INTRODUCCIÓN A LOS

NÚMEROS COMPLEJOS

Número Complejo.

Es una expresión matemática de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es:. Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas.

Propiedades

En un número complejo a + bi, a se conoce como la parte real (en el eje horizontal) y b como la parte imaginaria (en el eje vertical) . El número complejo -2 + 3i tiene parte real -2 y parte imaginaria 3.

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El valor absoluto o módulo de Z se calcúla según el teorema de pitagoras.

El ángulo que forma con la horizontal se denomina argumento y es:

Formas de representación de números complejos.

Hay varias formas de representar los números complejos, las más utilizadas son la forma rectangular o algebraica, se llama rectangular por estar formada por sus coordenadas rectangualares:

Y la forma polar o módulo y argumento, formada por el módulo del número complejo y el ángulo que forma con la horizontal:

Operaciones con números complejos.

- Suma:

La adición de números complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado.

Por ejemplo, para sumar 1 + 4i y 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y -2, dando el número complejo 3 + 2i. La regla general para la suma es sumar por separado parte real y parte imaginaria

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

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Multiplicación.

La multiplicación de números complejos se basa en que i · i = -1, y en asumir que esta operación es distributiva respecto de la suma. Esto genera la siguiente regla para la multiplicación:

(a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Utilizando esta regla se tiene, por ejemplo, que

(1 + 4i)·(2 - 2i) = 10 + 6i

Pero para multiplicar es más fácil hacerlo en forma polar. Se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Por ejemplo sean los números complejos, el resultado es:

En el ejemplo anterior 1 + 4i es y 2 - 2i es el resultado será:

El complejo 10 + 6i es

Para dividir dos números, al igual que la multiplicación se hara en forma polar de forma que el resultado se obtiene dividiendo los módulos y restando los argumentos.

Conjugado

Si z = a + bi es un número complejo cualquiera, el complejo conjugado de z es a - bi