Face à l’équation cubique que nous avons obtenue en première partie, nous nous sommes interrogées pour savoir s’il n’était pas possible de la résoudre afin d’obtenir une expression donnant directement la masse de la planète extrasolaire avec les paramètres connus sans devoir utiliser l’aide d’un programme de calcul. C’est grâce aux équations de Cardan que nous y sommes arrivées.

Reprenons l’équation de la masse de l’exoplanète telle que trouvée plus tôt :

Équation 1

Équation 2

Équation 3

Équation 4

Équation 5

Équation 6

Équation 7

En assimilant :

Équation 8

Équation 9

Équation 10

Équation 11

L’équation cubique devient :

Équation 12

Posons :

Équation 13

Équation 14

En mettant l'équation 14 dans l'équation 12 :

Équation 15

Équation 16

Équation 17

Équation 18

Équation 19

Équation 20

Équation 21

Équation 22

Équation 23

Équation 24

Équation 25

Posons :

Équation 26

Équation 27

En mettant l'équation 26 et l'équation 27 dans l'équation 25 :

Équation 28

Posons :

Équation 29

Équation 30

Équation 31

Équation 32

Équation 33

Équation 34

Équation 35

Équation 36

En mettant l'équation 29 dans l'équation 36 :

Équation 37

Puisque :

Équation 38

Alors :

Équation 39

Équation 40

Équation 41

Équation 42

En mettant l'équation 40 dans l'équation 42 :

Équation 43

Équation 44

Équation 45

En résolvant cette équation quadratique, nous obtenons la valeur de u et de v.

Équation 46

Équation 47

Pour la première solution :

Équation 48

Équation 49

Équation 50

Équation 51

Équation 52

En mettant l'équation 52 dans l'équation 40 :

Équation 53

Équation 54

Pour la deuxième solution :

Équation 55

Équation 56

Équation 57

Équation 58

Équation 59

En mettant l'équation 59 dans l'équation 40 :

Équation 60

Équation 61

En mettant l'équation 52 et l'équation 54 ou l'équation 59 et l'équation 61 dans l'équation 29 :

Équation 62

En mettant l'équation 62 dans l'équation 13 :

Équation 63

En mettant l'équation 26 et l'équation 27 dans chaque partie de l'équation 63 :

Équation 64

Équation 65

Équation 66

Équation 67

En remplaçant l'équation 8, l'équation 9 et l'équation 10 dans l'équation 27 :

Équation 68

Équation 69

Équation 70

Équation 71

Équation 72

Équation 73

Équation 74

Équation 75

Équation 76

Équation 77

Équation 78

Équation 79

Équation 80

Équation 81

Équation 82

Équation 83

Équation 84

Équation 85

Équation 86

En combinant les termes de la racine carré (équation 78 et équation 86) :

Équation 87

Équation 88

Équation 89

Équation 90

Équation 91

Équation 92

Équation 93

Équation 94

Équation 95

Équation 96

Équation 97

CQFD