FUNCIONES RACIONALES

 

 

EJEMPLO

Representar la función:  y=x-1/x

Veamos un ejemplo desarrollado, después puedes hacer el ejercicio que se propone.

a) Información extraída de la función

b) Información extraída de la derivada

c) Dibujar la gráfica

 

Representar la función:  y=x-1/x

1. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA FUNCIÓN

1) Dominio

  • La función está definida para todo R excepto en x=0

2) Cortes con los ejes y signo

  • Con el eje OY: cuando x=0 la función no está definida luego no tiene corte con este eje.

    Con el eje OX: resolvemos la ecuación x-1/x=0 resultando las soluciones x=-1, y x=1 luego los puntos de corte son: (-1,0) y (1,0)

  • El signo de f(x) antes y después de estos puntos:

x (-¥,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,¥) 
y - 0 +   - 0  

Cambia el valor de x en la escena o arrastra el punto rojo con el ratón, podrás ver los valores que toma y=f(x). Observa que en x=0 la función no está definida.

3) Simetría

  • Se trata de una función IMPAR ya que
    f(-x)=(-x)-1/(-x)=-x+1/x=-f(x)
    por tanto es simétrica respecto al origen.

4) Asíntotas

  • VERTICALES: La recta x=0

1           2

  • HORIZONTALES, no hay ya que 3 quizás haya oblicuas.

  • OBLICUAS, la recta y=mx+n, donde

4

5

luego la recta y=x es asíntota.

Cambia el valor de x pulsando sobre las flechas o arrastrando el punto rojo con el ratón y comprobarás los cálculos anteriores. Utiliza el ZOOM para ampliar o reducir la gráfica.

 

2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

  • Calculamos la derivada y'=1+1/x2

  • La ecuación: 1+1/x2=0 no tiene soluciones reales ya que 1+1/x2>0 por lo que la función es creciente en todo su dominio.

  • La función no tiene máximos ni mínimos relativos

x (-¥,0) 0 (0,¥) 
y' >0   >0
/ /

En la escena está representada f'(x) , que es positiva en todo su dominio, luego y=f(x) será creciente, no presentando ni máximos ni mínimos. Puedes comprobarlo arrastrando el punto rojo o cambiando el valor de x.

 

3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

  • Calculamos la segunda derivada y''=-2/x3

  • Observamos que la ecuación  y''=-2/x3=0 no tiene soluciones reales por lo que la función no tendrá puntos de inflexión. 

  • Por otra parte

    • Si x<0, -2/x3>0

    • Si x>0, -2/x3<0

    Por tanto la función cambia su concavidad en x=0

x (-¥,0) 0 (0,¥) 
y'' >0   <0
È Ç

Ahora se representa f''(x). Como antes puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x en la escena o arrastrando el punto rojo. ¿Qué ocurre en x=0?

 

4. REPRESENTAR LA CURVA

7) Dibujar la gráfica

  • Antes de dibujar la gráfica, nos ayudará resumir en una tabla los resultados anteriores:

x ®-¥ (-¥,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+¥) ®+¥
y AO

y=x

 - 0 + AV - 0 + AO

y=x
y'   +   +  
y''   +   -  
  / /  
  È Ç  
En la escena está resumida la información anterior. Da a "¿dibujar?" valor 1 para ver la gráfica de la función.

 

 

 

EJERCICIO

Estudia y representa gráficamente en tu cuaderno las funciones racionales:

1) f(x)=(1+x)/(1-x)

2) f(x)=x2/(x2-1)

3) f(x)=x3/(x2+1)

 

Puedes comprobar su gráfica indicando el número en la escena. Utiliza el ZOOM si quieres ampliar o reducir el gráfico para verlo mejor.

 

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Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez

autora  
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006  
 
 
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