O número p é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, ou seja p=C/D. O primeiro a usar a letra grega p (p, em grego) foi Welshman Willian Jones em 1706, que abreviou "periphery" (perímetro) de um círculo de diâmetro unitário. Euler adotou o símbolo e rapidamente ele se tornou uma notação padrào.
Desde muitos séculos
atrás, os povos antigos já tinhas conhecimento do número
p:
Veja a evolução das casas decimais verdadeiras obtidas para p usando-se aproximações com polígonos inscritos, feitas por um fã do número p, o argentino Ramón Llorenz Moreno:
| Lados | Número p obtido | |
| 36 | 3,1 | |
| 360 | 3,141 | |
| 3.600 | 3,14159 | |
| 36.000 | 3,1415926 | |
| 360.000 | 3,141592653 | |
| 3.600.000 | 3,14159265358 | |
| 36.000.000 | 3,1415926535897 | |
| 360.000.000 | 3,141592653589793 | |
| 3.600.000.000 | 3,14159265358979324 |
Hoje em dia, temos o número p calculado com bilhões de casas decimais. Veja o número p com 100 casas decimais:
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679.
ou com 1000 casas decimais:
p = 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Para se calcular estas casas decimais do número p, usam-se computadores potentes e séries infinitas que convergem para o número p, como vemos abaixo. Um dos primeiros algoritmos foram:
Algorítmo John Wallis p = 2 ( 2/1 x 2/3 x 4/3 x 4/5 x 6/5 x 6/7 ....)
Algorítmo Gottfried Wilhem von Leibniz p
= 4(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9...)
O algorítmo
de Leibniz deriva do fato de que arctg x = x - x3/3
+ x5/5 - x7/7
+ ...
e que arctg 1 = p/4.
Assim, usando-se x=1 e multiplicando-se o resultado por 4 temos o número p com tantas casas decimais quantas mais forem as parcelas somadas. Esta convergência para p é lenta (para 7 casas decimais precisa-se de 7000 parcelas...), visto que em expansões de arco-tangentes os termos se reduzem de um fator x2 cada vez. Então, para uma convergencia rápida, precisaríamos de um x menor que 1. Por isso, em algoritmos computacionais para o cálculo das casas decimais do p, preferem-se a fórmula de Machin:
p/4 = 4.arctg 1/5 - arctg 1/239, que converge mais rápidamente.
Ramanujan desenvolveu
uma fórmula que adiciona 8 decimais para p
a cada termo somado. Esta é uma das fórmulas usadas nos super
computadores para os cálculos das casas bilionésimas de p.
Recentemente,
David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe contabilizaram 10 bilhões
de casas decimais para p,
usando uma fórmula que dá cada casa decimal do p
individualmente, para cada
n escolhido:
Ninguém
nunca havia antes conjecturado esta possibilidade de se extrair os dígitos
do p
um a um.
Como já foi dito, no séc XVIII foi provado que o número p é irracional. Entretanto, algumas frações dão aproximações bastante acuradas para o número p, como podemos ver:
a fração 22/7 resulta em 3,14287142871...., um erro
de 0,04025%
a fração 355/113 resulta em 3,1415929235 ...., um
erro de 0,00000849% e a
a fração 104348/33215 resulta em 3,141592654, um erro
de apenas 0,00000001056%. O único problema é decorar esta
fração...
Apesar disso, o
número p
continua irracional e uma pesquisa sobre a randomicidade dos algarismos
do p
mostrou que nas primeiras 6 bilhões de casas decimais, cada algarismo
aparece 600 milhões de vezes. Perfeitamente aleatório, veja:O
número 0 ocorre 599963005 vezes,o 1 ocorre 600033260 vezes,
o 2 ocorre 599999169 vezes,
o 3 ocorre 600000243 vezes,
o 4 ocorre 599957439 vezes,
o 5 ocorre 600017176 vezes,
o 6 ocorre 600016588 vezes,
o 7 ocorre 600009044 vezes,
o 8 ocorre 599987038 vezes e
o 9 ocorre 600017038 vezes.
Texto escrito por Eloy Ferraz Machado Neto, a partir das seguintes referências:
http://gallery.uunet.be/kurtvdb/pi.html
http://webs.adam.es/rllorens/pidoc.htm
http://www.users.globalnet.co.uk/~nickjh/Pi.htm
Maiores informações
http://www.mcs.csuhayward.edu/~malek/Mathlinks/Pi.html
( prova da irracionalidade do Pi)
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