularla, se introduce una nueva función.

Esta función se denomina función de Laplace o integral de las probabilidades.

Los valores de esta función están tabulados y aparecer en toda bibliografía referente al tema.

La expresión (5) se puede desdoblar en:

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Mathcad tiene incorporadas funciones que trabajan directamente sobre la distribución normal y que son de gran aplicación. Ellas son:

1) dnorm(x,mx,sx): Retorna la densidad de probabilidad para la distribución normal

2) pnorm(x,mx,sx): Retorna la distribución de probabilidad acumulativa, área bajo la curva entre - infinito y el valor x.

Las Tablas standards entregan los valores de esta función (entrando por las abscisas).

Se usa, en este caso, en lugar de -infinito el valor de -10, ya que para los valores de media y desviación standard del ejemplo, la función prácticamente se anula. Si se usara -infinito se produce un desborde (overflow).

3) cnorm(x): Idem que la anterior pero para una distribución con media 0 y desviación standard 1.

4) qnorm(p,mx,sx): Retorna la inversa de la distribución de probabilidad acumulativa.

Actúa de modo inverso respecto de pnorm, es decir dada la probabilidad p calcula la abscisa correspondiente x.

Las Tablas standards entregan los valores de esta función (entrando por las probabilidades).

5) rnorm(m,mx,sx): Retorna un vector de m números aleatorios que tienen la distribución normal con media mx y desviación standard sx.

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EJEMPLO:

Verificar que el siguiente vector tiene elementos que constituyen una muestra proveniente de población normalmente distribuida.

  vector de intervalos

  índice auxiliar

distribución, se define la probabilidad teórica en cada intervalo:

Para generar distintos vectores aleatorios, basta poner el cursor sobre la función rnorm y apretar la tecla F9. En el gráfico se apreciará permanentemente el buen ajuste de la distribución obtenida respecto de la teórica usada como referencia.

También se puede calcular la media y la desviación standard del vector de datos que no diferirá apreciablemente de los parámetros elegidos.

Supóngase que ciertos acontecimientos sucedan en los mementos aleatorios continuamente repartidos en el eje numérico. Tales acontecimientos forman una secuencia de sucesos llamada habitualmente flujo de acontecimientos. En calidad de ejemplo de un flujo de acontecimiento pueden servir las llamadas de los abonados en una central telefónica, paso de los medios de transporte por un cruce, fallo de los elementos de algún sistema técnico.

En muchos problemas de la práctica se puede considerar que el flujo de acontecimientos satisface las condiciones siguientes:

1) si (t1 , t2) y (t3 , t4) son cualesquiera intervalos de tiempo no sobrepuestos, entonces, la probabilidad de que se produzca cualquier número de acontecimientos en el transcurso de uno de dichos intervalos no depende de cuántos acontecimientos ocurren en el transcurso de otro.

2) la probabilidad de que un acontecimiento se produzca en el transcurso de un intervalo de tiempo infinitesimal (t , t+Dt) es un infinitesimal de orden Dt.

3) la probabilidad de que se produzcan más de un acontecimiento en el transcurso del intervalo de tiempo (t , t+Dt) es un infinitesimal de orden superior en comparación con Dt.

Es evidente que el número de acontecimientos que sucedan durante cualquier intervalo de tiempo (t0 , t) representa una magnitud aleatoria discreta cuyos valores posibles son todos los números enteros no negativos 0, 1, 2, ... .

Si se designa esta magnitud aleatoria por X(t) y la probabilidad de que esta tome el valor de m se designa por pm(t0 , t) o, más brevemente, pm(t):

La ley de distribución de esta magnitud aleatoria tiene la siguiente forma:

A continuación se muestra a f(x) para varios m.

El parámetro m es la media de la distribución, como se demostrará más adelante.

De la expresión de la función densidad se deduce la función distribución correspondiente.

y F(x) = 0 cuando x < 0.

La distribución de Poisson tiene aplicaciones en diferentes campos.

Ejemplo 1: de la Física de Partículas, la variable x es el número de partículas Alfa en intervalos de tiempo de longitud 7.5 seg, conforme a la siguiente tabla:

Las dos primeras columnas surgen de valores experimentales y se representarán por los vectores:

La media ponderada es:

Las probabilidades normalizada se obtienen aplicando la función densidad de probabilidad de Poisson:

Desnormalizando y redondeando a entero, para el ejemplo:

que es la tercera columna de la Tabla, valores teóricos de probabilidad para cada intervalo.

Si se observan gráficamente los valores experimentales y teóricos se aprecia que la distribución de este fenómeno obedece a la distribución de Poisson.

Ejemplo 2: Distribución del tráfico en una calle, según la siguiente tabla:

Las dos primeras columnas surgen de valores experimentales y se representarán por los vectores:

La media ponderada es:

Las probabilidades normalizada se obtienen aplicando la función densidad de probabilidad de Poisson:

Desnormalizando y redondeando a entero, para el ejemplo:

que es la tercera columna de la Tabla, valores teóricos de probabilidad para cada intervalo.

Si se observan gráficamente los valores experimentales y teóricos se aprecia que la distribución de este fenómeno obedece a la distribución de Poisson.

En una distribución discreta, la función generadora de momentos [ G(t) ] se expresa:

donde f(.) es la función densidad en consideración. Para el caso de Poisson:

Dado que los xj toman los valores 0, 1, 2 ,...

Si se quiere hallar la media de la distribución, basta con evaluar la derivada de la funcion G(t) en t=0:

El resultado es el esperado. Para hallar el momento de segundo orden no centrado, se recurre a calcular la derivada segunda de la función generadora de momentos y evaluarla en 0.

Para calcular la varianza (o dispersión) que es el momento de segundo orden centrado, se recurre a:

Reemplazando por lo obtenido en el paso anterior:

Conclusión: En una distribución de Poisson, la varianza coincide con la media.

Para hallar el momento de tercer orden, se haya la derivada tercera:

Para hallar el sesgo, se debe encontrar el momento de tercer orden centrado:

Dado que:

Luego, el sesgo vale:

Se ve que g tiende a 0 cuando la media m tiende a infinito, de lo cual se deduce que la distribución de Poisson es casi simétrica para m grande.