PROBLEMAS METRICOS

APLICACIONES A PROBLEMAS MÉTRICOS

Vector normal de una recta.

Angulo de dos rectas.

Distancia entre dos puntos.

Distancia de un punto a una recta.

4. Aplicación de los vectores a problemas métricos

Como vimos en la unidad de vectores, el producto escalar sirve para hallar el módulo de un vector y el ángulo entre dos vectores. Ahora vamos a utilizar esa herramienta para hallar distancias y ángulos entre rectas.

4.1. VECTOR NORMAL A UNA RECTA

e llama vector normal a una recta a cualquier vector perpendicular a ella.
Recta en paramétricas		El vector (d,-b) es normal a r, pues es perpendicular a su vector dirección (b,d): (d,-b).(b,d) = db-bd = 0
Recta en implícita	Ax + By + C = 0	El vector (A,B) es normal a r

Justificación de que (A,B) es perpendicular a Ax + By + C = 0:

Si P(x₁,y₁) y Q(x₂,y₂) pertenecen a la recta, sus coordenadas cumplen la ecuación:

Ax₂ + By₂ + C = 0
Ax₁ + By₁ + C = 0

Restando: A(x₂-x₁) + B(y₂-y₁) = 0

Esta última igualdad significa que (A,B).(x₂-x₁,y₂-y₁) = 0

Es decir el vector de coordenadas (A,B) es perpendicular a un vector dirección de r, PQ y, por tanto, es normal a r.

EJEMPLO 1

Si la recta es el vector dirección es v(7,-1) y el vector normal es n(1,7) .

En esta escena le hemos llamado a v(a,b) y a n(c,d)

Cambia a y b, para que sea v(6,-3)

Puedes arrastrar el extremo del vector v, pulsar los botones de abajo, o teclear los valores y dar a la tecla enter

Verás que ahora el ángulo que forma n con la recta no es de 90º.

Tendrás que cambiar c y d para que sea n(3,6) y entonces tendremos el ángulo de 90º, o sea ahora n si es perpendicular a la recta.

Prueba tú a cambiar a, b, c y d, de tal forma que el ángulo sea de 90º.

EJERCICIO 8

1.-Si el vector dirección es v(5,-1) ¿cuál puede ser n? Anótalo en tu cuaderno y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta.

2.- Si el vector dirección es v(-4,2) ¿puede ser el vector normal n(4,8)? Escribe la respuesta en tu cuaderno, justifícala y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta.

3.- Si v=(-3,1), cuánto ha de valer d para que n(2,d) sea un vector normal de la recta. Escribe la respuesta en tu cuaderno, justifícala y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta.

EJEMPLO 2

Si la recta viene dada en forma implícita: Ax+By+C=0

Ahora tenemos la recta 5x - 2y + 4 = 0. Un posible vector normal es n=(c,d)=(5,-2)

En este caso el vector dirección puede ser v=(a,b)=(2,5)

Cambia a y b, para que sea v(3,2). Verás que ahora la ecuación de la recta es 2x-3y+4=0.

Si no has cambiado n, y sigues con n(5,-2), verás que el ángulo NO es de 90º. Tendrás que cambiar c y d para que sea n(2,-3), o sea c=A=2, d=B=-3, y efectivamente n sea normal a la recta.

Pero ¡atención! no hay sólo un vector normal y un vector dirección de una misma recta. Se pueden tomar otros que tengan la misma dirección.

Por ejemplo puede ser v(3,2) y n(1,-1.5), y n seguirá siendo normal a la recta.

O bien v(1.5,1) y n(-2,3)

Puedes seguir cambiando v y n, para conseguir que n siempre sea normal a la recta, o sea forme un ángulo de 90º con v.

EJERCICIO 9

1.- Si el vector dirección es v(-5,1) ¿cuál puede ser n? Anótalo en tu cuaderno y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta Ax + By + C = 0.

2.- Si el vector dirección es v(-4,2) ¿puede ser el vector normal n(1,2)? Escribe la respuesta en tu cuaderno, justifícala y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta. Ahora no es c=A y d=B ¿Pueden ser correctas entonces las coordenadas de n? ¿Por qué?

3.- Si v=(-3,1), cuánto ha de valer d para que n(2,d) sea un vector normal de la recta. Escribe la respuesta en tu cuaderno, justifícala y compruébalo en la escena anterior. Escribe también cómo ha quedado la ecuación de la recta. Ahora no es c=A y d=B ¿Pueden ser correctas entonces las coordenadas de n? ¿Por qué?

4.2. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Se llama ángulo entre dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se puede hallar de dos formas:
El ángulo, A, entre dos rectas r₁ y r₂, se puede obtener a partir de sus vectores dirección, d₁, d₂, o a partir de sus vectores normales, n₁, n₂:

EJEMPLO 3

Ahora tenemos dos rectas, r₁ y r₂, en forma paramétrica, por lo que la forma más sencilla de averiguar el ángulo a que forman es, tomando sus vectores dirección, ya que nos vienen dados en las ecuaciones.

Mueve el extremo del vector dirección de r₁, o sea d₁, o cambia sus coordenadas en los botones inferiores. De esta forma se cambia la dirección de r₁, y por tanto el ángulo a de r₁ con r₂.

Observa que cuando el ángulo entre los vectores es mayor de 90º, se toma el suplementario para el ángulo de las rectas, ya que éste siempre será el menor entre las dos.

Puedes hacer los cálculos con tu calculadora y comprobarlos en la escena.

EJERCICIO 10

1.- Copia en tu cuaderno las ecuaciones de las rectas dadas en la escena anterior, sus vectores dirección, los productos escalares de éstos, los módulos de los mismos, y sustitúyelo todo en la fórmula que nos da el coseno del ángulo que forman las dos rectas. A continuación copia el resultado de la escena, comprobándolo con la calculadora.

2.- Calcula el ángulo que forman las rectas: y
Comprueba el resultado en la escena anterior.

EJEMPLO 4

Si las rectas vienen dadas en forma implícita: r1: Ax+By+C=0, y r2: A'x+B'y+C'=0

Para hallar el ángulo a entre r1 y r2, podemos coger sus vectores normales n1(A,B) y n2(A',B')

Mueve el extremo del vector normal de r1, o sea n1, o cambia sus coordenadas en los botones inferiores. De esta forma se cambia la dirección de r1, y por tanto el ángulo a de r1 con r2.

Puedes hacer los cálculos con tu calculadora y comprobarlos con los de la escena.

EJERCICIO 11

1.-Copia en tu cuaderno las ecuaciones de las rectas dadas en la escena anterior, sus vectores normales, los productos escalares de éstos, los módulos de los mismos, y sustitúyelo todo en la fórmula que nos da el coseno del ángulo que forman las dos rectas. A continuación copia el resultado de la escena, comprobándolo con la calculadora.

2.- Calcula el ángulo que forman las rectas: r₁:4x + 2y + 14 = 0 y r₂: x - 2y - 4 = 0
Comprueba el resultado en la escena anterior.

4.3. Distancia entre dos puntos

Distancia entre dos puntos P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) es el módulo del vector PQ
dist(P,Q) = \|PQ\| =

EJEMPLO 5

Vamos a hallar la distancia entre los puntos P(3,-1) y Q(-1,2)

dist[(3,-1),(-1,2)]=

Ahora puedes mover con el ratón los puntos P y Q, o cambiar sus coordenadas en los botones inferiores, para ir viendo la distancia PQ, para los distintos puntos.

EJERCICIO 12

1.- Calcula en tu cuaderno las coordenadas del vector PQ siendo P(3,-5) y Q(1,4)

2.-Calcula ahora la distancia PQ.

3.- Comprueba el resultado en esta escena.

4.- ¿Cuáles son las coordenadas del vector PQ si P(1,4) y Q(3,-5)¿Cuál es ahora la distancia entre P(1,4) y Q(3,-5)?.

4.4. Distancia de un punto a una recta

La distancia del punto P(a,b) a la recta r:Ax+By+C = 0 es:

dist(P,r)=

Moviendo con el ratón el punto P, o cambiando sus coordenadas en los botones inferiores, y cambiando los coeficientes de la ecuación de la recta r, A, B y C, puedes ver la distancia de P a r, en cada caso. Puedes observar, que siempre será el segmento trazado desde P, perpendicular a r.

EJERCICIO 13

1.- En esta escena, está calculada la distancia del punto P(-5,8) a la recta
r: 2x -6y + 7 = 0, calcúlala en tu cuaderno aplicando la fórmula y comprueba el resultado.

2.- Calcula la distancia de P(2,-1) a r: x - 3y + 5 = 0, y compruébalo en la escena.

3.- Calcula la distancia de P(7,0) a r:

(primero tendrás que pasar r a forma implícita).
Comprueba el resultado en la escena.

4.- Si calculas la distancia de P(3,3) a r: y = 2x - 3 (primero tendrás que pasar r a forma implícita), verás que resulta igual a cero. ¿Cuál es el motivo para que esto ocurra? Míralo en la escena.

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Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez


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