RESUMO
São comparados três métodos de obtenção de matrizes a partir de dados de pesquisa embarque-desembarque de passageiros, combinado com modelos matemáticos, a saber: método gravitacional, método da analogia do fluido e método de programação linear. As comparações feitas em termos desempenho demonstrou que o modelo de gravidade apresentou um resultado superior aos demais, porém em simplicidade o modelo do fluido mostrou-se superior seguido pelo método gravitacional e o modelo de programação linear. Os resultados da comparação foram conduzidos com os dados apresentados por KIKUCHI (1992), autor da aplicação do modelo de programação linear.
 

Abstract
Tree methods of estimate matrices using data from research of on-off of passengers combined with synthetic mathematics models are compared: Gravity model, Fluid model and linear programming. Simplicity and performance are compared between tree methods, and these show that gravity model show the best performance and the fluid model is the most simple follow by the gravity model and linear programming. The comparison of results was made with data showed by KIKUCHI (1992), who used linear programming to estimate matrices.
 
 

1. INTRODUÇÃO
Administradores, políticos e instituições públicas vem procurando avaliar, organizar e coordenar o transporte dentro dos centros urbanos, a fim de minimizar os problemas decorrentes da atividade transporte. A minimização destes problemas pressupõe um entendimento do padrão básico de viagens, bem como os motivos e desejos da população.

A matriz O/D é um importante método descritivo da demanda de passageiros a qual pode ser usada para diversas análises tais como; avaliação de rotas, projeto de rotas e tabelas de horários, serviços limitados e serviços expressos e locais.(Furth and Navick, 1993).

A obtenção de uma matriz O-D que represente os desejos e anseios da população depende do tipo de pesquisa (domiciliar, nos pontos de parada, etc.), quanto mais elaborada maior seu custo e o tempo de preparação e tabulação dos dados, além de haver a necessidade de treinamento dos pesquisadores e da habilidade dos usuários e/ou moradores.

A busca por métodos que minimizem os tempos de preparação e tabulação dos dados é desejável principalmente para cidades onde o desenvolvimento urbano ocorre de forma acelerada e dinâmica, e, onde os órgãos gestores e as empresas operadoras não possuam recursos financeiros para efetuar pesquisas amplas de Origem-Destino.

No âmbito do transporte urbano de passageiros, o método mais utilizado e também o mais simples para estimar esse volume é o do "santinho" em que cada usuário que embarca no transporte coletivo recebe de um pesquisador de campo um cartão com a inscrição do nome ou código do ponto ou da estação de embarque, e ao desembarcar, entrega-o a outro pesquisador que o deposita num recipiente com a inscrição do horário e do nome ou código do ponto de ônibus ou da estação de desembarque. O total de cartões existentes num recipiente indica o volume de usuários com destino àquele ponto num determinado horário. Portanto, cada recipiente indica um destino, ou seja, uma coluna da matriz, e os cartões indicam a origem. Assim, para se preencher uma dada célula daquela coluna, basta que se conte os cartões com o ponto de embarque correspondente ao da célula. Apesar da aparente simplicidade, o método requer considerável trabalho de preparação dos materiais de pesquisa e de treinamento de pesquisadores de campo.

Por outro lado, existem métodos de pesquisas simples como a de contagem dos usuários que embarcam e desembarcam em cada ponto ou estação. Além da simplicidade e de não depender da boa vontade ou da habilidade dos usuários, é uma pesquisa relativamente barata. O nível de instrução do pesquisador pode ser relativamente baixo, e nos períodos entre-picos um pesquisador pode fazer a contagem tanto dos passageiros que embarcam como daqueles que desembarcam. O problema desse método é que não há como identificar o ponto de origem de um usuário que desembarca num determinado ponto.

Apesar disso, a grande simplicidade desse tipo de pesquisa tem motivado vários autores a buscarem uma forma de elaborar uma matriz O-D associando esse método simples a um modelo matemático.

Neste trabalho são comparados três métodos de obtenção de matrizes origem-destino que utilizam dados de embarque-desembarque ao longo de linhas de transporte de massa: o método baseado no modelo gravidade restringido, método da analogia do fluido e o método de resolução de um sistema de equações lineares e desigualdades (método de programação linear).

O método de gravidade restringido supõe como no caso de aplicação convencional, que o número de viagem que ocorre entre os pontos i e j de uma linha é diretamente proporcional ao número de passageiros embarcados no ponto i, ao número de passageiros desembarcados no ponto j, e ao comprimento da viagem entre i e j. A diferença fundamental está nesta última suposição. Nela está implícito que o usuário de transporte coletivo vê na caminhada um modo alternativo de viagem e que, portanto, dificilmente toma uma condução para viagens de curta distância, principalmente em se tratando de usuários economicamente carentes. Além disso, adota-se como restrição adicional o comprimento médio (ou total) da viagem.

O método do fluido foi proposto por Tsygalnitzky em 1977, trata o veículo como se fosse um container que se move ao longo de uma rota, a medida que os passageiros vão embarcando, são misturados como um fluido. Todos os passageiros qualificados tem a mesma probabilidade de desembarque nos pontos ao longo da linha. O passageiro está qualificado se o seu ponto de embarque estiver a uma certa distância mínima do ponto de desembarque, ou se este não tenha desembarcado anteriormente.

O método de resolução de um sistema indeterminado de equações lineares e desigualdades, utiliza informações de embarque-desembarque ao longo de uma linha de transporte, bem como informações a respeito de alguns pares de pontos selecionados. O conjunto de equações lineares representa a equações de conservação do fluxo baseado na contagem de embarque-desembarque, e o conjunto de desigualdades representa as informações de alguns parâmetros desconhecidos dados por uma série de valores. Os elementos da matriz O-D são derivados para minimizar a expectativa de erro entre os valores "verdadeiros" e os valores calculados.
 
 

2. MODELOS

2.1 Modelo Gravitacional Restringido
O modelo gravitacional restringido é muito utilizado no processo seqüencial de previsão de demanda, e tem como finalidade estimar o número de viagens entre duas zonas de tráfego. A principal diferença entre o modelo de gravidade aplicado na distribuição de viagens e o aplicado neste trabalho está no sinal do expoente. No modelo de distribuição de viagens original é negativo, uma vez a escolha de um determinado destino fica inibido à medida que se aumenta a distância da viagem. No caso do transporte coletivo pode ser visto como sendo resultado de um processo em que se teve como um modo concorrente a caminhada. Assim, as pessoas que escolheram o transporte coletivo foram motivadas por algumas de suas vantagens em relação à caminhada, quais sejam: a rapidez e o conforto físico, os quais somente aparecem a partir de certa distância. E essas vantagens crescem com a distância. Assim, a probabilidade de um passageiro que embarca num ponto desça no ponto seguinte é quase nula, e aumenta à medida que aumenta a distância. A Equação (1) descreve o número de viagens entre os pontos i e j.

(1)  

A_i.= constante de origem;

B_j.= constante de destino;

O_i = número de viagens geradas em i;

D_j = número de viagens atraídas por j;

C_ij= função custo (tempo ou distância de viagem); e

a_k = constante a ser adotada para o k-ésimo grupo de origens.

A denominação "restringido" deve-se ao fato de que os volumes de viagens devem obedecer a duas restrições básicas: a) o total de viagens originadas em uma zona deve ser o total de viagens originadas em uma zona deve ser igual ao total de viagens distribuídas a partir dela; e b) o total de viagens que se dirigem a um ponto deve ser igual ao total de viagens atraídas por ele (para maiores detalhes ver Novaes, 1986 ou Erlander & Stewart, 1990). As Equações (2) e (3) são as restrições mencionadas.

Kawamoto (1994) discorre sobre o modelo Gravitacional Restringido e apresenta uma aplicação a uma linha de transporte por ônibus. Nesse trabalho o autor considerou, além das restrições representadas pelas Equações (2) e (3), o tempo médio de viagem, o qual foi calculado a partir dos tempos de viagem entre dois pontos consecutivos e dos dados de embarque e desembarque.

Quanto à constante a_k, ela pode ser manipulada a fim de reduzir ou aumentar o número de viajantes que embarcam em um dado ponto e desembarcam no ponto seguinte. No presente trabalho, o valor de a_k foi adotado em função da probabilidade de 0,01% dos passageiros desembarcarem nos pontos seguintes aos seus respectivos pontos de embarque. Uma pesquisa preliminar realizada com os dados coletados na cidade de São José do Rio Pardo mostrou que apenas 1% dos passageiros desembarcam antes de completar 1000 m de viagem.
 
 

2.2 Modelo de Analogia do Fluido
O método do fluido ou Tsygalnitzky foi utilizado por Simon (1993) para a obtenção de uma matriz O/D a partir de dados de embarque-desembarque em linhas de ônibus na Califórnia. Ben-Akiva apud Furth(1993) chamou este método de oportunidade interveniente, devido a este seguir a clássica lógica do modelo de oportunidades, dando prioridade aos destinos mais próximos.

Esta analogia ao fluido assume uma estimativa de uma única matriz O-D muito simples, numerando-se os pontos ao longo da rota, as variáveis usadas são: v_ij = volume de passageiros indo do ponto i para o ponto j, i < j; v_i = volume de passageiros embarcados no ponto i, j > i; v_j = å v_ij = volume de passageiros desembarcando no ponto j, i < j; e_ij = volume de passageiros que embarcam em i, eleitos para desembarcar em j; m = mínima distância de viagem, medida em número de pontos.

Passageiros embarcados em i são eleitos para desembarcar em j, se estes tiverem viajado a distância mínima requerida (isto é, se j - i ³ m), e se não tiverem desembarcados em um ponto anterior a j. (Enquanto não existir prováveis complicações às uma distância mínima requerida, assume-se em um caso simples um mínimo de m = 1).

O cálculo segue assumindo que e_ij = v_ij = 0 para todo par O-D (i, j) no qual j - i< m. Pelo mesma suposição, e_ij = v_ij para todo par (i, j) no qual j - i = m. A estimativa procede coluna por coluna, começando com a coluna j = m + 1 (o primeiro ponto no qual deva haver um desembarque). A cada ponto j, e._j passageiros são eleitos para desembarcar, enquanto v._j foram observados desembarcando. Esta fração é aplicada para todo ponto de embarque i no qual existem passageiros eleitos, isto é, v_ij = f_je_ij para todo i = 1,..., j - m. Antes de proceder ao próximo ponto de desembarque (j + 1), os passageiros eleitos são reduzidos do número que desembarcou em j.

2.3 Modelo de Programação Linear
O modelo consiste em minimizar os erros da matriz O-D fazendo com que o volume de passageiros estimado para cada célula da matriz fique o mais próximo possível do centro do espaço de soluções viáveis. Essa tarefa é realizada com o auxílio do método de programação linear.

As duas primeiras restrições do problema de programação linear são constituídas pelas Equações (2) e (3), consideradas também no modelo gravitacional.

As outras restrições advêm das consultas feitas pelo pesquisador aos funcionários da empresa operadora ou aos analistas familiarizados com o padrão de O-D da linha. Especificamente, a consulta refere-se ao número de passageiros que embarcam em um ponto e desembarcam no ponto seguinte. A resposta pode ser fornecida em termos de número absoluto ou relativo ao total de passageiros embarcados naquele ponto, ou ainda em termos de um intervalo de variação. Com esses dados adicionais definem-se outras restrições, mostradas pela Equação (4).

onde s_1(i,j) e s_2(i,j) são limites inferiores e superiores dos valores estimados para V_ij, respectivamente. Caso não haja informações a respeito dos limites de V_ij, os limites inferiores e superiores, s_1(i,j) e s_2(i,j) são determinados pelas Equações (5) e (6), respectivamente.

O exemplo apresentado por Kikuchi (1992) demonstra que modelo produz estimativas razoavelmente precisas para a matriz O-D. A grande vantagem do modelo de programação linear é que outras restrições, baseadas nas informações completas ou incompletas, podem ser adicionadas a fim de aumentar a precisão dos resultados.
 
 

3. Dados utilizados
A comparação de desempenho dos modelos foi feita com base nos dados utilizados por Kikuchi (1992) para demonstrar a aplicabilidade do modelo de programação linear. Trata-se de dados coletados em uma linha de trem que linha as cidade de Lindenwold, New Jersey a Delaware, Pennsylvannia, em 1979. A linha tem 23 km, e é dotada de treze estações, incluindo as estações terminais. A matriz O-D apresentada pelo autor foi baseada em uma amostra de 3.266 passageiros, retirada do universo de 40.532 viagens realizadas diariamente.
 
 

4. RESULTADOS E CONCLUSÕES
O presente trabalho comparou os resultados observados no campo com os resultados obtidos através do modelo Gravitacional Restringido, modelo do Fluido e modelo de Programação Linear. A tabela 1 mostra a comparação entre os resultados observados e os resultados das estimativas utilizando os três métodos.

O método do fluido pede que se agrupem conjunto de pontos ao longo da rota, desta forma podem aparecer valores de desembarque na diagonal da matriz. No estudo em questão os pontos não foram agrupados e para garantir que nenhum passageiro desembarque em seu ponto de embarque, adotou-se o valor zero na diagonal inferior da matriz, desta forma garantiu-se uma distância mínima de viagem de pelo menos um ponto para todos passageiros.

Nos valores do modelo de Programação Linear, o programador deve possuir noção do número de passageiros que embarcavam e desembarcavam em determinadas estações, este conhecimento permite atribuir valores aos pontos ao longo da linha conforme os comportamento dos usuários ao longo do itinerário, contribuindo para a convergência do modelo.
 
 

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	Total
	0	0	4	103	12	256	180	1237	607	701	1104	939	1760
1	0	0	3	80	7	436	302	1098	598	665	1059	943	1712	6901
	0	0	3	80	7	435	301	1090	595	666	1060	945	1721
	0	0	2	60	7	404	219	1250	504	994	1100	548	1811
		0	0	17	5	167	118	497	213	278	409	331	679
2		0	1	32	3	171	119	432	235	262	416	371	673	2713
		0	1	32	3	171	118	429	234	262	417	372	676
		0	2	51	1	85	64	500	132	149	400	628	700
			0	1	0	34	37	161	90	81	97	117	162
3			0	9	1	49	34	124	68	75	120	107	194	784
			0	9	1	49	34	123	67	75	120	107	194
			0	9	1	58	58	150	58	58	100	135	150
				0	2	680	494	1170	553	713	1166	958	1533
4				0	8	465	322	1171	638	709	1128	1005	1825	7267
				0	8	464	321	1162	634	709	1130	1008	1834
				0	9	568	426	1192	882	594	1167	928	1500
					0	0	14	83	29	23	40	5	70
5					0	16	11	42	23	26	41	37	67	264
					0	17	12	42	23	26	41	37	67
					0	19	19	55	20	20	40	20	70
						0	9	49	199	137	215	275	533
6						0	64	238	131	148	237	212	386	1417
						0	67	242	132	148	235	210	382
						0	63	50	106	106	225	365	500
							0	7	67	27	91	151	298
7							0	99	58	71	115	105	193	641
							0	115	63	70	112	100	182
							0	8	48	48	90	147	300
								0	11	20	36	15	97
8								0	19	24	38	34	63	179
								0	21	24	38	34	62
								0	13	13	35	17	100
									0	7	9	23	10
9									0	7	12	11	20	49
									0	7	12	11	19
									0	4	10	24	10
										0	8	22	9
10										0	9	10	21	39
										0	11	10	18
										0	7	19	10
											0	0	11
11											0	3	8	11
											0	4	7
											0	1	10
												0	0
12												0	0	0
												0	0
												0	0
													0
													0	0
													0
13													0	0
Total														20266

Nota: Primeira linha: valores observados à campo
Segunda linha: valores estimados pelo modelo gravitacional
Terceira linha: valores estimados pelo modelo fluido
Quarta linha: valores estimados pelo modelo de programação linear
 

Para avaliação do desempenho dos modelos foram comparados os resultados das diferenças entre os valores observados à campo e os valores estimados pelos três métodos. A fim de se evitar a compensação entre diferenças positivas e negativas, tomou-se as diferenças em módulo. A somatória das diferenças para o modelo de Programação Linear foi de 3.148, o que resulta um erro de 15,34% por passageiro embarcado. A somatória das diferenças para o modelo do Fluido foi de 2966, ou seja um erro de 14,63% por passageiro embarcado. O Método Gravitacional apresentou a menor soma das diferenças 2909 com um erro de 14,35% por passageiro embarcado.

A simplicidade, facilidade e a rapidez computacional do Método Gravitacional e do Método do Fluido tornam estes métodos mais atrativos quando comparados ao Método de Programação Linear. O modelo do fluido utiliza apenas informações de embarque e desembarque, o modelo gravitacional utiliza os dados de embarque desembarque e as distâncias entre pontos, enquanto que o modelo de programação linear, necessita dos valores de embarque desembarque e o conhecimento prévio do padrão de embarque e desembarque em alguns pontos ao longo da linha.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS