ao tabular Z, há uma precisa relação de 2 para 1 entre M_n e M_n+1. O máximo inicial M₁=483 aparece como se tivesse seguido um máximo M_o=385, já que os máximos perto de 385 são seguidos por aproximações bem perto da origem e depois por máximos excepcionalmente grandes.
   Segue que um pesquisador, alheio à natureza das equações dominantes, poderia formular um esquema empírico de previsão a partir dos “dados” mostrados nas Figuras 2 e 4. A partir do valor do máximo mais recente de Z, os valores aos máximos futuros podem ser obtidos por aplicações repetidas da Fig. 4. Os valores de X, Y, e Z entre os máximos de Z podem ser encontrados a partir da Fig. 2, interpolando entre curvas próximas. Certamente, a precisão das previsões feitas por este método é limitada pela exatidão das Figuras 2 e 4, e, como veremos, pela precisão com a qual os valores iniciais de X, Y, e Z são observados.
   Algumas das implicações da Fig. 4 são reveladas considerando uma correspondência idealizada de 2 para 1 entre os sucessivos membros das seqüências M_o, M₁, …, que consistem em números entre zero e um. Estas seqüências satisfazem as relações

A correspondência definida por (35) é mostrada na Fig. 5, que é uma idealização da Fig. 4. Segue das aplicações repetidas de (35) que em qualquer seqüência particular,

onde m_n é um inteiro par.

Considere primeiro uma seqüência onde M_o=u/2^p, onde u é ímpar. Neste caso M_p-l = 1/2, e a seqüência termina. Estas seqüências formam um conjunto enumerável, e correspondem às trajetórias cujo resultado encontra diretamente o estado de não convecção.
   A seguir considere uma seqüência onde M_o=u/2^pυ, onde u e υ são números ímpares relativamente primos. Então se k>0, M_p+1+k=u_k/υ, onde u_k e υ são relativamente primos e u_k é par. Como para qualquer υ o número de frações próprias u_k/υ é finito, podem ocorrer repetições, e a seqüência é periódica. As seqüências também formam um conjunto enumerável, e correspondem a trajetórias periódicas.
   As seqüências periódicas que têm um número dado de diferentes valores, ou fases, são facilmente tabuladas. Em particular há uma única seqüência de uma fase, uma seqüência de duas fases, e duas seqüências de três fases, ou seja,

2/3, …
2/5, 4/5, …
2/7, 4/7, 6/7, …
2/9, 4/9, 8/9, …

As duas seqüências de três fases diferem qualitativamente em que a primeira possui dois números, e a última somente um número, que excede de1/2. Assim, a trajetória correspondente à primeira percorre dois ciclos ao redor de C, seguidos por um ao redor de C' (ou vice versa). A trajetória correspondente à última percorre três ciclos ao redor de C, seguidos de três ao redor de C', de maneira que realmente só Z varia em três fases, enquanto X e Y variam em seis.
   Agora considere uma seqüência onde M_o não é uma fração racional. Neste caso (36) mostra que M_n+k não pode igualar

FIG. 4. Valores correspondentes do máximo relativo de Z (abscissa) e o máximo relativo subseqüente de Z (ordenada) que ocorrem durante as primeiras 6000 iterações.

FIG. 5. A função M_n+1=2M_n se M_n<1/2.  M_n+1=2-2M_n se M_n>1/2, que serve como uma idealização do local dos pontos na Fig. 4.