substituindo estas séries em (17) e (18). Ele arrumou os
lados direitos das equações resultantes na forma da dupla
série de Fourier, substituindo produtos das funções
trigonométricas de x (ou z) por somas de
funções trigonométricas, e depois coeficientes
equacionados de funções similares de x e z.
Então ele reduziu o sistema infinito resultante a um
sistema finito omitindo a referência a tudo menos a um
conjunto finito especificado de funções de t, na
forma proposta pelo autor (1960).
Ele, então, obteve soluções dependentes do tempo por integração
numérica. Em certos casos todas exceto três das variáveis
dependentes eventualmente tenderam a zero, e estas três
variáveis suportaram flutuações irregulares, aparentemente
não periódicas.
Estas mesmas soluções teriam sido obtidas se a série tivesse sido
truncada no começo para incluir um total de três termos.
Consequentemente, neste estudo faremos
onde X, Y, e Z são funções somente do
tempo. Quando as expressões (23) e (24) são substituídas em
(17) e (18), e os termos trigonométricos diferentes daqueles
que ocorrem em (23) e (24) são omitidos, obtemos as equações
Aqui um ponto denota uma derivada em relação ao tempo
adimensional τ=π2H-2(1+a2)kt,
enquanto σ=k-1υ
é o número Prandtl, r=Rc-1Ro,
e b=4(1+a2)-1. Exceto pelas
constantes multiplicativas, nossas variáveis X, Y,
e Z são o mesmo que as variáveis de Saltzman's
A, D, e G. As equações (25), (26), e (27) são as
equações de convecção cujas soluções estudaremos.
Nestas equações X é proporcional à intensidade do movimento
convectivo, enquanto Y é proporcional à diferença de
temperatura entre as correntes ascendentes e descendentes,
sinais similares de X e Y denotam que o fluido
quente está subindo e o fluido frio está descendendo. A
variável Z é proporcional à distorção do perfil da
temperatura vertical da linearidade, um valor positivo
indicando que os gradientes mais fortes ocorrem perto dos
limites.
As equações (25)-(27) podem dar resultados realistas quando o
número Rayleigh é levemente supercrítico, mas não pode se
esperar que suas soluções se pareçam com as de (17) e (18)
quando ocorre convecção forte, em vista do extremo
truncamento.
6. Aplicações da teoria linear
Embora as equações (25)-(27), como estão, não tenham a
forma de (4), um número de transformações lineares
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deverão converte-las a esta forma. Uma das mais simples delas é a
transformação
As soluções de (25)-(27) então, permanecem confinadas dentro
de uma região R à medida que r → ∞, e os resultados
gerais das Seções 2, 3, e 4 se aplicam a estas equações.
A estabilidade de uma solução X(r), Y(r), Z(r) pode ser
formalmente investigada considerando o comportamento de
pequenas perturbações sobrepostas xo(r). yo(r),
zo(r). Tais perturbações são
temporariamente governadas pelas equações linearizadas
Como os coeficientes em (29) variam com o tempo, a menos que
o estado básico X, Y, Z seja uma solução de estado
estável de (25)-(27), uma solução geral de (29) não é
possível. Não obstante, a variação do volume Vo
de uma pequena região no espaço da fase, como cada ponto
na região é deslocado de acordo com (25)-(27), é determinada
pela soma diagonal da matriz dos coeficientes,
especificamente
Talvez
isto seja mais facilmente visto observando-se o movimento no
espaço de fase como o fluxo de um fluido, cuja divergência é
Assim, cada pequeno volume recua para zero à medida que r →
∞, a uma taxa independente de X, Y, e Z. Isto
não implica que cada volume pequeno recue para um ponto,
pode simplesmente ficar achatado em uma superfície. Segue
que o volume de uma região inicialmente confinada pela
superfície S recua para zero à mesma taxa, de maneira
que todas as trajetórias finalmente ficam confinadas a um
subespaço específico que tem volume zero. Este subespaço
contém todas essas trajetórias que ficam inteiramente dentro
de R, e então contém todas as trajetórias centrais.
As equações (25)-(27) possuem a solução de estado estável X
= Y = Z = 0, que representam o estado de não
convecção. Com esta solução básica, a equação característica
da matriz em (29) é
Esta equação tem três raízes reais quando r>0; todas são
negativas quando r<1, mas uma é positiva quando r>1.
O critério para o começo da convecção é, portanto, r=1,
ou Ro=Rc, de acordo com o
resultado de Rayleigh.
Quando r>1, as equações (25)-(27) possuem duas soluções de
estado estável adicionais
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