Para ilustrar la aplicación de la DFT al cómputo de las Trasformadas de Fourier, considérese la siguiente figura:

Se desea computar por medio de la DFT una aproximación a la Transformada de Fourier de esta función.

El primer paso en la aplicación en la aplicación de la transformada discreta es elegir el número de muestras N y el intervalo de muestreo T. Para N=32 y T=0.25 se observan las muestras de exp(-t). Nótese que se ha definido la muestra en el valor t=0 de modo de cumplir con la condición que el valor de la función en una discontinuidad debe ser definido como el valor medio.

Se computa la DFT como:

Resuelta como la Transformada Continua de Fourier:

Nótese el factor de escala T la cual se introduce para producir equivalencia entre las transformadas continua y discreta. Nótese que no se ha indicado explícitamente Re(Hn), ya que Mathcad representa gráficamente sólo la parte real.

Analizando la parte imaginaria.

Nótese que la TDF es simétrica respecto de n = N/2. Esto se deriva de que la parte real de la transformada de Fourier de una función real es Par y que el resultado para n > N/2 son simplemente resultados para frecuencia negativa. Este último punto es enfatizado representando una verdadera escala de frecuencia debajo de la escala para el parámetro n.

Se podrían haber graficado los datos de la forma convencionalmente usada para representar la transformada continua; esto es, desde -f0 a +f0. Sin embargo, el método convencional de presentar los resultados de la DFT en forma gráfica es como función del parámetro n. Mientras tanto, recuérdese que los resultados para n > N/2 se relacionan con frecuencias negativas.

En la última figura se ilustra la parte imaginaria de la DFT y de la CFT. Como se ve, la DFT se aproxima más burdamente a la CFT para las altas frecuencias. Para reducir este error es necesario incrementar la frecuencia de muestreo (reducir T) y N.

El eje de abscisas se puede ver de dos maneras:

Se nota que la función imaginaria es impar con respecto de n = N/2. Esto se deduce ya que la parte imaginaria de la TF de una función real es impar. Reiterando, aquellos resultados para n > N/2 deben ser interpretados como resultados para frecuencias negativas.

En resumen, aplicar la transformada Discreta de Fourier al cómputo de la Transformada de Fourier sólo requiere tener cuidado en la elección del T y del N e interpretar correctamente los resultados.

Supóngase están dadas las funciones continuas real e imaginaria de la frecuencia consideradas en la sección previa y que se desea determinar la función del tiempo correspondiente por medio de la transformada discreta de Fourier.

donde Df es el intervalo de muestreo en frecuencia.

Suppóngase N = 32 y Df = 1/8.

Ya que se sabe que HR(f), la parte real de la función de frecuencia compleja, debe ser una función par, entonces se dobla (fold) sobre la frecuencia f = 2.0, la cual corresponde al punto muestra n = N/2. Como se muestra en la siguiente figura, simplemente se muestrea la función de frecuencia hasta el punto n = N/2 y luego se "doblan" estos valores alrededor de n = N/2 para obtener las muestras restantes.

En la siguiente figura se ilustra el método para determinar las N muestras de la parte imaginaria de la función de frecuencia. Debido a que esta es impar, debe no sólo "doblar" alrededor de la muestra N/2 sino que también se deben "flipear" (girar alrededor del eje de abscisas) los resultados. Para preservar la simetría se pone a cero la muestra en n = N/2.

El cómputo de la expresión h (k.T) de la fórmula general con las funciones muestreadas como se ha visto en las dos últimas figuras, produce la IDFT (transformada discreta inversa de Fourier).

El resultado es una función compleja cuya parte imaginaria es aproximadamente cero y cuya parte real se visualiza en la figura de arriba. Se nota que en k=0 el resultado es aproximadamente igual al valor medio correcto y se obtiene una concordancia razonable para los valores de k. Se pueden obtener mejoras reduciendo Df e incrementando N.

La clave para usar la IDFT en la aproximación a un resultado continuo es especificar correctamente la función de frecuencia muestreada. Las figuras anteriores muestran el método correcto.

Se puede observar que el factor de escala Df se requiere para dar una aproximación correcta a la CDFT.

Un resultado similar se obtiene usando la forma alternativa de la IDFT:

Para usar esta relación se conjuga la función de frecuencia compleja, esto es la función imaginaria muestreada es multiplicada por -1. Ya que la función resultante del tiempo es real, la operación conjugación final puede ser omitida. De aquí se computa:

que produce el mismo resultado.

La aplicación de la DFT al análisis armónico de una forma de onda requiere que se compute:

donde el divisor (N.T) es la duración en tiempo o periodo de la armónica de frecuencia

más baja a ser determinada. Recuérdese que para producir resultados válidos los valores de las N muestras deben representar exactamente un período de la función periódica h(t).

Considérese la onda cuadrada ilustrada en la siguiente figura con un periodo de muestreo de 8 seg. De ese modo, si N = 32, T (tiempo entre muestra y muestra) debe ser elegido igual a 0.25 para asegurar que las 32 muestras son exactamente igual a un periodo (periodo de la onda, 8 segundos).

Calculando la DFT:

Las cruces representan las magnitudes de los coeficientes de armónicos obtenidos del desarrollo en serie de Fourier. Como se esperaba, los resultados son simétricos alrededor del punto n = N/2. Se obtienen resultados razonables para los armónicos de orden más bajo. La exactitud puede ser mejorada para los armónicos más altos achicando T e incrementado N.

Note que hemos introducido aliasing significativo evidenciado por el hecho que los valores de los coeficientes verdaderos tienen magnitud apreciable en el número de muestra n = N/2.

La síntesis de armónicos se refiere al procedimiento de calcular una forma de onda periódica dados los coeficientes de la serie de Fourier. Para llevar a cabo esta tarea usando la DFT, simplemente se computa:

donde Df debe ser elegido como un entero múltiplo de la armónica fundamental.

Para aplicar la expresión anterior se deben muestrear los coeficientes reales e imaginarios consistentes con los procedimientos discutidos previamente.

Si se considera el ejemplo previo, entonces sólo los coeficientes reales deben ser muestreados.

Por supuesto, estas muestras deben ser "dobladas" alrededor del punto N/2. Nótese que se tiene de hecho truncada las series de Fourier porque los valores muestras cercanos a N/2 tienen aún apreciable magnitud.

El cómputo de la expresión de referencia con los valores muestras hallados en el ejemplo anterior, llevan a la forma de onda sintetizada siguiente:

Como se ve, los resultados tienden a oscilar alrededor del valor correcto. Estas oscilaciones son debidas al bien conocido fenómeno de Gibbs el cual establece que el truncamiento en un dominio lleva a oscilaciones en el otro dominio. Para disminuir la magnitud de estas oscilaciones es necesario considerar más coeficientes armónicos; esto es, incrementar N.

El Leakage es un efecto que es inherente a la DFT debido al truncamiento requerido en el dominio del tiempo. Recuérdese que el truncamiento de una función periódica en otra que es un múltiplo del periodo resulta en una aguda discontinuidad en el dominio del tiempo, o equivalentemente deriva en lóbulos laterales en el dominio de frecuencia. Estos lóbulos laterales son los responsables de componentes de frecuencia adicionales a los cuales se le denomina leakage.

Para ilustrar este punto se computará la DFT de la función coseno. Para un intervalo de muestreo T=1 y N=32 muestras.

Nótese que las 32 muestras definen exactamente cuatro periodos de la forma de onda periodica.

Todos los resultados son cero, excepto en la frecuencia de la señal.

Si el intervalo de truncamiento no es elegido igual a un múltiplo del periodo, las características de lóbulo lateral de la función en frecuencia sin(f)/f genera una considerable diferencia en los resultados de transformada discreta y continua de Fourier.

Para ilustrar este efecto, considérese:

Nótese que los 32 puntos no definen un múltiplo del periodo y como resultado se introduce una aguda discontinuidad.

Calculando la DFT:

En este gráfico se muestra el módulo de la DFT de las muestras de la figura de más arriba. Aquí existen componentes de frecuencia no nulas en todas las frecuencia discretas de la DFT. Como se indicó previamente, los componentes de frecuencia adicionales se denominan leakage y son un resultado de las características lóbulo lateral de la función sin(f)/f. Para reducir el leakage es necesario emplear una función de truncamiento en el dominio del tiempo la cual tenga características glóbulo lateral que sean de magnitud más pequeña que aquellas de la función sin(f)/f. A menor lóbulo lateral, menor leakage afectará a los resultados de la DFT. Afortunadamente, existen funciones de truncamiento que exhiben exactamente las características deseadas.

Una función de truncamiento particularmente buena es la función de Hamming:

El módulo de la TF de la función de Hamming está dada por:

Gráficamente:

Ampliando desde el primer cero

Como se muestra en la figura, esta función de la frecuencia tiene varios pequeños lóbulos laterales. Otras funciones de truncamiento tienen propiedades similares, sin embargo se elige la de Hammiing por su simplicidad.

Debido a las características de bajo lóbulo lateral de esta función, se espera que su utilización reduzca significativamente el leakage que resulta del truncamiento en el dominio del tiempo.

En la siguiente figura se muestra la función coseno de la anterior multiplicada por la función de truncamiento de Hamming.

Nótese que el efecto de la función de Hamming es reducir la discontinuidad que resulta de la función truncamiento rectangular.

La siguiente figura muestra el módulo de la transformada de Fourier para las muestras de arriba.

Como se esperaba, el leakeage ha sido reducido debido a las características lóbulo laterales de la función de truncamiento de Hamming. Las componentes de frecuencia no nulas son considerablemente "ensanchadas" con respecto a la función impulsiva deseada.

Recuérdese que esto es lo que se espera ya que el efecto del truncamiento en el dominio del tiempo es convolucionar la función impulsiva de frecuencia con la FT de la función truncamiento. En general, mientras más se reduce el leakage, aparece una DFT con resultados más "ensanchados". La función de Hamming es un compromiso aceptable.

1) Desarrollar un programa de computadora que calcule la DFT de formas de onda en el dominio del tiempo complejo. Usar la fórmula de inversión alternativa para usar este programa también para calcular la IDFT. Referir a este programa como DFT.

2) Usar el programa DFT para validar cada uno de los problemas desarrollados en la teoría de este capítulo.

3) Dado h(t) = exp(-t). Muestrear h(t) con T=0.25. Computar la DFT de h(k.T) para N=8, 16, 32 y 64. Comparar los resultados y explicar las diferencias. Repetir para T=1.0 y discutir los resultados.

4) Sea h(t) = cos(2.p.t), Muestrear h(t) con T = p/8. Calcular la DFT con N=16. Compara estos resultados con los obtenidos en la teoría. Repetir para N=24. Comparar resultados.

5) Dado h(t) = t.exp(-t), t > 0. Calcular la DFT Dar razones para la elección de T y N.

6) Sea: h(t) =.0 t < 0

= 0.5 t = 0 bb

= 1 0 < t <1

= 0.5 t = 1

= 0 t > 1

x(t) = h(t)

Usar el Teorema de la convolución discreta para computar una aproximación a h(t) * x(t).

7) Considerar h(t) y x(t) como en el problema anterior. Computar la aproximación discreta a la correlación de h(t) y x(t). Usar el Teorema de la Correlación.