Os números primos de Mersenne.

Um pouco de história...

 Muito antigamente registrou-se que os números da forma 2n-1 eram primos para todos os primos n, mas em 1536 Hudalricus Regius mostrou que 211-1 = 2047 não era primo (2047 é 23.89). Por volta de 1603 Pietro Cataldi corretamente verificou que 217-1 e 219-1 eram ambos primos, mas então incorretamente afirmou que 2n-1 também era primo para n=23, 29, 31 and 37. Em 1640 Pierre de Fermat mostrou que Cataldi estava errado sobre o 23 e o 27; Euler em 1738 mostrou que Cataldi estava errado sobre o 29. Algum tempo depois, Euler mostrou que Cataldi estava certo sobre o 31..

O monge francês Marin Mersenne (1588-1648) afirmou no prefácio do seu Cogitata Physica-Mathematica (1644) que os números  2n-1 eram primos para

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 and 257
e eram compostos para todos os outros inteiros n < 257. A conjectura de Mersenne's (incorreta) mostrou-se tão não importante como a de Regius, mas seu nome ficou relacionado a esses números.
Definição: Quando 2n-1 é primo ele é dito um  primo de Mersenne.
Ficou óbvio para os críticos que Mersenne não havia testado todos estes números (ele disse que sim), mas eles também não conseguiram testá-los. Isso até 100 anos mais tarde, em 1750, quando Euler verificou que o próximo número na lista de  Mersenne e Regius , 231-1, era primo. Depois de mais um século, em 1876, Lucas verificou que 2127-1 também era primo. Sete anos depois, Pervouchine mostrou que 261-1 era primo, então Mersenne tinha esquecido este. Nas primeiras décadas de 1900 Powers mostrou que Mersenne também tinha esquecido os primos  289-1 and 2107-1. Finalmente, em 1947 a faixa de Mersenne, n < 258, foi completamente checada e determinou-se que a lista correta era:
n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 and 127.
A tabela completa dos números primos de conhecidos até hoje está abaixo:

Seja M(p) = 2p-1. A lista de todos os primos  p para os quais M(p) é um primo de Mersenne é:
 

ordem p 
(expoente)		 dígitos 
em Mp		 ano descobridor
1 2 1 ---- ----
2 3 1 ---- ----
3 5 2 ---- ----
4 7 3 ---- ----
5 13 4 1456 anonymous
6 17 6 1588 Cataldi
7 19 6 1588 Cataldi
8 31 10 1772 Euler
9 61 19 1883 Pervushin
10 89 27 1911 Powers
11 107 33 1914 Powers
12 127 39 1876 Lucas
13 521 157 1952 Robinson
14 607 183 1952 Robinson
15 1279 386 1952 Robinson
16 2203 664 1952 Robinson
17 2281 687 1952 Robinson
18 3217 969 1957 Riesel
19 4253 1281 1961 Hurwitz
20 4423 1332 1961 Hurwitz
21 9689 2917 1963 Gillies
22 9941 2993 1963 Gillies
23 11213 3376 1963 Gillies
24 19937 6002 1971 Tuckerman
25 21701 6533 1978 Noll & Nickel
26 23209 6987 1979 Noll
27 44497 13395 1979 Nelson & Slowinski
28 86243 25962 1982 Slowinski
29 110503 33265 1988 Colquitt & Welsh
30 132049 39751 1983 Slowinski
31 216091 65050 1985 Slowinski
32 756839 227832 1992 Slowinski & Gage
33 859433 258716 1994 Slowinski & Gage
34 1257787 378632 1996 Slowinski & Gage
35 1398269 420921 1996 Armengaud, Woltman, et. al. (GIMPS)
?? 2976221 895932 1997 Spence, Woltman, et. al. (GIMPS)
?? 3021377 909526 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski 
et. al. (GIMPS, PrimeNet)
Não se sabe ainda se o último e maior primo de Mersenne é realmente o 37o pois a região entre os dois últimos ainda não foi completamente testada. (O 29o primo de Mersenne foi achado quando se verificava a região entre dois primos achados 5 anos antes)  GIMPS provou que 2756839-1 era o 32o (15 de janeiro de 1997), 2859433-1 era o 33o (28 de março de 1997), 21257787-1 era o 34o (28 de agosto de 1997) e 21398269-1 era o 35o (11 de outubro de 1997) completando os testes para os expoentes remanescentes.  Todos os expoentes menores que 1,481,800 foram agora testados pelo menos uma vez.

Maiores informaçãoes sobre primos podem ser obtidas em  http://www.utm.edu/research/primes/

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Tradução: Eloy Ferraz Machado Neto
last modification: 17 mar 98
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