Para qualquer uma destas soluções, a equação característica da matriz em (29) é

Esta equação possui uma raiz negativa real e duas raízes conjugadas complexas quando r>1; as raízes conjugadas complexas são puramente imaginárias se o produto dos coeficientes de λ² e λ se iguala ao termo constante, ou

Este é o valor crítico de r para a instabilidade da convecção estacionária. Então se σ<b+1, nenhum valor positivo de r satisfaz (34), e a convecção estacionária é sempre estável, mas se σ> b+1, a convecção estacionária é instável para números Rayleigh suficientemente altos. Este resultado certamente se aplica somente à convecção idealizada, governada por (25)-(27), e não às soluções das equações diferenciais parciais (17) e (18).
   A presença de raízes complexas de (34) mostra que se a convecção estacionária instável é interrompida, o movimento oscilará em intensidade. O que acontece quando as perturbações se tornam grandes não é revelado pela teoria linear. Para investigar a convecção de amplitude finita, e para estudar o subespaço ao qual as trajetórias estão finalmente confinadas, apelamos para a integração numérica.

TABELA 1. Solução numérica das equações de convecção. Os valores de X, Y, Z são dados a cada quinta iteração N, pelas primeiras 160 iterações.

7. Integração numérica das equações de convecção

   Para obter soluções numéricas das equações de convecção devemos escolher valores numéricos para as constantes. Seguindo Saltzman (1962), deixaremos σ=10 e a²=1/2, de maneira que b=8/3. O número Rayleigh crítico para a instabilidade da convecção estacionária então ocorre quando r=470/19=24.74.
   Escolheremos o valor ligeiramente supercrítico r=28. Os estados da convecção estacionária são então representados pelos pontos (,27) e (,,27) no espaço de fase, enquanto o estado da não convecção corresponde à origem (0,0,0).
   Utilizamos o procedimento de dupla aproximação para a integração numérica, definido por (9), (10), e (14). O valor Δr=0.01 foi escolhido para o incremento do tempo adimensional. Os cálculos foram realizados em um computador Royal McBee LGP-30. 

TABELA 2. A solução numérica dos Valores das equações de convecção de X, Y, Z são dados a cada iteração N para a qual Z possui um máximo relativo, pelas primeiras 6000 iterações.