EJEMPLO

Representar la función:  y=-x⁴+2x²+3

Veamos en primer lugar un ejemplo desarrollado, después puedes hacer los ejercicios que se proponen.

a. Información extraída de la función

b. Información extraída de la derivada

c. Dibujar la gráfica

Representar la función:  y=-x⁴+2x²+3

1. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA FUNCIÓN

• El dominio de las funciones polinómicas es todo R

2) Cortes con los ejes y signo

• Con el eje OY: x=0  y=f(0)=3         PUNTO (0,3)

• Con el eje OX: resolvemos la ecuación

-x⁴+2x²+3=0

resultando los PUNTOS (-Ö3,0) y (Ö3,0)

• A partir de estos puntos podemos estudiar el signo de f:

3) Simetría

• Se trata de una función PAR ya que

f(-x)=-(-x)⁴+2(-x)²+3=-x⁴+2x²+3=f(x)

por tanto es simétrica respecto al eje OY

 

 

 

 

 

 

 

4) Asíntotas

•  Las funciones polinómicas no tienen asíntotas

2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

• Calculamos la derivada y'=-4x³+4x

• Resolvemos la ecuación: -4x³+4x=0  

  • Soluciones: x=-1,x=0,x=1

• Comprobamos el signo de la derivada antes y después de estos valores obteniendo:

• Para comprobar los máximos y el mínimo calculamos el signo de la segunda derivada en x=-1, x=0, x=1.

3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

• Calculamos la segunda derivada y''=-12x²+4

• Resolvemos la ecuación y''=-12x²+4=0

  • Soluciones: x=-Ö3/3,  x=Ö3/3

4. REPRESENTAR LA CURVA

7) Dibujar la gráfica

• Resumir en una tabla los resultados anteriores ayudará a reflejarlos en la gráfica

EJERCICIOS

Estudia y representa gráficamente las funciones polinómicas:

1) f(x)=x³-3x²+2

2) f(x)=-x⁴+2x³

3) f(x)=x⁵-5x³+4x