Dimostrazione di Pappo

 

Nella "Collezione Matematica" scritta da Pappo,  matematico greco del V secolo d. C., troviamo la seguente costruzione, valida anche se il triangolo ABC non è rettangolo.

Sui due lati AB e BC costruiamo i parallelogrammi BCDE e ABFG, in modo tale che, prolungando i lati DE e FG si incontrino nel punto H.

Quindi tracciamo la retta HB, e preso il segmento IL=HB, costruiamo il parallelogramma ACMN, con i lati AM e CN paralleli a IL.

Dimostro: BCDE+AFGB=ACMN

Prolunghiamo i lati CN e AM. Il parallelogramma BCDE è uguale a BCOH, poichè hanno la base BC in comune, e si trovano tra le parallele BC e HD.

Per lo stesso motivo BCOH è uguale a ICNL, poichè la base HB è uguale a IL per costruzione, e si trovano tra le parallele HL e OC.

Quindi:  BCDE = ICNL. Nello stesso modo AFGB=AILM, quindi BCDE + AFGB=ACML.
Questa dimostrazione contiene come caso particolare il teorema di Pitagora.

Infatti se:

 

  • angolo in B=90°
  • BCDE e AFGB sono due quadrati
  • HB, e dunque IL= ipotenusa AC (infatti GBEH è un rettangolo con i lati uguali ai cateti)
  • HL ± AC

ACNM= quadrato dell’ipotenusa.

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