FUNCIONES IRRACIONALES

EJEMPLO

Representar la función:  y=Öx2-1

Veamos en primer lugar un ejemplo desarrollado, después puedes hacer los ejercicios que se proponen.

a. Información extraída de la función

b. Información extraída de la derivada

c. Dibujar la gráfica

Representar la función:  y=Öx2-1

1. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA FUNCIÓN

1) Dominio

  • x2-1<0 entre -1 y 1 luego la raíz cuadrada no existe entre estos valores, por tanto la función está definida en (-¥,-1] È [1,¥).

2) Cortes con los ejes y signo

  • Con el eje OY: cuando x=0 la función no está definida luego no tiene corte con este eje.

    Con el eje OX: resolvemos la ecuación x2-1=0 resultando las soluciones x=-1, y x=1 luego los puntos de corte son: (-1,0) y (1,0)

  • En este caso f(x)>0 en todos los demás puntos del dominio.

Cambia el valor de x en la escena o arrastra el punto rojo con el ratón, podrás ver los valores que toma y=f(x). Observa como en el intervalo (-1,1) la función no alcanza ningún valor.

3) Simetría

  • Se trata de una función PAR ya que
    f(-x)=    Ö(-x)2-1=Öx2-1=f(x)
    por tanto es simétrica respecto al eje de ordenadas.

4) Asíntotas

  • VERTICALES, no hay.

  • HORIZONTALES, no hay, ya que: 1

  • OBLICUAS, la recta y=x, y por simetría la y=-x

2

3

Comprueba que cuando x®-¥  y®+¥ ; y que cuando x®+¥ y®+¥, y que además el valor de y se aproxima más al de x (o a -x) cuando mayor (o menor) es éste. Utiliza el ZOOM para verlo mejor.

 

2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

  • Calculamos la derivada y'=x/Öx2-1

observando que no tiene soluciones dentro del dominio de definición de la función. Luego no habrá máximos ni mínimos.

  • Por otra parte

    • Si x<-1 y'<0, f es decreciente en(-¥,-1)

    • Si x>1 y'>0 luego f es creciente en (1,¥)

    x (-¥,-1) [-1,1] (1,¥) 
    y' -   +
    \ /

En la escena aparece la gráfica de y=f'(x).  Cambia el valor de x pulsando sobre las flechas o arrastrando el punto rojo con el ratón. Observa que, en efecto, f ´(x)>0 si x>1, f´(x)<0 si x<1

 

3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

  • Calculamos la segunda derivada y''=-1/(Öx2-1)3

  • Observamos que la ecuación  y''=0 no tiene soluciones reales por lo que la función no tendrá puntos de inflexión. 

  • Por otra parte

    • Si x<-1, y''<0

    • Si x>1, y''<0

    Por tanto la función presenta la concavidad hacia abajo.

x (-¥,-1) [-1,1] (0,¥) 
y'' -   -
Ç Ç

Observa la gráfica de f''(x), ¿cuál es su signo antes de -1?, ¿y después de 1?. También puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x o arrastrando el punto rojo.

4. REPRESENTAR LA CURVA

7) Dibujar la gráfica

  • Podemos resumir en una tabla los resultados anteriores a la vez que los reflejamos gráficamente

x -¥ -1 (-1,1) 1 +¥
y A.O: y=-x 0   0

A.O: y=x
y' -   +
y'' +   +
\ /
Ç Ç
En la escena está resumida la información anterior. Da a "¿dibujar?" valor 1 para ver la gráfica de la función.

 

EJERCICIOS

Estudia y representa gráficamente las funciones irracionales:

1) f(x)=Öx2+1

2) f(x)=2/Öx2+1

3) f(x)=x/Ö4-x2

 

Estudia y representa las funciones anteriores en tu cuaderno, luego podrás comprobar su gráfica indicando el número en la escena.

 

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Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez

autora  
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006  
 
 
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