Um esquema conveniente para a computação automática é a
avaliação sucessiva de Xi(n+1), Xi((n+2)),
e Xi,n+1 de acordo com (9), (10) e
(14). Utilizamos este procedimento em todos os cálculos
descritos neste estudo.
No espaço da fase uma solução numérica de (1) deve ser representada
por uma partícula que pula em lugar de uma partícula
continuamente em movimento. Além disso, se um computador
digital for instruído para representar cada número em sua
memória por uma quantidade de bits fixa predeterminada,
somente certos pontos individuais no espaço da fase serão
ocupados. Se a solução numérica é limitada, eventualmente
devem ocorrer repetições, de modo que, estritamente falando,
toda solução numérica é periódica. Na prática esta
consideração pode ser descartada se o número de diferentes
estados possíveis for muito maior que o número total de
iterações possíveis de ser realizadas. A necessidade de
repetição poderia ser evitada totalmente pelo procedimento
algo anti-econômico de deixar a precisão da computação
aumentar conforme n aumenta.
Considere agora soluções numéricas para equações (4), obtidas pelo
procedimento da diferença de avanço (11). Para essas
soluções,
Consideremos que S' é qualquer superfície de Q constante cujo
interior R' contém a elipsóide E onde dQ/dt desaparece,
e que S é qualquer superfície de Q constante cujo interior R'
contém S'.
Como ∑Fi2 e dQ/ dt ambos
possuem limites superiores em R', podemos escolher ∆t tão pequeno
que Pn+1 fique em R se Pn ficar em
R'. Da mesma forma, como ∑Fi2 possui um
limite superior e dQ/dt possui um limite superior negativo em
R-R', podemos escolher ∆t tão pequeno que Qn+1<Qn
se Pn ficar em R- R'. Então ∆t pode ser
escolhido tão pequeno que qualquer partícula que pula, que tenha entrado em
R, permaneça aprisionada dentro de R, e a solução numérica não
exploda. Uma explosão pode ainda ocorrer, porém, se inicialmente a partícula é
externa a R.
Considere agora o procedimento de dupla aproximação (14). Os
argumentos prévios implicam não só que P(n+1) fica dentro de
R se Pn fica dentro de R, mas também que P((n+2))
fica dentro de R se P(n+1) fica dentro de R.
Como a região R é convexa, segue que Pn+1, como dado
por (14), fica dentro de R se Pn fica dentro de R.
Então se ∆t é escolhido tão pequeno que o procedimento de diferença
de avanço não explode, o procedimento de dupla aproximação também não explode.
Notamos por sinal que se aplicamos o procedimento de diferença de
avanço a um sistema conservativo onde dQ/dt=0 por toda parte,
Neste caso, para qualquer escolha fixada de t a solução
numérica finalmente vai para infinito, a menos que esta
esteja assintoticamente
|
alcançando um estado estável. Um resultado similar se obtém
quando o procedimento de dupla aproximação (14) é aplicado a
um sistema conservativo.
5. As equações de convecção de Saltzman
Nesta seção apresentaremos um sistema de três equações
diferenciais ordinárias cujas soluções representam o exemplo
mais simples do fluxo não periódico determinístico do qual o
autor tem conhecimento. O sistema é uma simplificação de um
derivado de Saltzman (1962) para estudar a convecção de
amplitude finita. Embora nosso presente interesse esteja na
natureza não periódica de suas soluções, mais do que em suas
contribuições ao problema da convecção, nós descreveremos
brevemente seu ambiente físico.
Rayleigh (1916) estudou o fluxo que ocorre em uma camada de fluido
de profundidade uniforme H, quando a diferença de
temperatura entre as superfícies superior e inferior é
mantida a um valor constante ∆T. Tal sistema possui
uma solução de estado estável na qual não há movimento, e a
temperatura varia linearmente com a profundidade. Se esta
solução é instável, a convecção poderia se desenvolver.
No caso onde todos os movimentos são paralelos ao plano x–z,
e não ocorrem variações na direção do eixo y, as
equações dominantes podem ser escritas (ver Saltzman, 1962)
Aqui ψ
é uma função do fluxo para o movimento bi-dimensional, θ
é a saída de temperatura que ocorre no estado de não
convecção, e as constantes g, α, v, e κ
denotam, respectivamente, a aceleração da gravidade, o
coeficiente de expansão térmica, a viscosidade cinemática, e
a condutividade térmica. O problema é mais tratável quando
os limites superior e inferior são tomados como livres, em
cujo caso
ψ
e Ñ2ψ desaparecem em ambos os limites.
Rayleigh encontrou que os campos de movimento da forma
Se desenvolveriam se a quantidade
Agora chamado o número Rayleigh, excedesse um valor
crítico
O valor mínimo de Rc, quer dizer, 27p4/4,
ocorre quando a2=½.
Saltzman (1962) derivou um conjunto de equações diferenciais
ordinárias expandindo
ψ;
e θ na dupla série Fourier em x e z,
com as funções de t só para coeficientes, e |