EJEMPLO

Representar la función:  y=ln(x²-1)

Puedes ver, como en los casos anteriores, un ejemplo desarrollado, y después hacer los ejercicios que se proponen.

a. Información extraída de la función

b. Información extraída de la derivada

c. Dibujar la gráfica

Representar la función:  y=ln(x²-1)

1. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA FUNCIÓN

• El ln de x²-1 no existe desde -1 a 1, ya que sólo existe el logaritmo de los números positivos, luego la función está definida en (-¥,-1) y en (1,¥)

2) Cortes con los ejes y signo

• Con el eje OY: cuando x=0 la función no está definida luego no tiene corte con este eje.

  Con el eje OX: resolvemos la ecuación ln(x²-1)=0, es decir (x²-1)=1  resultando las soluciones x=-Ö2, y x=Ö2

3) Simetría

• Se trata de una función PAR ya que
  f(-x)=ln((-x)²-1)=f(x) por tanto es simétrica respecto al eje de ordenadas.

4) Asíntotas

• VERTICALES, las rectas x=-1 y x=1 ya que

• HORIZONTALES, no hay puesto que

• En este caso tampoco hay OBLICUAS

2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

• Calculamos la derivada y'=2x/(x²-1)

• La ecuación: 2x/(x²-1)=0 tiene como solución x=0 que no pertenece al dominio de la función, por lo que ésta no tendrá extremos relativos.

• Ahora bien:

  • Si x<-1 f'(x)<0

  • Si x>1  f'(x)>0

  luego la función es decreciente antes de -1 y creciente después de 1.

3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

• Calculamos la segunda derivada

y''=(-2x²-2)/(x²-1)²

• Observamos que la ecuación  y''=0 no tiene soluciones reales por lo que la función no tendrá puntos de inflexión. 

• Por otra parte y''<0 para cualquier valor de x, luego siempre presenta la concavidad hacia abajo.

4. REPRESENTAR LA CURVA

7) Dibujar la gráfica

• Resumir en una tabla los resultados anteriores ayudará a reflejarlos en la gráfica

EJERCICIOS

Estudia y representa gráficamente las funciones logarítmicas:

1) f(x)=ln(x²+1)

2) f(x)=ln(x)/x

3) f(x)=xln(x)