1. Generalizando el problema 1, suponer aleatorias no sólo la amplitud y la fase sino también la frecuencia de las oscilaciones armónicas. Examínese la función aleatoria:

Donde U, V y W son magnitudes aleatorias independientes, con la particularidad que las magnitudes U y V tienen medias nulas y las mismas dispersiones D, y la magnitud aleatoria W se caracteriza por la densidad de probabilidad f(w).

La esperanza matemática de la función aleatoria X(t) es idénticamente igual a cero. Esto se puede demostrar fijando un valor particular de W, lo que lleva al primer ejemplo.

La fórmula (49-2) determina la función correlativa condicional de la función aleatoria X(t) para el valor dado de w de la frecuencia W.

k x ( t , t' / w ) = M [ X(t) . X(t) / W = w ] = D . cos [ w . ( t - t' ) ]

Ahora, para hallar la función correlativa de la función aleatoria X(t) basta multiplicar la función correlativa condicional hallada, con el elemento correspondiente de probabilidad f(w).dw e integrar con respecto a todos los valores posibles de w de la magnitud aleatoria W . Entonces, teniendo en cuenta que la frecuencia de las oscilaciones es, en su esencia, una magnitud positiva, debido a lo cual su densidad de probabilidad f(w) es igual a cero para w<0, se obtiene:

Examínese el caso concreto cuando:

En este caso queda:

Esta integral puede calcularse por muchos procedimientos, quedando:

Numéricamente, el planteo del problema podría ser:

función densidad de la distribución de frecuencias

La integral de esta función dará la Función Distribución:

Si en esta función se sustituye F(w) por rnd(1) y se despeja w se puede tener un conjunto de valores que tengan la distribución (5).

para verificar este hecho se construirá un histograma.

Como se puede observar, la distribución de los datos sigue perfectamente la ecuación (5).

Formando la matriz cuyas filas son valores de realización:

Calculando las medias de las 20 realizaciones en cada uno de los puntos de definición, se encuentra la media de la función aleatoria.

El vector M contiene las medias en cada punto considerado de la función aleatoria

Del mismo modo se puede hallar la desviación standard punto por punto:

el vector S contiene las desviaciones standard en cada punto considerado de la función aleatoria Superponiendo la media y la desviación standard a las realizaciones, queda gráficamente:

Para hallar la función de correlación, se procede del siguiente modo:

El vector C contendrá, punto a punto, los valores de la función de correlación, que según la teoría es una de tipo exponencial decreciente.

Generalmente se llama estacionarios a aquellos procesos y objetos cuyas características no dependen del tiempo de observación, es decir no cambian al decalar

arbitrariamente el tiempo (son invariantes con respecto a cualquier decalaje del tiempo).

De acuerdo con lo dicho, se denomina ESTACIONARIA a una función aleatoria X(t) si determinadas características probabilísticas de la función de la función aleatoria X(t+D), cualquiera sea D, coincide idénticamente con las características correspondientes a X(t).

Es evidente que la esperanza matemática y la dispersión de la función aleatoria estacionaria son constantes y su función correlativa depende sólo de la diferencia de los argumentos t - t'.

En efecto, según la definición general de la estacionariedad, la esperanza matemática y la función correlativa de la función aleatoria X(t) satisfacen las condiciones:

cualquiera sea D. Poniendo en la primera D = - t se obtiene:

Poniendo en la segunda D = - t' se obtiene:

La dispersión de la función aleatoria X(t) es igual al valor de su función correlativa cuando t = t'.

Por eso, de lo anterior:

Designando la función de una variable t - t' por kx(t-t') , se puede escribir:

Ahora bien, si la función aleatoria X(t) es estacionaria, entonces, dondequiera que se elija un intervalo t de longitud dada en el eje de las variables independientes t, los valores de la función aleatoria X(t) tienen en los extremos de este intervalo un mismo momento de correlación kx(t).

Para todos los problemas prácticos en los que se trata sólo con momentos de los dos primeros órdenes (esperanzas matemáticas y funciones correlativas) basta la constancia de la esperanza matemática y la dependencia de la función de correlación sólo de la diferencia de los argumentos para considerar estacionaria a una función aleatoria.

Por eso, las funciones aleatorias cuyas esperanzas matemáticas son constantes y las funciones correlativas dependen sólo de la diferencia de argumentos se llaman estacionarias en el sentido amplio.

La estcionariedad en el sentido amplio representa el tipo más simple de estacionariedad.

Según la definición dada, la función aleatoria con esperanza matemática variable es no estacionaria incluso si la función de correlación de la misma depende sólo de la diferencia de los argumentos. Sin embargo, tal estacionariedad es, evidentemente no esencial, puesto que la función aleatoria centrada X0(t) = X(t) - mx(t) es estacionaria siempre que la función correlativa de la función aleatoria X(t) dependa sólo de la diferencia de argumentos.

Como la función correlativa de cualquier función aleatoria es simétrica, es decir no cambia de valor al permutar los valores de los argumentos, entonces la función correlativa de una función aleatoria estacionaria satisface la condición:

Así pues, la función correlativa de una función aleatoria estacionaria es función par de la diferencia de los argumentos.

Por otro lado, de las propiedades de la función correlativa, aplicadas a funciones aleatorias estacionarias:

De modo que, la función correlativa de una función aleatoria estacionaria, cualquiera sea t, no puede ser en magnitud absoluta, mayor que su valor correspondiente en el origen de coordenadas.

1) En el último ejemplo anterior, había una función correlativa dependiente sólo de la diferencia de argumentos, de la forma:

2) La función aleatoria:

es estacionaria solamente en el caso cuando las dispersiones de las magnitudes aleatorias U y V son iguales. En el caso general de diferentes dispersiones de las magnitudes aleatorias U y V esta función aleatoria no es estacionaria.

Ahora bien, la oscilación armónica de cierta frecuencia, con amplitud y fase aleatorias representa en el caso general una función aleatoria no estacionaria y solo en el caso particular de ser iguales las dispersiones de los coeficientes aleatorios adjuntos al seno y coseno, es una función aleatoria estacionaria.

3) La función aleatoria:

es estacionaria cualquiera que sea la densidad de probabilidad de la frecuencia aleatoria de las oscilaciones f(w) puesto que su esperanza matemática es idénticamente igual a cero, mientras que la función correlativa, determinada por (4) depende sólo de la diferencia de argumentos.

4) Si:

entonces la función aleatoria X(t) es no estacionaria. No obstante, esta no estacionariedad no es esencial, puesto que la correspondiente función aleatoria X0(t) es estacionaria.

Los valores de la función aleatoria en la serie discreta de los puntos fijos t1, t2, ..., tn forman una secuencia aleatoria Xr = X(tr) (r = 1, 2, ...). Es evidente que el término arbitrario de la secuencia aleatoria Xr se puede considerar como función aleatoria de su número, es decir, del argumento r representado por un número entero y, de este modo, no examinar el argumento t.

Si el número de valores del argumento tr es finito, los valores correspondientes de la función aleatoria forman una secuencia aleatoria finita. Los términos de la secuencia aleatoria finita se pueden considerar como componentes de un vector aleatorio. Por consiguiente, para las secuencias aleatorias finitas es válida por completo la teoría de los vectores aleatorios.

Si el número de valores del argumento tr es infinito, los valores correspondientes de la función aleatoria forman una secuencia aleatoria infinita. La secuencia de valores del argumento {tr}puede irse a la infinidad por el eje t a un lado cualquiera (positivo o negativo) o a ambos lados. En el último caso con los valores tr del argumento t se confrontan todos los números enteros desde menos infinito a más infinito.

En lo sucesivo se examinará siempre, para que el examen tenga un carácter general, las secuencias aleatorias infinitas a ambos lados.

A veces en los problemas de aplicación la secuencia aleatoria se llama función aleatoria enrejada y el argumento representado por números enteros, de tal función aleatoria se toma entre corchetes para diferenciarlo del argumento continuamente variables:

La característica probabilística completa de una secuencia aleatoria es la secuencia de leyes de distribución de sus términos tomados uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc.

La secuencia aleatoria se considera normalmente repartida, si sus leyes de distribución de todos los órdenes son normales.

Limitándose a los momentos de primer y segundo orden, se puede caracterizar la secuencia aleatoria por su esperanza matemática y su función correlativa.

La esperanza matemática de una secuencia aleatoria es, evidentemente, una secuencia de números que representan las esperanzas matemáticas de los términos correspondientes de la secuencia aleatoria:

mrx = M [ X r ] =M [ X ( tr ) ] (r = 0, + 1, + 2, ...)

La función correlativa de una secuencia aleatoria representa el momento de correlación de dos términos de esta secuencia elegidos arbitrariamente, considerado como función de los números de los términos mencionados:

krsx = M [ X0r . X0s ] =M [ X0 ( tr ) . X0 ( ts )] (r,s = 0, + 1, + 2, ...)

Ejemplo: Los valores de la función aleatoria con esperanza matemática y función correlativa:

para los valores equidistantes del argumento tr = r . D (r = 0, + 1, + 2, ...) forman la secuencia aleatoria Xr con la esperanza matemática:

y la función correlativa:

El tipo más simple de secuencia aleatoria es la de magnitudes aleatorias independientes. Para tal secuencia aleatoria la función correlativa es igual a la dispersión del término correspondiente de la secuencia, siendo iguales los valores de los argumentos (r = s), y es igual a cero si los argumentos tienen diferentes valores ( r <> s).

En cuanto a la simplicidad, el siguiente tipo de secuencias en las que la dependencia entre los términos parece extenderse sólo a un número pequeño de términos vecinos. Tales secuencias aleatorias se llaman Cadenas Markovianas. Se va a ver a continuación una definición exacta de las cadenas markovianas.

La secuencia aleatoria {Xr} se denomina cadena markoviana simple, si la ley condicional de distribución de cada término de la secuencia Xr con respecto a los términos anteriores Xr-1 , ... , Xr-n , para cualquier n > 1, depende solamente del valor que toma el término precedente de la secuencia Xr-1.

Así pues la secuencia aleatoria es una cadena markoviana simple, si la densidad condicional de probabilidad de cada uno de sus términos Xr con respecto a los términos anteriores Xr-1 , ... , Xr-n para cualquier n > 1 es idénticamente igual a la densidad condicional de probabilidad Xr con respecto a Xr-1:

f r ( x r | x r - 1 , . . . , x r - n ) = fr ( x r | x r - 1 ) (n = 2, 3, . . .)

La secuencia aleatoria {Xr} se denomina cadena markoviana compuesta de orden k, si la ley condicional de distribución de cada término de la secuencia Xr con respecto a los términos anteriores Xr-1 , ... , Xr-n , para cualquier n > 1, depende solamente de los valores que toman k de los términos precedentes Xr-1 , ... , Xr-k es decir:

= fr ( x r | x r - 1 , . . . , x r - k ) (n = k + 1 , k + 2, . . . )

Ejemplo 1: Como introducción se hallará la esperanza matemática y la dispersión de la frecuencia de un acontecimiento para n pruebas independientes realizadas en iguales condiciones.

Se designa por Xi el número de veces que sucede el acontecimiento A como resultado de la i-ésima prueba. Se calculará la esperanza matemática y la dispersión de la magnitud aleatoria Xi.

Esta magnitud tiene dos valores posibles 0 y 1, cuyas probabilidades son q = 1 - p y p respectivamente. Por lo tanto:

mxi = 0 . q + 1 . p = p (i = 1, 2, . . ., n)

Así pues, la esperanza matemática del número de veces que se produce un acontecimiento al efectuar un solo experimento es siempre igual a la probabilidad de este acontecimiento. Para hallar la dispersión de la magnitud aleatoria Xi se procede:

Dxi = (0 - mxi )2 . q + (1 - mxi )2 . p = p2 . q + q2 . p = p. q . (p + q) = p . q

(i = 1, 2, . . ., n)

Según la definición, la frecuencia U de un acontecimiento A representa la relación del número de veces que sucede el acontecimiento A, el cual es evidentemente, igual al número de veces que se produce este en cada una de las pruebas, al número total de experimentos realizados:

Esta fórmula muestra que la frecuencia del acontecimiento A es una combinación lineal de las magnitudes aleatorias independientes X1, X2, . . . , Xn que representan los números de veces que ocurre el acontecimiento A en cada una de las pruebas realizadas.

Por consiguiente, para determinar la esperanza matemática de la frecuencia U se puede hacer uso de la propiedad de las esperanzas matemáticas referidas a las combinaciones lineales de magnitudes aleatorias, teniendo en cuenta que en ese caso los coeficientes ai son iguales a 1/n y el término independiente es igual a cero, se obtiene:

Así pues, la esperanza matemática de la frecuencia de un acontecimiento es igual a la probabilidad de este último.

Para determinar la dispersión se recurre a las propiedades sobre dispersión de variables aleatorias, como resultado se obtiene:

De los resultados obtenidos se puede sacar la deducción práctica siguiente: La esperanza matemática de la frecuencia, cualquiera sea el número de pruebas, es igual a la probabilidad del acontecimiento, y la dispersión de la frecuencia tiende a cero cuando el número de pruebas es lo suficientemente grande.

Ingresando en el ejemplo propiamente dicho, examínese la secuencia de experimentos independientes en condiciones iguales. Sea Xr el número de veces que se produce cierto acontecimiento A al realizar la r-ésima prueba y p la probabilidad de que se produzca el acontecimiento A en cada prueba.

Es evidente que la secuencia X1, X2, . . . , Xr, . . . es la secuencia de magnitudes aleatorias independientes con la esperanza matemática constante mrx = p y la función correlativa krrx = p . q , krsx = 0 cuando s<> r.

Matriz de orden n1*n2 con los resultados de n1 experiencias de arrojar un dado n2 veces. Se obtienen n1 magnitudes aleatorias independientes.

El número de veces que se produce el acontecimiento A = "sale un 6" en la j-ésima prueba es:

.

El vector X indica el número de veces que se produce el acontecimiento A en la primera prueba, en la segunda, ..., en la j-ésima. si cada elemento se divide por el número de pruebas (n2) se obtiene la media de cada variable aleatoria (mrx) y que en el límite debería ser p (probabilidad de sacar un seis) que vale 1/6. Esto se puede apreciar en el gráfico.

La función correlativa debe valer (teóricamente) krrx = p . q , krsx = 0

Expresión de la función correlativa (tomando como referencia la columna 10.

  aproximadamente p.(1-p)

En el siguiente gráfico se pueden apreciar los resultados.