e se e1,…,eM são as raízes das
equações
Segue de (4) que
O lado direito de (7) desaparece somente sobre a superfície
de uma elipsóide E, e é positivo somente no interior
de E.
As superfícies da constante Q são esferas
concêntricas. Se S denota uma em particular destas
esferas cujo interior R contém a elipsóide E,
é evidente que cada trajetória eventualmente fica
aprisionada dentro de R.
3. A instabilidade do fluxo não periódico
Nesta seção estabeleceremos uma das mais importantes
propriedades do fluxo determinístico não periódico, ou seja,
sua instabilidade em relação a modificações de pequena
amplitude. Consideraremos conveniente fazer isto
identificando as soluções das equações dominantes com
trajetórias no espaço da fase. Usaremos símbolos como
P(t) (argumento variável) para denotar trajetórias, e
símbolos como P ou P(t0) (sem
argumento ou argumento constante) para denotar pontos, sendo
que o último símbolo denota o ponto específico através do
qual P(t) passa ao tempo t0.
Lidaremos com um espaço de fase Γ no qual uma
única trajetória passa através de cada ponto, e onde a
passagem do tempo define uma deformação contínua de uma
região de Γ em outra região, de maneira que se os
pontos P1(t0), P2(t0),
… se aproximam de P0(t0)
como limite, os pontos P1(t0+τ), P2(t0+τ),
devem se aproximar de P0(t0+τ)
como limite. Além disso, exigiremos que as trajetórias sejam
uniformemente limitadas como t→ ∞; isto é, deve haver
uma região limitada R, tal que toda trajetória
finalmente permaneça em R. Nosso procedimento é
influenciado pelo trabalho de Birkhoff (1927) sobre sistemas
dinâmicos, mas difere em que Birkhoff estava preocupado
principalmente com sistemas conservativos. Um tratamento
particularmente detalhado dos sistemas dinâmicos foi dado
por Nemytskii e Stepanov (1960), e rigorosas provas de
alguns dos teoremas que apresentaremos poderão ser
encontradas nessa fonte.
Primeiro classificaremos as trajetórias de três maneiras
diferentes, ou seja, de acordo com a ausência ou presença de
propriedades transitórias, de acordo com a estabilidade ou
instabilidade das trajetórias em relação a pequenas
modificações, e de acordo com a presença ou ausência de
comportamento periódico.
Como qualquer trajetória P(t) é limitada, deve
possuir pelo menos um ponto limite P0,
um ponto que se aproxima arbitrariamente próxima
arbitrariamente freqüente. Mais precisamente, P0
é um ponto limite de P(t) se para qualquer ε > 0 e
qualquer tempo t1 existe um tempo t2(ε,t1)>t1
tal que |P(t2)-P0|< ε. Aqui
|
os símbolos de valor absoluto denotam distância no espaço da fase. Como Γ
é continuamente deformada à medida que t varia, todo ponto na
trajetória por P0 é também um ponto limite de P(t), e
o conjunto de pontos limites de P(t) forma uma trajetória, ou um
conjunto de trajetórias, chamadas trajetórias limite de P(t).
Uma trajetória limite está obviamente incluída dentro de R em sua
totalidade.
Se uma trajetória está incluída entre suas próprias trajetórias
limite, será chamada de central; caso contrário será chamada de não
central. Uma trajetória central passa arbitrariamente próxima
arbitrariamente freqüente a qualquer ponto através do qual tenha passado
previamente, e, neste sentido pelo menos, segmentos separados suficientemente
longos de uma trajetória central são estatisticamente similares. Uma
trajetória não central permanece a uma certa distância de qualquer ponto
através do qual passou previamente. Deve aproximar todo seu conjunto de pontos
limite assintoticamente, embora não precise aproximar assintoticamente nenhuma
trajetória limite em particular. Sua distância instantânea de seu ponto limite
mais próximo é, portanto, uma quantidade transitória, que se torna
arbitrariamente pequena à medida que t→ ∞.
Uma trajetória P(t) será chamada de estável a um ponto
P(t1) se qualquer outra trajetória que passe suficientemente
perto de P(t1) no tempo t1 permanecer
próxima de P(t) à medida que t→ ∞; isto é, P(t) é
estável em P(t1) se por qualquer ε > 0 existir um δ(ε,t1)
tal que se |P1(t1) – P(t1)|<δ e t2>t1,
|P1(t2) - P(t2)| < ε. Caso
contrário, P(t) será chamado de instável em P(t1).
Como Γ é continuamente deformado à medida que t varia, uma
trajetória que é estável em um ponto é estável em todos os pontos, e será
chamada de trajetória estável. Uma trajetória instável em um ponto é
instável em todos os pontos, e será chamada de trajetória instável. No
caso especial que P(t) seja restrito a um ponto, esta definição de
estabilidade coincide com o conceito familiar de estabilidade do fluxo
estável.
Uma trajetória estável P(t) será chamada de uniformemente
estável se a distância dentro da qual uma trajetória vizinha deve se aproximar
de um ponto P(t1), para ter certeza de permanecer perto de
P(t) à medida que t→ ∞, possui em si um limite menor positivo à
medida que t1→ ∞; isto é, P(t) é uniformemente
estável se para qualquer ε > 0 existe um δ(ε) > 0 e um tempo
t0(ε) tal que se t1>t0 e |P1(t1)
– P(t1)|<δ e t2>t1, |P1(t2)
- P(t2)| < ε. Uma trajetória limite P0(t) de
uma trajetória P(t) uniformemente estável deve ser uniformemente
estável por sua vez, já que todas as trajetórias que passam suficientemente
próximas de Po(t) devem passar arbitrariamente próximas a
algum ponto de P(t) e assim devem permanecer próximas ao P(t), e
então ao Po(t), à medida que t→ ∞.
Já que cada ponto está situado em uma única trajetória, qualquer
trajetória que passe por um ponto pelo qual já tenha passado previamente deve
continuar a repetir seu comportamento passado, e, portanto, deve ser
periódica. Uma trajetória P(t) será chamada de
quase-periódica se para um intervalo τ de tempo arbitrariamente
largo, P(t+τ) finalmente permanece arbitrariamente próximo ao P(t),
isto é, P(t) é quase-periódico se para qualquer ε>0 e para
qualquer intervalo τ0, de tempo, existe um τ(ε,τ0)
> τ0 e um tempo t1(ε,τ0) tal
que se t2>t1, |P1(t2+τ)
- P(t2)|< ε.
|